專題03 三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用（四大類型）（題型專練）（原卷版）-A4

第頁專題03三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用（四大類型）【題型1解直角三角形的應(yīng)用】【題型2解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角】【題型3解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題】【題型4解直角三角形應(yīng)用-方向角問題】1．如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，測得AB＝60cm，∠B＝50°，則點(diǎn)A到BC的距離為（）A．60sin50°cm B．60cos50°cm C． D．60tan50°cm2．如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊，OC⊥OB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)，已知AB＝2，AD＝8，∠BCO＝x，則點(diǎn)A到OC的距離等于（）A．2sinx+8sinx B．2cosx+8cosx C．2sinx+8cosx D．2cosx+8sinx3．有一塊直角三角形空地（△ABC），政府為了加強(qiáng)生態(tài)文明建設(shè)，計(jì)劃把這塊空地規(guī)劃成綠化帶，已知∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝20m，≈1.7，若每平方米綠化帶的費(fèi)用為200元，則整塊空地規(guī)劃成綠化帶共需費(fèi)用（）A．17000元 B．17500元 C．34000元 D．36000元4．如圖，電線桿CD的高度為3米，兩根拉線AC與BC相互垂直，A、D、B在同一條線上，∠CAB＝α，則拉線BC的長度為（）A． B． C．3cosα D．5．如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子AB的長是6米．若梯子與地面的夾角為α，則梯子底端到墻面的距離AC的長為（）米．A．6?cosα B．6?sinα C． D．6．如圖，小明利用一個(gè)銳角是30°的三角尺測操場旗桿的高度，已知他與旗桿之間的水平距離BC為15m，AB＝1.5m，則旗桿的高度為（）A．（15+）m B．（5+）m C．15m D．5m7．如圖所示，號稱“長春眼”的摩天輪在摩天活力城的樓頂，其直徑約為70米，摩天活力城樓高約30米，摩天輪旋轉(zhuǎn)一周大約需要10分鐘，乘坐摩天輪升到最高處，可俯瞰整座城市．小紅乘坐摩天輪游玩，4分鐘后她乘坐的轎廂升至點(diǎn)A處距地面的高度約為（）A．（70?sin36°+30）米 B．（70?sin54°+30）米 C．（35?sin36°+65）米 D．（35?sin54°+65）米8．圖1是臨安區(qū)一地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，雙翼展開時(shí)示意圖如圖2所示，它是一個(gè)軸對稱圖形，AC＝40cm，則雙翼邊緣端點(diǎn)C與D之間的距離為（用含α的三角函數(shù)表示）．9．?dāng)?shù)學(xué)課題研究小組針對所在城市住房窗戶“如何設(shè)計(jì)遮陽篷”這一課題進(jìn)行了探究，過程如下：【方案設(shè)計(jì)】要求設(shè)計(jì)的遮陽篷既能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)．該數(shù)學(xué)課題研究小組通過調(diào)查研究，設(shè)計(jì)安裝了如圖1的遮陽篷，其中垂直于墻面AC的遮陽篷CD，AB表示窗戶，BCD表示直角遮陽篷．【數(shù)據(jù)收集】如圖，通過查閱相關(guān)資料和實(shí)際測量：夏至日這一天的正午時(shí)刻太陽光線DA與遮陽篷CD的夾角∠ADC最大，且最大角∠ADC＝75°；冬至日這一天的正午時(shí)刻，太陽光線DB與遮陽篷CD的夾角∠BDC最小，且最小角∠BDC＝35°．【問題提出】（1）如圖2，若只要求設(shè)計(jì)的遮陽篷能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，當(dāng)CD＝1m時(shí)，求AC的長．（2）如圖3，要求設(shè)計(jì)的遮陽篷能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)．當(dāng)AB＝1.5m時(shí)，根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，求遮陽篷CD的長．（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin35°≈0.57，cos35°≈0.83，tan35°≈0.7）10．消防車是救援火災(zāi)的主要裝備．圖①是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸縮的，且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)上下轉(zhuǎn)動(dòng)，張角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面的高度AE為3米．（1）當(dāng)起重臂AC的長為24米，張角∠CAE＝120°時(shí)，求云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度CF．（2）某日一棟大樓突發(fā)火災(zāi)，著火點(diǎn)距離地面的高度為26米，問該消防車在這棟樓下能否實(shí)施有效救援？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7）（提示：當(dāng)起重臂AC伸到最長且張角∠CAE最大時(shí)，云梯頂端C可以達(dá)到最大高度．）【題型2解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角】11．