統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)專(zhuān)題三立體幾何第3講空間向量與立體幾何課件理

第3講空間向量與立體幾何考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一向量法證明平行與垂直考點(diǎn)一向量法證明平行與垂直——建系，找點(diǎn)，寫(xiě)向量；平行，垂直，找關(guān)系設(shè)直線(xiàn)l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分別為u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．(1)l∥m?a∥b?a＝kb?a1＝______，b1＝______，c1＝______；(2)l⊥m?a⊥b?a·b＝______?a1a2＋b1b2＋c1c2＝______；(3)l∥α?a⊥u?a·u＝______?a1a3＋b1b3＋c1c3＝______；(4)l⊥α?a∥u?a＝ku?a1＝______，b1＝______，c1＝_____；(5)α∥β?u∥v?u＝kv?a3＝______，b3＝______，c3＝______；(6)α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝______．ka2kb2kc20000ka3kb3kc3ka4kb4kc40例1在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線(xiàn)段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn).求證：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.

歸納總結(jié)利用空間向量證明平行與垂直的步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)，要盡可能地利用載體中的垂直關(guān)系；(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問(wèn)題中所涉及的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面中的要素；(3)通過(guò)空間向量的運(yùn)算研究平行、垂直關(guān)系；(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問(wèn)題．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點(diǎn)，O為DF的中點(diǎn)，運(yùn)用向量方法證明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.

考點(diǎn)二向量法求空間角

例2[2023·全國(guó)甲卷（理）]如圖，在三棱柱ABC--A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距離為1.（1）證明：A1C＝AC；（2）已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．

歸納總結(jié)1．利用向量法求線(xiàn)面角的方法(1)分別求出斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(或鈍角的補(bǔ)角)，取其余角就是斜線(xiàn)和平面所成的角．即線(xiàn)面角的正弦值等于斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量夾角余弦值的絕對(duì)值．2．利用向量法求二面角的方法(1)分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．提醒

求空間角注意：①兩條異面直線(xiàn)所成的角α不一定是直線(xiàn)的方向向量的夾角β，即cosα＝|cosβ|.②兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角．③直線(xiàn)和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線(xiàn)方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，即注意函數(shù)名稱(chēng)的變化．考點(diǎn)三用向量法解決探索性問(wèn)題考點(diǎn)三用向量法解決探索性問(wèn)題——問(wèn)題坐標(biāo)化，探求方程解與空間向量有關(guān)的探究性問(wèn)題主要有兩類(lèi)：一類(lèi)是探究線(xiàn)面的位置關(guān)系；另一類(lèi)是探究線(xiàn)面角或二面角滿(mǎn)足特定要求時(shí)的存在性問(wèn)題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿(mǎn)足要求，從而作出判斷．例3[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]如圖，在正四棱柱ABCD--A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.（1）證明：B2C2∥A2D2；（2）點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P--A2C2--D2為150°時(shí)，求B2P.歸納總結(jié)利用空間向量巧解探索性問(wèn)題(1)空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷．(2)解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．所以為使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題．

[高考5個(gè)大題]解題研訣竅(三)立體幾何問(wèn)題重在“建”——建模、建系[思維流程——找突破口][技法指導(dǎo)——遷移搭橋]立體幾何解答題建模、建系策略立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個(gè)幾何體為依托，分步設(shè)問(wèn)，逐層加深，解決這類(lèi)題目的原則是建模、建系．建?！獙?wèn)題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等的計(jì)算模型．建系——依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．

[快審題]求什么想什么證明線(xiàn)面垂直，想線(xiàn)面垂直成立的條件．求線(xiàn)面角的正弦值，想平面的法向量及