16完全平方公式（分層練習(xí)）

第一章整式的乘除1.6完全平方公式精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022秋·福建泉州·八年級?？计谀┮阎?、不同的兩個實(shí)數(shù)，且滿足、，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的值為（

）A．或 B．1 C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，得到，然后由為整數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∵為整數(shù)，∴為平方數(shù)，∴，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的變形，正確掌握做題的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·陜西渭南·八年級?？茧A段練習(xí)）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用完全平方公式去括號，再求值即可．【詳解】解：故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握完全平方公式．3．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知則的值為（）A． B．3 C．﹣ D．5【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式得，代入即可求出答案．【詳解】解：將兩邊平方得：，把代入得：，即，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的變形計(jì)算，正確掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．4．（2021春·山東青島·七年級華東師范大學(xué)青島實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）若，，在下列判斷結(jié)果正確是（

）．A． B． C． D．無法判斷【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式的變形，將b化簡，進(jìn)而與a比較即可求解【詳解】解：，，故．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形，掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示分割正方形，各圖形面積之間的關(guān)系，驗(yàn)證了一個等式，這個等式是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】此圖形中，一個大正方形的面積小正方形的面積=四個矩形的面積．【詳解】解：如圖，大正方形的面積，小正方形的面積，四個長方形的面積，則由圖形知，大正方形的面積小正方形的面積四個矩形的面積，即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景．應(yīng)從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分析．6．（2022秋·全國·八年級期末）圖（1）是一個長為，寬為的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空余的部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中間部分的四邊形是正方形，表示出邊長，則面積可以求得．【詳解】解：中間部分的四邊形是正方形，邊長是，則面積是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，求出正方形的邊長是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022秋·福建泉州·八年級?？计谀┤?，那么的值為________．【答案】4【分析】先去括號，再合并同類項(xiàng)，然后把代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】，當(dāng)，原式，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·湖北武漢·八年級校考期末）計(jì)算____________．【答案】【分析】利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，熟記乘法公式是解題關(guān)鍵．9．（2022秋·湖北武漢·八年級?？计谀┦峭耆椒绞剑瑒t____________．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式即可得．【詳解】解：是完全平方式，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，熟記公式是解題關(guān)鍵．10．（2021春·貴州貴陽·八年級貴陽市第十七中學(xué)?？计谥校┤绻?，那么______．【答案】【分析】把右邊的完全平方公式展開，根據(jù)多項(xiàng)式相等，比較兩邊對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，即可求得m的值．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，兩個多項(xiàng)式的相等，應(yīng)用完全平方公式展開是關(guān)鍵．三、解答題11．（2022秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則展開，再合并同類項(xiàng)即可．（2）根據(jù)乘法公式展開，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期中）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】利用完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算，然后把x的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：原式當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．提升篇提升篇一、填空題1．（2022秋·山東濱州·八年級?？计谀┮阎?，則________，______，__________．【答案】

5

4

17【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方運(yùn)算法則，即可求出和的值，再根據(jù)完全平方公式即可求出的值．【詳解】解：∵，，∴，，∴，故答案為：5，4，17．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則，冪的乘方運(yùn)算法則，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；完全平方公式．2．（2022秋·湖北·八年級統(tǒng)考期末）已知：，，則＝_____．【答案】【分析】將代入計(jì)算可得．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式及其變形．3．（2022秋·廣東江門·八年級統(tǒng)考期末）若是完全平方式，則的值為______．【答案】或##或【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)：首平方，尾平方，首尾兩數(shù)積的兩倍在中央求解即可．【詳解】解：∵是完全平方式，∴，整理得：或，解得或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式，記住完全平方式的特征是解題的關(guān)鍵，形如這樣的式子是完全平方式，屬于中考?？碱}型．4．（2022秋·北京海淀·七年級清華附中?？计谀┮阎?，則______．【答案】61【分析】根據(jù)可得，，然后將原分式適當(dāng)變形后整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴．故答案為：61．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，掌握整體代入思想是解題關(guān)鍵．在本題中還需理解．5．（2022秋·天津和平·八年級天津一中校考期末）（1）已知，，則的值為______．（2）已知，，則的值為______．（3）已知x滿足，則的值為______．【答案】

39

5

5【分析】（1）將變形為，再代入已知條件計(jì)算即可；（2）將變形為，再代入已知條件，即可求出值，將變形為，代入即可求解．（3）將變形為，則，將看做成一個整體，化簡即可求得的值．【詳解】解：（1）∵，，∴，故答案為：39；（2）∵∴∵，∴，∴，故答案為：5；（3）∵，∴，，，，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握利用完全平方公式變形求代數(shù)式值是解題的關(guān)鍵．二、解答題6．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用完全平方差公式變形即可求解；（2）利用完全平方公式變形，將式子用含、的式子表示，再代入求解．【詳解】（1）解：（2）解：【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及其變形式，根據(jù)公式的特征進(jìn)行變形是求解的關(guān)鍵．7．（2022秋·陜西渭南·八年級校考階段練習(xí)）（1）證明：相鄰兩個奇數(shù)的平方的差是8的倍數(shù)．（注釋：兩個奇數(shù)的平方的差：兩個奇數(shù)各自平方，然后相減）（2）證明：任意兩個奇數(shù)的平方的差是4的倍數(shù)．（3）已知，求的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2【分析】（1）表示出相鄰兩個奇數(shù)為：，，列出他們平方的差進(jìn)行計(jì)算即可；（2）表示相互兩個奇數(shù)為：，，列出他們平方的差進(jìn)行計(jì)算即可；（3）將，轉(zhuǎn)化為底數(shù)為3的形式，再利用冪的乘方和同底數(shù)冪的乘方運(yùn)算即可．【詳解】（1）證明：相鄰兩個奇數(shù)的平方的差是8的倍數(shù)．（注釋：兩個奇數(shù)的平方的差：兩個奇數(shù)各自平方，然后相減）設(shè)：這兩個奇數(shù)為：，（注：設(shè)為2n1，2n+1也可以）則：是8的倍數(shù)，∴相鄰兩個奇數(shù)的平方的差是8的倍數(shù)．（2）證明：任意兩個奇數(shù)的平方的差是4的倍數(shù)．設(shè)：這兩個奇數(shù)為：，則：是4的倍數(shù)，∴任意兩個奇數(shù)的平方的差是4的倍數(shù)．（3）已知，求的值．．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的運(yùn)算及同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方的運(yùn)算，熟練運(yùn)用公式及法則是解決問題的關(guān)鍵．8．（2022秋·河南周口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線剪開分成四塊完全一樣的小長方形，然后按如圖2的形狀拼成一個正方形．(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長是______；(2)用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積，并寫出三個代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系；(3)根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決問題：若，，求的值；(4)根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，直接寫出和之間的關(guān)系；若，分別求出和的值．【答案】(1)(2)方法一：，方法二：，或(3)(4)的值為4，的值為12【分析】（1）圖2中，大正方形的邊長為：，橫著看，是由兩個b和陰影正方形的邊長構(gòu)成，相減便得陰影正方形邊長；（2）方法一：圖1中已求出陰影正方形的邊長，邊長乘邊長即為面積；方法二：圖2長方形面積減圖2非陰影部分面積，即為陰影部分面積；（3）運(yùn)用（2）中關(guān)系可得，代入求解即可；（4）將m視為a，視為b，按照上述結(jié)論即可解決．【詳解】（1）解：陰影部