（2023?柳州一模）如圖，某商場一樓與二樓之間的電梯示意圖．∠ABC＝150°，BC的長是8m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是（）A．m B．4m C．4m D．8m12．（2023?官渡區(qū)一模）“兒童放學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”，小明周末在龍?zhí)豆珗@草坪上放風(fēng)箏，已知風(fēng)箏拉線長100米且拉線與地面夾角為65°（如圖所示，假設(shè)拉線是直的，小明身高忽略不計(jì)），則風(fēng)箏離地面的高度可以表示為（）A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．13．（2023?白城模擬）雪上項(xiàng)目占據(jù)了2022年北京冬奧會(huì)的大部分比賽項(xiàng)目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳臺滑雪、無舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如圖，某滑雪運(yùn)動(dòng)員在坡度為5：12的雪道上下滑65m，則該滑雪運(yùn)動(dòng)員沿豎直方向下降的高度為（）A．13m B．25m C．m D．156m14．（2023?南崗區(qū)二模）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡角為α，堤壩高BC為50米，則迎水坡面AB的長度是（）A．50?tanα米 B．50?sinα米 C．米 D．米15．（2022秋?德惠市期末）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，則此斜坡的水平距離AC為（）A．75m B．50m C．30m D．12m16．（2023?惠山區(qū)三模）北京冬奧會(huì)雪上項(xiàng)目競賽場地“首鋼滑雪大跳臺”巧妙地融入了敦煌壁畫“飛天”元素．如圖，賽道剖面圖的一部分可抽象為線段AB．已知坡AB的長為30m，坡角∠ABH約為37°，則坡AB的鉛直高度AH約為m．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）17．（2023?開封模擬）圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．已知屋面AE的傾斜角∠EAD為22°，長為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為37°，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5米．（1）真空管上端B到水平線AD的距離．（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度．（結(jié)果精確到0.1米）參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4．18．（2023?成都模擬）如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度CD＝6米，坡面BC的傾斜角∠CBD＝45°，距B點(diǎn)8米處有一建筑物NM，為了方便行人推自行車過天橋，市政府決定降低坡面BC的坡度，把傾斜角由45°減至30°，即使得新坡面AC的傾斜角為∠CAD＝30°．若新坡面底端A處與建筑物NM之間需要留下至少3米寬的人行道，那么該建筑物是否需要拆除？請說明理由．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）19．（2023?興安盟模擬）2022年2月20日，舉世矚目的北京冬奧會(huì)圓滿落下帷幕．本次冬奧會(huì)的成功舉辦掀起了全民冰雪運(yùn)動(dòng)的熱潮．圖1、圖2分別是一名滑雪運(yùn)動(dòng)員在滑雪過程中某一時(shí)刻的實(shí)物圖與示意圖，已知運(yùn)動(dòng)員的小腿ED與斜坡AB垂直，大腿EF與斜坡AB平行，G為頭部，假設(shè)G，E，D三點(diǎn)共線且頭部到斜坡的距離GD為1.04m，上身與大腿夾角∠GFE＝53°，膝蓋與滑雪板后端的距離EM長為0.8m，∠EMD＝30°．（1）求此滑雪運(yùn)動(dòng)員的小腿ED的長度；（2）求此運(yùn)動(dòng)員的身高．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）20．（2023春?金華月考）如圖，在河流兩邊有甲、乙兩座山，現(xiàn)在從甲山A處的位置向乙山B處拉電線．已知甲山上A點(diǎn)到河邊C的距離AC＝130米，點(diǎn)A到CD的垂直高度為120米；乙山BD的坡比為4：3，乙山上B點(diǎn)到河邊D的距離BD＝450米，從B處看A處的俯角為25°．（參考值：sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（1）求乙山B處到河邊CD的垂直距離；（2）求河CD的寬度．（結(jié)果保留整數(shù)）【題型3解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題】21．如圖，為測量一幢大樓的高度，在地面上與樓底點(diǎn)O相距30米的點(diǎn)A處，測得樓頂B點(diǎn)的仰角∠OAB＝65°，則這幢大樓的高度為（）A．米 B．30sin65°米 C．米 D．30?tan65°米22.2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，神舟十三號載人飛行任務(wù)收得圓滿成功，中國航天，又站在了一個(gè)新的起點(diǎn)．如圖2021年10月16日，神舟十三號載人飛船從地面O處成功發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，地面D處的雷達(dá)站測得AD＝4000米，仰角為30°，3秒后，飛船直線上升到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)地面C處的雷達(dá)站測得B處的仰角為45°．