一中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

集寧一中霸王河校區(qū)20232024學(xué)年第二學(xué)期期末考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1．已知，，則是的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

3．4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中依次抽取2張（取后不放回），則在已知第一次取到奇數(shù)數(shù)字卡片的條件下，第二次取出的卡片數(shù)字是偶數(shù)的概率為A． B． C． D．4．為了研究經(jīng)常使用是否對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響，某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取高二年級(jí)50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測(cè)試成績(jī)，并制成下面的2×2列聯(lián)表：使用情況成績(jī)合計(jì)及格不及格很少20525經(jīng)常101525合計(jì)302050參考公式：，其中.附表：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（

）A．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“經(jīng)常使用與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)無(wú)關(guān)”B．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“經(jīng)常使用與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“經(jīng)常使用與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)無(wú)關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“經(jīng)常使用與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”5．若命題“，”是假命題，則不能等于（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意的恒成立，則（

）A．B． C． D．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．回歸分析模型中，決定系數(shù)越大，說(shuō)明模型模擬效果越好B．已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是12C．從一個(gè)裝有1個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中取出2個(gè)球，記為取得紅球的個(gè)數(shù)D．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則10．定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，函數(shù)滿足，若與恰有2023個(gè)交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．2為的一個(gè)周期 D．11．已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12．已知展開式中第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，且展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.13．一個(gè)長(zhǎng)方形，被分為A、B、C、D、E五個(gè)區(qū)域，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行涂色，有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色可用，要求相鄰兩區(qū)域（兩個(gè)區(qū)域有公共頂點(diǎn)就算相鄰）涂色不相同，則不同的涂色方法有種．14．設(shè)函數(shù)，若在上滿足的正整數(shù)至多有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．（13分）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．(1)求在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間．16．（15分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17．（15分）水果店的銷售額與所售水果的價(jià)格、質(zhì)量及該店被附近居民的認(rèn)可度密不可分.已知某水果店于2023年1月開張，前6個(gè)月的銷售額（單位：萬(wàn)元）如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月時(shí)間代碼x123456銷售額y（單位：萬(wàn)元）2.04.05.26.16.87.4(1)根據(jù)題目信息，與哪一個(gè)更適合作為銷售額y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，求出銷售額y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程.（注：數(shù)據(jù)保留整數(shù)）；(3)為進(jìn)一步了解該水果店的銷售情況，從前6個(gè)月中任取3個(gè)月進(jìn)行分析，X表示取到的3個(gè)月中每月銷售額不低于5萬(wàn)元的月份個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，，，，，樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，.18．（17分）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.19．（17分）若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且，，則稱是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．(1)已知函數(shù)，區(qū)間且的一個(gè)“封閉區(qū)間”，求的取值集合；(2)已知函數(shù)，設(shè)集合．（i）求集合中元素的個(gè)數(shù)；（ii）用表示區(qū)間的長(zhǎng)度，設(shè)為集合中的最大元素．證明：存在唯一長(zhǎng)度為的閉區(qū)間，使得是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．高二年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)答案1．A【詳解】由，即，等價(jià)于，解得，所以，又，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A2．C【詳解】由，得，所以的定義域?yàn)?又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，且在定義內(nèi)為增函數(shù)，故A，D錯(cuò)誤.對(duì)C：符合函數(shù)的定義域，奇偶性，單調(diào)性，故C正確.故選:C3．B【詳解】所求概率為，故選B.4．D【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得，，所以有99.5%的把握認(rèn)為“經(jīng)常使用與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“經(jīng)常使用與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”.所以C錯(cuò)誤，D正確；因?yàn)椋砸罁?