專題02 解直角三角形（六大類型）（題型專練）（解析版）-A4

第頁專題02解直角三角形（六大類型）1．（2023?青島三模）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均是1，△ABC的頂點均在小正方形的頂點上，則sin∠BAC的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：過點D作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ADC中，根據勾股定理得，AC＝5，∴sin∠BAC＝，故選：B．2．（2023?樊城區(qū)模擬）如圖，在正方形組成的網格中，∠BAC的余弦值等于（）A． B． C．1 D．【答案】B【解答】解：如圖，在Rt△ACD中，AD＝CD＝3，∴AC＝＝＝3，∴cos∠BAC＝＝＝，故選：B．3．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中點，BC＝4，tan，則AD的長為（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∵tan∠CAB＝＝，∴AC＝2BC＝2×4＝8，∵D是AC的中點，∴AD＝AC＝×8＝4，故選：C．4．（2023?增城區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，AB＝10，，則AC的長是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cosA＝＝，∴AC＝AB＝×10＝6，故選：A．5．（2023?集寧區(qū)校級模擬）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，，則AC的長為（）A．9 B．15 C．18 D．12【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，∴sinB＝，∵AB＝25，，∴＝，∴AC＝AB＝×25＝15，故選：B．6．（2022秋?薛城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC交BC于點D，AD＝BD，若AB＝，tanC＝，則BC＝（）A．8 B． C．7 D．【答案】C【解答】解：∵AD⊥BC交BC于點D，AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，∵tanC＝＝，∴CD＝3，∴BC＝BD+CD＝7；故選：C．7．（2021秋?惠安縣期末）如圖中的每個小正方形的邊長均相等，則sin∠BAC的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：連接BC，由題意得：BC2＝12+22＝5，AC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴sin∠BAC＝sin45°＝，故選：B．8．（2022秋?電白區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，BC＝，AC＝3，則sin∠ACD＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD是斜邊AB上的高，∴CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝，故選：C．9．（2022?市中區(qū)二模）如圖，在?ABCD中，CD＝4，∠B＝60°，分別以點A，B為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧交點的連線交BC與點E，BE：EC＝2：1，則?ABCD的面積為（）A．12 B． C． D．【答案】C【解答】解：過點A作AF⊥BC于點F，在?ABCD中，∵CD＝4，∴AB＝CD＝4，由作法得EM垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，∵∠B＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝4，∵BE：EC＝2：1，∴EC＝2，BC＝BE+EC＝4+2＝6；又∵AF⊥BC，∠B＝60°，∴sin∠ABF＝，∴AF＝AB?sin∠ABF＝4×＝2，∴S?ABCD＝BC?AF＝6×2＝12．故選：C．10．（2022?南山區(qū)校級二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，則tan∠ACD的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，tanB＝，∴tanB＝，∴tan∠ACD＝，故選：A．11．（2022?青秀區(qū)校級三模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，則AB長為（）A．4 B．8 C． D．12【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，∴AB＝＝＝8，故選：B．12．（2022秋?西崗區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3，4），那么tanα的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖：過點A作AB⊥x軸，垂足為B，∵點A的坐標為（3，4），∴OB＝3，AB＝4，在Rt△AOB中，tanα＝＝，故選：B．13．（2022秋?張店區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于點D，則線段AD的長為（）A．6 B．12 C．6 D．6【答案】B【解答】解：過點C作CE⊥AB，垂足為E，在Rt△BCE中，∠B＝45°，BC＝6，∴CE＝BC?sin45°＝6×＝6，在Rt△ACE中，∠BAC＝60°，∴AC＝＝＝12，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝75°，∵∠ACD＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝75°，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝12，故選：B．