【整合學(xué)案】11.4.1　直線與平面垂直

高中數(shù)學(xué)精選資源2/211.4空間中的垂直關(guān)系11.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解直線與平面垂直的定義．(重點)2.理解直線與平面垂直的判定定理，并會用其判斷直線與平面垂直．(重點)3.掌握線面垂直的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用．(重點)4.靈活運用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理處理空間垂直問題．(難點)1.通過直線與平面垂直的定義學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2.借助線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).1．直線與直線所成的角一般地，如果a，b是空間中的兩條異面直線，過空間中任意一點，分別作與a，b平行或重合的直線a′，b′，則a′與b′所成角的大小，稱為異面直線a與b所成角的大小．規(guī)定空間中兩條平行直線所成角的大小為0°，兩條直線所成的角也稱為這兩條直線的夾角．特別地，空間中兩條直線l，m所成角的大小為90°時，稱l與m垂直，記作l⊥m.2．直線與平面垂直的定義文字語言圖形語言符號語言如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫做垂足l⊥α?mα，l⊥m.3.直線與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥m，,l⊥n，,m?α，,n?α，,m∩n≠))?l⊥α思考：一條直線與一個平面內(nèi)兩條平行直線垂直，那么這條直線與這個平面是什么位置關(guān)系？[提示]相交或平行或直線在平面內(nèi)．4．直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言如果兩條直線垂直于同一個平面，那么兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,m⊥α))?l∥m圖形語言文字語言如果兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,l⊥α))?m⊥α5.直線與平面所成的角(1)斜線：與平面α相交，但不和平面α垂直，圖中直線PA．(2)斜足：斜線和平面的交點，圖中點A．(3)射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO.(4)直線與平面所成的角：①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角．②規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角．(5)取值范圍：0°≤θ≤90°.1．在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個面中，與AA1A．1 B．2C．3 D．6B[正方體ABCD-A1B1C1D1的六個面中與AA1垂直的平面是平面ABCD與平面A1B1C1D2．直線l⊥平面α，直線mα，則l與m不可能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直A[由直線與平面垂直的定義可知，l⊥m，l與m可能相交或異面，但不可能平行．]3．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°A[由題意知，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，BO＝eq\f(1,2)AB，所以∠ABO＝60°.]4．如圖，設(shè)O為平行四邊形ABCD對角線的交點，P為平面ABCD外一點，且有PA＝PC，PB＝PD，則PO與平面ABCD的關(guān)系是________．垂直[因為PA＝PC，所以PO⊥AC，又PB＝PD，所以PO⊥BD.所以PO⊥平面ABCD.]線面垂直的定義及線線角、線面角的求解【例1】(1)下列說法中正確的個數(shù)是()①如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則l⊥α；②如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α；③如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直．A．0 B．1C．2 D．3(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1A．30° B．45°C．60° D．90°(3)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1B1C1DA．30° B．45°C．60° D．135°(1)D(2)C(3)B[(1)由直線和平面垂直的判定定理知①正確；由直線與平面垂直的定義知，②正確；當(dāng)l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故③不對；④正確．(2)因為A1B∥D1C，所以異面直線A1B與AD1所成的角為∠AD1因為△AD1C所以∠AD1C(3)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，BC1在平面A1B1C1D1中的射影為B1C1，所以∠BC1B1即為直線BC1與平面A1B1C1D1所成的角，在等腰直角三角形BB1C1中1．理解線面垂直判定定理要注意的兩個問題(1)要判斷一條已知直線和一個平面是否垂直，只需要在該平面內(nèi)找出兩條相交直線與已知直線垂直即可．(2)空間直線與直線垂直包括相交垂直和異面垂直兩種情況，所以在平面內(nèi)的這兩條直線是否與已知直線有交點，是無關(guān)緊要的．2．求異面直線所成的角的步驟(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，遇題設(shè)中有中點，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對異面直線平移有困難時，可利用該幾何體的特殊點，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ＜180°，則180°－θ為所求．3．求斜線與平面所成角的步驟(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算．(1)下列說法中錯誤的個數(shù)是()①若直線m∥平面α，直線l⊥m，則l⊥α；②若直線l和平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α必相交；③過平面α外一點有且只有一條直線和平面α垂直；④過直線a外一點有且只有一個平面和直線a垂直．A．0 B．1C．2 D．3(2)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線PB與平面ABC所成的角等于________．(1)C(2)45°[(1)①錯誤．若直線m∥平面α，直線l⊥m，則l與α平行、相交或l在α內(nèi)都有可能；②錯誤．若直線l和平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α平行、相交或l在α內(nèi)都有可能；③④正確．(2)因為PA⊥平面ABC，所以∠PBA為PB與平面ABC所成的角，又PA＝AB，所以∠PBA＝45°.]線面垂直判定定理的應(yīng)用【例2】如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.(1)求證：PC⊥平面AEF；(2)設(shè)平面AEF交PD于G，求證：AG⊥PD.[思路探究]PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，AE⊥PB，AF⊥PC?直線與平面垂直的判定定理；若一條直線垂直于一個平面，則垂直于這個平面內(nèi)的所有直線．[證明](1)因為PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC平面PBC，所以AE⊥PC.又因為PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG平面PAD，所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD平面PCD，所以AG⊥PD.1．若本例中，底面ABCD是菱形，H是線段AC上任意一點，其他條件不變，求證：BD⊥FH.[證明]因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA，因為PA平面PAC，AC平面PAC，且PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，F(xiàn)H平面PAC，所以BD⊥FH.2．若本例中PA＝AD，G是PD的中點，其他條件不變，求證：PC⊥平面AFG.[證明]因為PA⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以DC⊥PA,又因為ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD，又AG平面PAD，所以AG⊥DC，因為PA＝AD，G是PD的中點，所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D，所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，又因為PC⊥AF，AG∩AF＝A，所以PC⊥平面AFG.證線面垂直的方法1．線線垂直證明線面垂直(1)定義法(不常用)；(2)判定定理最常用(有時作輔助線)．2．平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)(1)a∥b，a⊥α?b⊥α；(2)α∥β，a⊥α?a⊥β.線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用[探究問題]將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)．觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系．1．折痕AD與桌面一定垂直嗎？[提示]不一定．2．當(dāng)折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直？[提示]當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時，折痕AD與桌面垂直．【例3】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC，求證：MN∥AD[思路探究]兩直線垂直于同一平面?兩直線平行．[證明]因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD因為A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.本例中條件不變，求證：M是AB中點．[證明]連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.所以O(shè)Neq\f(1,2)CDeq\f(1,2)AB，所以O(shè)N∥AM.又因為由本例可知MN∥OA，所以四邊形AMNO為平行四邊形，所以O(shè)N＝AM.因為ON＝eq\f(1,2)AB，所以AM＝eq\f(1,2)AB，所以M是AB的中點．平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化1．直線和平面垂直的判定方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理；(3)利用下面兩個結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β.2．求線面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二證三計算)；(2)轉(zhuǎn)移法(找過點與面平行的線或面)．3．重視線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)垂直于同一條直線的兩個平面互相平行． ()(2)垂直于同一平面的兩條直線互相平行． ()(3)一條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線互相垂直． ()[解析]由線面垂直的定義和性質(zhì)可知(1)、(2)、(3)均正確．[答案](1)√(2)√(3)√2．在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行B[圓柱的母線垂直于圓柱的底面，由線面垂直的性質(zhì)知B正確．]3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中AB1與平面ADD1A1所成的角等于________，AB1與平面DCC1D45°0°[∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1即45°；