高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）課時(shí)作業(yè)提升57模擬方法（幾何概型）概率的應(yīng)用

課時(shí)作業(yè)提升(五十七)模擬方法(幾何概型)——概率的應(yīng)用A組夯實(shí)基礎(chǔ)1．(2018·濟(jì)南模擬)有一動(dòng)點(diǎn)在如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)的概率為A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：選A設(shè)事件M為“動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A-A1BD內(nèi)”，則事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(V三棱錐A-A1BD,V長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·S△ABD,V長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·\f(1,2)S矩形ABCD,AA1·S矩形ABCD)＝eq\f(1,6)，故選A．2．(2018·西安一模)甲、乙兩人約定晚6點(diǎn)到晚7點(diǎn)之間在某處見面，并約定甲若早到則等乙半小時(shí)，而乙還有其他安排，若乙早到則不需等待，則甲、乙兩人能見面的概率為()A．eq\f(3,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：選A以6點(diǎn)作為計(jì)算時(shí)間的起點(diǎn)，設(shè)甲到的時(shí)間為x，乙到的時(shí)間為y，則基本事件空間是Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，事件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積S＝1，設(shè)滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是A，則A＝(x，y)eq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，0≤y≤1，y－x≤\f(1,2)，且y≥x))，其對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖中陰影部分所示，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，C(0,1)，則事件A對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積是1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(3,8)，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得P＝eq\f(\f(3,8),1)＝eq\f(3,8)．3．(2018·天津聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，則任取一點(diǎn)x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)解析：選C因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，所以由f(x)≥0，解得0≤x≤2，又x∈[－1,3]，所以f(x0)≥0的概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)．4．(2018·海口一模)如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形內(nèi)有區(qū)域A(陰影部分所示)，張明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法求區(qū)域A的面積．若每次在正方形內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生10000個(gè)點(diǎn)，并記錄落在區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，計(jì)算出落在區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的平均值為6600，則區(qū)域A的面積約為()A．5 B．6C．7 D．8解析：選B由題意，∵在正方形內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生10000個(gè)點(diǎn)，落在區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的平均值為6600，∴概率P＝eq\f(6600,10000)＝eq\f(33,50)，∵邊長(zhǎng)為3的正方形的面積為9，∴區(qū)域A的面積的估計(jì)值為eq\f(33,50)×9≈6，故選B．5．(2018·煙臺(tái)一模)某天，甲要去銀行辦理儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)，已知銀行的營(yíng)業(yè)時(shí)間為9：00至17：00，設(shè)甲在當(dāng)天13：00至18：00之間任何時(shí)間去銀行的可能性相同，那么甲去銀行恰好能辦理業(yè)務(wù)的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(3,4)C．eq\f(5,8) D．eq\f(4,5)解析：選D甲去銀行恰好能辦理業(yè)務(wù)的概率為eq\f(17－13,18－13)＝eq\f(4,5)．6．(2016·山東卷)在[－1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________．解析：由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，得eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，即16k2<9，解得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4)．由幾何概型的概率計(jì)算公式可知P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),2)＝eq\f(3,4)．答案：eq\f(3,4)7．(2016·全國(guó)卷Ⅱ改編)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為________．解析：設(shè)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤xn≤1，,0≤yn≤1))構(gòu)成的正方形的面積為S，xeq\o\al(2,n)＋yeq\o\al(2,n)＜1構(gòu)成的圖形的面積為S′，所以eq\f(S′,S)＝eq\f(\f(1,4)π,1)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n)．答案：eq\f(4m,n)8．(2018·東北三校聯(lián)考)記集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x≥0，,y≥0))))構(gòu)成的平面區(qū)域分別為M，N，現(xiàn)隨機(jī)向M中擲一粒豆子(大小忽略不計(jì))，則該豆子落入N中的概率為________．解析：因?yàn)榧螦＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x≥0，,y≥0))))構(gòu)成的平面區(qū)域M，N分別為圓及其內(nèi)部與直角三角形及其內(nèi)部，它們的面積分別為π，eq\f(1,2)，隨機(jī)向M中擲一粒豆子(大小忽略不計(jì))，則該豆子落入N中的概率P＝eq\f(\f(1,2),π)＝eq\f(1,2π)．答案：eq\f(1,2π)9．設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0．(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．解：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b．(1)基本事件共有12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個(gè)基本事件．事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)．(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率為P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3)．B組能力提升1．有一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)解析：選B由題意知，滿足條件的P位于半徑為1的半球的外部，因此所求概率為1－eq\f(\f(1,2)×\f(4,3)×π×13,π×12×2)＝eq\f(2,3)．2．在區(qū)間[1,5]和[2,6]內(nèi)各取一個(gè)數(shù)，分別記為a和b，則方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＜b)表示離心率小于eq\r(5)的雙曲線的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(15,32)C．eq\f(17,32) D．eq\f(31,32)解析：選B∵方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＜b)表示離心率小于eq\r(5)的雙曲線，∴eq\f(\r(a2＋b2),a)＜eq\r(5)，2a＞b，∴b＞a＞0,2a＞b，它對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＜b)表示離心率小于eq\r(5)的雙曲線的概率P＝eq\f(S陰影,S矩形)＝eq\f(4×4－\f(1,2)×4×2－\f(1,2)×3×3,4×4)＝eq\f(15,32)，故選B．3．已知實(shí)數(shù)m∈[0,1]，n∈[0,2]，則關(guān)于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有實(shí)數(shù)根的概率是()A．1－eq\f(π,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π－3,2) D．eq\f(π,2)－1解析：選A方程有實(shí)數(shù)根，即Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，m2＋n2－2n≥0，m2＋(n－1)2≥1，畫出圖形如圖所示，長(zhǎng)方形面積為2，半圓的面積為eq\f(π,2)，故概率為eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4)．4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，0＜x＜1，,1，x≥1，))在區(qū)間(0,4]內(nèi)任取一數(shù)x，則不等式log2x－(logeq\f(1,4)4x－1)f(log3x＋1)≤eq\f(7,2)成立的概率為________．解析：由題意，log3x＋1≥1且log2x－(logeq\f(1,4)4x－1)≤eq\f(7,2)或0＜log3x＋1＜1且log2x＋2(logeq\f(1,4)4x－1)≤eq\f(7,2)，解得1≤x≤2或eq\f(1,3)＜x＜1，∴原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，則所求概率為eq\f(2－\f(1,3),4－0)＝eq\f(5,12)．答案：eq\f(5,12)5．歐陽(yáng)修《賣油翁》中寫到：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕．已知銅錢是直徑為4cm的圓面，中間有邊長(zhǎng)為1