第02講常用邏輯用語（秋季講義）（人教A版2019）（原卷版）

第02講常用邏輯用語【人教A版2019】模塊一模塊一充分條件與必要條件1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題"若p,則q"是假命題推出關系及符號表示由p通過推理可得出q，記作：p?q由條件p不能推出結論q，記作：條件關系p是q的充分條件

q是p的必要條件p不是q的充分條件

q不是p的必要條件一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．【注】：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．3．充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.4．從集合與集合之間的關系上看充分、必要條件設.(1)若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；(2)若，則是的必要條件，是的充分條件；(3)若，則與互為充要條件.【題型1充分條件與必要條件的判斷】【例1.1】（2324高一上·河北唐山·期中）下列結論中不正確的是（

）A．“x<4”是“x<B．在△ABC中，“AB2+AC．若a,b∈R，則“a2+b2D．“x為無理數”是“x2【例1.2】（2024高三·上?！ｎ}練習）已知x∈R，則“x3>8”是“x>2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1.1】（2324高一下·上海嘉定·階段練習）如果對于任意實數x，x表示不超過x的最大整數.例如3.27=3，0.6=0.那么“x?y<1”是“[x]=[y]A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1.2】（2324高一上·廣東江門·期中）設m,n∈R，當mn≥0時m?n=m+n；當mn<0時m?n=m+n.例如?6?4=2，則“a=0，b=?1或a=?1，b=0”是“a?b=?1”的（A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【題型2充分條件和必要條件逆向求參問題】【例2.1】（2324高一上·廣西南寧·階段練習）已知p：?2≤x≤10，q：1?m≤x≤1+m（m>0），若p是q的必要不充分條件，則實數m的取值范圍為（

）A．0<m≤3 B．0≤m≤3C．m<3 D．m≤3【例2.2】（2324高一上·遼寧·階段練習）已知不等式x?m<1成立的充分不必要條件是13<x<12A．?∞,?1C．?34,【變式2.1】（2324高一下·浙江·期末）已知條件p:|x+1|>2，條件q:x>a，且?p是?q的充分不必要條件，則a的取值范圍是（

）A．a≤1 B．a≥1 C．a≥?1 D．a≤?3【變式2.2】（2324高三上·江蘇南通·開學考試）設p:x?a≤3，q:2x2+x?1≤0，若p是qA．?52,2 B．?52,2【題型3充要條件的證明】【例3.1】（2324高一上·廣東珠?！るA段練習）設a，b，c∈R，求證：關于x的方程ax2【例3.2】（2324高一上·安徽淮南·階段練習）已知集合A=x|x2(1)若“?x∈B，x∈A”為假命題，求m的取值范圍；(2)求證：A至少有2個子集的充要條件是m≤?5，或m≥3．【變式3.1】（2324高一上·湖北武漢·階段練習）設a，b，c分別是三角形ABC的三條邊長，且a≤b≤c，請利用邊長a，b，【變式3.2】（2324高二上·貴州黔東南·階段練習）已知一元二次方程ax（1）若x1=1,x2=?1（2）求證：“x=0是方程ax2+bx+c=0(a≠0,b∈R,c∈R)模塊二模塊二全稱量詞與存在量詞1．命題及相關概念2．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個、一切、每一個、任給符號?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對M中任意一個x，有p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”3．存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的符號表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個x，使p(x)成立”可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”【注】常用的全稱量詞有：“所有”、“每一個”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部”,表示整體或全部的含義.常用的存在量詞有：“有些”、“有一個”、“存在”、“某個”、“有的”,表示個別或一部分的含義.4．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)命題的否定一般地，對命題p加以否定，就得到一個新的命題，記作?p，讀作“非p”或“p的否定”.若p是真命題，則?p必是假命題；若p是假命題，則?p必是真命題.(2)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．5．全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x證明其成立；要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個x0，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個反例.(2)要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個x0使之成立即可，否則這個存在量詞命題就是假命題.【題型4全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】【例4.1】（2324高一上·河南安陽·階段練習）下列命題是真命題的是（