點(diǎn)O，C，D在同一直線上，已知C，D兩處相距460米，則飛船從A到B處的平均速度為多少米/秒．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，）（）A．336 B．335 C．334 D．33323．如圖，從航拍無人機(jī)A看一棟樓頂部B的仰角α為30°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，無人機(jī)與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（）A． B． C． D．24．如圖是某商場營業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為30°，在自動(dòng)扶梯下方地面C處測得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為4m．則自動(dòng)扶梯的垂直高度BD約為（）m（保留一位小數(shù)）A．3.9 B．3.7 C．3.5 D．3.325．如圖，湖的旁邊有一建筑物AD，某數(shù)學(xué)興趣小組決定測量它的高度．他們首先在點(diǎn)B處測得建筑物最高點(diǎn)A的仰角為30°，然后沿BD方向前進(jìn)12米到達(dá)C處，又測得點(diǎn)A的仰角為45°．請你幫助該小組同學(xué)，計(jì)算建筑物AD的高度約為米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)）26．如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點(diǎn)C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度為i＝1：3，且O，A，B在同一條直線上，則此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度為米．27．我省某通信公司準(zhǔn)備逐步在浮山上建設(shè)5G基站．如圖，某處斜坡CB的坡度（或坡比）為i＝1：2.4，通訊塔AB垂直于水平地面，在C處測得塔頂A的仰角為45°，在D處測得塔頂A的仰角為53°，斜坡路段CD長26米．（1）求點(diǎn)D到水平地面CQ的距離．（2）求通訊塔AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）28．如圖，無人機(jī)在塔樹上方Q處懸停，測得塔頂A的俯角為37°，樹頂D的俯角為60°，樹高CD為12米，無人機(jī)豎直高度PQ為60米，B、P、C在一條直線上，且P點(diǎn)到塔底B的距離比到樹底C的距離多8米，求塔高AB的值．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）29．某學(xué)校興趣小組開展實(shí)踐活動(dòng)，并在活動(dòng)后實(shí)地測量了某建筑物的高度．方法如下：如圖，首先在測量點(diǎn)A處用高為1.5米的測角儀AC測得建筑物MN頂部M的仰角為35°，然后在測量點(diǎn)B處用同樣的測角儀BD測得建筑物MN頂部M的仰角為42°，最后測量出A，B兩點(diǎn)間的距離為12米，并且N，B，A三點(diǎn)在一條直線上，連接CD并延長交MN于點(diǎn)E，請你利用他們的測量結(jié)果，計(jì)算此建筑物MN的高度．（參考依據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【題型4解直角三角形應(yīng)用-方向角問題】30．（2023?寧南縣校級模擬）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔45海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時(shí)與燈塔P的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．27海里 B．50海里 C．75海里 D．海里31．（2023春?大冶市期中）如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭A在觀測站B的正東方向，碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C，小島C在觀測站B的北偏西15°方向上，碼頭A到小島C的距離AC為（+1）海里．觀測站B到AC的距離BP是（）A． B．1 C．2 D．32．（2023?柳南區(qū)二模）如圖，某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的西北方向距離哨所米的A處有一艘船向正東方向航行，航行一段時(shí)間后到達(dá)哨所北偏東60°方向的B處，則此時(shí)OB為米．33．（2023?龍鳳區(qū)校級模擬）如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則此時(shí)輪船所在位置B處于燈塔P之間的距離為．34．（2022秋?叢臺區(qū)校級期末）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A、B同時(shí)收到某事故漁船P的求救訊息，已知此時(shí)救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距60海里．（1）求收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離（結(jié)果保留根號）；（2）求救助船A、B分別以20海里/小時(shí)，15海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．35．（2023?邵陽模擬）如圖，某湖心島上有一亭子A，在亭子A的正東方向上的湖邊有一棵樹B，在這個(gè)湖心島的湖邊C處測得亭子A在北偏西45°方向上，測得樹B在北偏東36°方向上，又測得B、C之間的距離等于200米，求A、B之間的距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，sin