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“經(jīng)常使用與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)”，A錯(cuò)誤；因?yàn)椋砸罁?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“經(jīng)常使用與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)無(wú)關(guān)”，B錯(cuò)誤.故選：D5．D【詳解】根據(jù)題意，知原命題的否定“，”為真命題.令，故，解得.故選：D.6．B【詳解】由題意得構(gòu)造函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，所以在上是減函數(shù)，對(duì)A：因?yàn)椋?，即，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B、C、D：因?yàn)椋?，即，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，即，故D錯(cuò)誤，故B正確.故選：B.7．B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，需滿足，解得，所以；當(dāng)，即時(shí)，需滿足，即，解得，又，所以,綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B8．D【詳解】由，得：，，因?yàn)?，所以，則；設(shè)（），則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，即時(shí)，，所以，又，，所以，則，又，所以，綜上：，故選：D.9．A【詳解】對(duì)于A，決定系數(shù)的值越大，殘差平方和越小，擬合的效果越好，故A正確.對(duì)于B，數(shù)據(jù)的平均值記為，數(shù)據(jù)的平均值為：，所以方差為，顯然標(biāo)準(zhǔn)差不為12，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：從一個(gè)裝有1個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中取出2個(gè)球，記X為取得紅球的個(gè)數(shù)，則，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以，又因?yàn)椋?，由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，故D正確.故選：ACD.10．BD【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又為奇函數(shù)，所以，即，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，故B正確；所以，，即，所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4，故C錯(cuò)誤；，故A錯(cuò)誤；又，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)與的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，故D正確，故選：BD.11．ACD【詳解】，又函數(shù)的零點(diǎn)為，則，其中.，得在上單調(diào)遞增，又其有零點(diǎn)，則為其唯一零點(diǎn).又，得.注意到，，則，且.對(duì)于A，因，，則，故A正確.對(duì)于B，因，則.令.在上單調(diào)遞減，則，得在上單調(diào)遞增.則，即，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，因，，則，故.則由基本不等式結(jié)合有：，故C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，因，則，由C選項(xiàng)分析可知.則令，.得在上單調(diào)遞增，故，即.故D正確.故選：ACD12．6240【詳解】由題意得，所以.又的展開式通項(xiàng)公式：，令，得所以常數(shù)項(xiàng)為,故答案為：①6;②240.13．72【詳解】我們需要用四種顏色給五個(gè)區(qū)域涂色，使得區(qū)域的顏色均和區(qū)域的顏色不同，區(qū)域和，和，和，和每對(duì)的顏色都不相同.那么首先區(qū)域有四種涂法，顏色確定后，區(qū)域僅可以使用其余三種顏色.由于這四個(gè)區(qū)域只能使用三種顏色，故一定存在兩個(gè)區(qū)域同色，而相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色，所以同色的區(qū)域一定是和，或者和.如果這兩對(duì)區(qū)域都是同色的，那么和，以及和，分別需要在剩余的三種顏色里選出一種，且顏色不能相同，所以此時(shí)的情況數(shù)有種；如果和同色，但和不同色，那么和的顏色有三種選擇，選擇后，和的顏色只能是剩余的兩種，且不相同，但排列順序有兩種，所以此時(shí)的情況數(shù)有種；如果和同色，但和不同色，同理，此時(shí)的情況數(shù)有種.綜上，區(qū)域的顏色確定后，剩下四個(gè)區(qū)域的涂色方式共有種.而區(qū)域的顏色有四種選擇，所以總的涂色方法有種.故答案為：.14．【詳解】由在上滿足的正整數(shù)至多有兩個(gè)，即在上滿足的正整數(shù)至多有兩個(gè)，設(shè)，，則，設(shè)，，則，，設(shè)，，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，即，即，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，取最小值，又在上滿足的正整數(shù)至多有兩個(gè)，則，即，故答案為：.15．(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【詳解】（1）因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，所以在處的切線斜率為，而故所求的切線方程為，即．（2）因?yàn)?，定義域?yàn)樗越獾?，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．16．(1)(2)【詳解】（1）由題意，在等差數(shù)列中，設(shè)公差為,由，得，則，又a3＋2，a4，a5－2成等比數(shù)列，∴7，5＋d，3＋2d成等比數(shù)列，得，即，得d＝2，∴，，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，，在數(shù)列中，，∴，∴，，兩式相減得．∴17．(1)(2)(3)列聯(lián)表見解析，數(shù)學(xué)期望為2【詳解】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得關(guān)于時(shí)間的變化不是直線型，所以更適合作為銷售額關(guān)于時(shí)間的回歸方程類型；（2），，，，所以，銷售額關(guān)于時(shí)間的回歸方程為；（3）的所有可能取值為1，2，3，則，，.所以，的分布列為123，即的數(shù)學(xué)期望為2.18．(1)無(wú)最小值，最大值為(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得，則.令，解得；令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，無(wú)最小值，最大值為.（2），則，又有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，欲證，即證，原式等價(jià)于證明①.由，得，則②.由①②可知原問(wèn)題等價(jià)于求證，即證.令，則，上式等價(jià)于求證.令，則，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，原不等式成立，即.19．(1)(2)（i）2；（ii）證明見解析【詳解】（1）由題意，，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，可得的值域?yàn)椋虼酥恍?，即可得，即，則的取值集合為．（2）（i）記函數(shù)，則，由得或；由得；所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上