）A．?x∈R,x2=xC．?x∈Z,|x|∈N D．?x∈R,【例4.2】（2425高三上·陜西西安·開學考試）已知命題p：?x∈R，x+x>0；命題q：?x>0，5xA．p和q都是真命題 B．p和?q都是真命題C．?p和q都是真命題 D．?p和?q都是真命題【變式4.1】（2324高一上·江蘇蘇州·期末）設有下面四個命題：p1：?x∈R，x2+1＜0；p2：?x∈R，x+|x|＞0；p3：?x∈Z，|x|∈N；p4：?x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命題為（）A．p1 B．p2 C．p3 D．p4【變式4.2】（2324高一上·湖南長沙·階段練習）下列命題中，既是真命題又是全稱量詞命題的是（

）A．至少有一個x∈Z，使得x2<3成立C．?x∈R，x2=x D．對任意a，b∈R【題型5全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】【例5.1】（2324高二下·陜西西安·期末）若命題p:?x∈R,1x?2<0，則?pA．?x∈R,1x?2≥0C．?x∈R,1x?2>0或x=2 D．【例5.2】（2324高一上·天津和平·期末）命題“?x∈R，x2+x+1<0”的否定為（A．?x∈R，x2+x+1≥0 B．?x?RC．?x∈R，x2+x+1≥0 D．?x?R【變式5.1】（2324高一上·青海海東·階段練習）寫出下列命題的否定，并判斷命題的否定的真假．(1)?x∈R，x4(2)有一個素數是偶數；(3)任意兩個三角形的底邊長和底邊對應的高的長度相等，那么這兩個三角形相似．【變式5.2】（2324高一·全國·課后作業(yè)）已知命題p:?1≤x≤2，x≤a2+1，命題q：?1≤x≤2，一次函數y=x+a(1)若命題p的否定為真命題，求實數a的取值范圍；(2)若命題p為真命題，命題q的否定也為真命題，求實數a的取值范圍．【題型6命題與量詞的逆向求參問題】【例6.1】（2324高一·全國·課后作業(yè)）已知集合A=x?3≤x≤10，B=x(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求實數m的取值范圍；(2)若命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，求實數m的取值范圍．【例6.2】（2324高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知集合A=x∣6≤x≤20，集合B=x∣x≤2a，命題p:?x∈A,x∈B，命題q:?x∈R(1)若命題p為假命題，求實數a的取值范圍；(2)若命題p和命題q至少有一個為真命題，求實數a的取值范圍．【變式6.1】（2024·浙江溫州·一模）已知命題p：方程x2+mx+1=0有兩個不等的負實根；命題q：方程(1)若命題?p為真，求實數m的取值范圍；(2)若命題p，q中有且僅有一個為真一個為假，求實數m的取值范圍.【變式6.2】（2324高一上·湖北黃岡·階段練習）已知命題p:?x∈R，a2?1x(1)若“?2?3t≤a≤2t?1”是p成立的充分條件，求實數t的取值范圍；(2)若命題p和q有且只有一個為假，求實數a．【題型7常用邏輯用語與集合綜合】【例7.1】（2324高一上·上海寶山·階段練習）已知集合A=(1)判斷8，9，10是否屬于集合A；(2)已知集合B=x|x=2k+1,k∈Z，證明：“x∈A”的充分條件是“x∈B”；但“x∈B”不是“(3)寫出所有滿足集合A的偶數.【例7.2】（2425高一上·遼寧·階段練習）已知集合A={x|?2≤x?1≤5}、集合B={x|m+1≤x≤2m?1}（m∈R(1)若A∩B=?，求實數m的取值范圍；(2)設命題p：x∈A；命題q：x∈B，若命題p是命題q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍.【變式7.1】（2324高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知集合A=(1)若A∪B≠A，求實數m的取值范圍.(2)命題q：“?x∈A，使得x∈B”是真命題，求實數m的取值范圍.【變式7.2】（2324高一上·廣東佛山·階段練習）設集合A=x?1≤x≤2，集合(1)若“?x∈R，x∈(A∩B)”為假命題，求實數m(2)若A∩B中有只有三個整數，求實數m的取值范圍.一、單選題1．（2425高二上·湖南郴州·開學考試）已知命題甲：“實數x，y滿足yx=xy”，乙“實數x，y滿足A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2324高一上·廣東·階段練習）命題“?x∈1,2,xA．a≥3 B．a≥4 C．a≤3 D．a≥53．（2425高三上·江西·開學考試）已知命題p:?x∈R,x?1<1，命題A．命題p和命題q都是真命題B．命題p的否定和命題q都是真命題C．命題q的否定和命題p都是真命題D．命題p的否定和命題q的否定都是真命題4．（2324高一上·重慶·期末）若“x>2a2?3”是“1≤x≤4”的必要不充分條件，則實數aA．?2,2 B．?2,25．（2024·四川·一模）已知集合A=x?1≤x≤2，B=x?a≤x≤a+1，則“a=1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．（2324高一上·上海松江·期末）設x∈R，用x表示不超過x的最大整數，則y=x稱為“取整函數”，如：1.6=1，?1.6=?2.現有關于“取整函數”的兩個命題：①集合A=x|x2A．①②都是真命題 B．①是真命題②是假命題C．①是假命題②是真命題 D．①②都是假命題7．（2425高二上·山西·開學考試）已知p：?2≤x≤10，q：1?m≤x≤1+m（m>0），若p的充分不必要條件是q，則實數mA．0<m≤3 B．0≤m≤3C．m<3 D．m≤38．（2324高一上·廣東深圳·期中）已知命題p：任意x∈1,2,x2?a≥0，命題q：存在x0∈R,A．?∞,?2 B．?∞,1 C．二、多選題9．（2324高二下·河南安陽·期末）下列說法中，正確的是（

）A．命題“存在一個四邊形，它的四個頂點不在同一個圓上”的否定是真命題.B．命題“對?x∈Z，x2C．梯形ABCD是等腰梯形的充要條件是AC=BD.D．設a,b,c∈R，則a2+b210．（2324高一上·安徽·期中）下列命題中，正確的是（

）A．“a<b<0”是“1aB．“?2≤λ≤3”是“?1≤λ≤3”的必要不充分條件C．“x2≠yD．“x∈(A∪B)∩C”是“x∈(A∩B)∪C”的必要不充分條件11．（2324高一上·河北·階段練習）設計如圖所示的四個電路圖，條件A：“開關S1閉合”；條件B：“燈泡L亮”，則A是B的必要條件的圖為（

A．

B．

C．

D．

三、填空題12．（2324高一上·重慶合川·階段練習）已知命題p:m∈R且m+1≤0，命題q:?x∈R,x2+mx+1≠0恒成立，若p與q不同時為真命題，則13．（2324高一上·廣東佛山·階段練習）已知集合A={x∈Z|點(x?1,x?a)不在第一、三象限}，集合B=t1≤t<3，若“y∈B”是“y∈A”的必要條件，則實數14．（2324高一上·重慶北碚·期中）已知集合A={x|0≤x≤a}，集合B={x|m2+2≤x≤m2+4}，如果命題“四、解答題15．（2324高一上·河北保定·期末）已知集合A=xx2?5x?6<0，(1)若“命題p:?x∈A，x∈B”是真命題，求實數m的取值范圍；(2)若s:x∈B是t:x∈A的充分不必要條件，求實數m的取值范圍.16．（2324高二下·湖北武漢·期末）設命題p:?x∈?1,1，使得不等式x2?2x?3+m<0恒成立；命題q:?x∈(1)若p為真命題，求實數m的取值范圍；(2)若命題p、q有且只有一個是真命題，求實數m的取值范圍．17．（2324高一上·河北滄州·期中）已知p:x(1)當a=1時，若p