14．（2022?泗水縣二模）如圖，在Rt△BAD中，延長斜邊BD到點C，使，連接AC，若，則tan∠CAD的值（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：過點C作CE垂直AD的延長線于E，在Rt△BAD中，，∴，設AB＝3a，AD＝4a，則BD＝＝5a，∵CE⊥AE，BA⊥AD，∴△BAD∽△CED，∴，∵DC＝BD，∴DE＝AD＝2a，CE＝AB＝a，∴在Rt△AEC中，tan∠CAD＝＝．故選：B．15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12，則AC等于6．【答案】6．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∵AB＝12，∴AC＝6．故答案為：6．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點D，AC＝10，，那么AD＝．【答案】．【解答】解：∵cosC＝，AC＝10，∴BC＝AC?cosC＝10×＝6．又BD⊥AC，∴CD＝BC?cosC＝6×＝．∴AD＝AC﹣CD＝10﹣＝．故答案為：．17．如圖，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，則BC＝．【答案】．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，∴，∵∠C＝45°，∴DC＝AD＝2，∴．故答案為：．18．如圖，每個小正方形的邊長均相等，則sin∠BAC的值為．【答案】．【解答】解：連接BC，由題意得：BC2＝12+22＝5，AC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴sin∠BAC＝sin45°＝，故答案為：．19．如圖，在由正三角形構成的網格圖中，A、B、C三點均在格點上，則sin∠BAC的值為．【答案】．【解答】解：令正三角形的邊長是“1”，∴AC＝2，BC＝×1＝，∴AB＝＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝．故答案為：．20．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝1，點D是CB延長線上的一點，且BD＝BA＝2，連接AD，則tan∠DAC的值為2+．【答案】2+．【解答】解：在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，BC＝．∵AC＝1，∴AB＝2，∵BD＝BA＝2，∴BC＝，∴DC＝BD+BC＝2+，∴tan∠DAC＝＝2+．故答案為：2+．21．如圖所示，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．連接AC，AC⊥CD，若，則AD的長度是10．【答案】10．【解答】解：∵∠B＝90°，∴cos∠BAC＝，∴AC＝＝＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10．故答案為：1022．如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數為（2+2）cm．【答案】（2+2）．【解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，∴∠BOC＝∠AOC，∵BC∥OA，∴∠BCO＝∠AOC，∴∠BCO＝∠BOC，∴BC＝OB，∵△ODB是等腰直角三角形，∴OB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．∴OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數為（2+2）cm．故答案為：（2+2）．23．如圖．已知△ABC中，．（1）求AC的長；（2）設AC邊上的高線BD，交邊AC于點D，求BD的長．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）如圖所示，過點A作AE⊥BC于點E，∵，設AE＝3k，則BE＝4k，∴AB＝5k，∵AB＝BC＝5，∴k＝1，∴AE＝3，BE＝4，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△AEC中，；（2）如圖所示，∵BD是AC邊上的高，AE是BC邊上的高，∴∴．24．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AD＝2，BD＝1，DC＝4，求∠BAC的度數．【答案】90°．【解答】解：∵AD＝2，BD＝1，DC＝4，∴，∵∠BDA＝∠ADC＝90°，∴△BDA∽△ADC，∴∠BAD＝∠C，∵∠C+∠DAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°．25．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝3，BC的延長線與AD的延長線交于點E．（1）若∠A＝60°，求BC的長；（2）若sinE＝，求AD的長．【答案】（1）＝6﹣6；（2）6．【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，∴∠E＝30°，BE＝tan60°?6＝6，又∵∠CDE＝90°，CD＝3，sinE＝，∠E＝30°，∴CE＝＝6，∴BC＝BE﹣CE＝6﹣6；（2）∵sinE＝，∴sinA＝，∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝＝，∴設BE＝4x，則AE＝5x，得AB＝3x，∴3x＝6，得x＝2，∴BE＝8，AE＝10，∴tanE＝＝＝＝，解得DE＝4，∴AD＝AE﹣DE＝10﹣4＝6，即AD的長是6．26．構建幾何圖形解決代數問題是“數形結合”思想的重要性體現，數學興趣小組在嘗試計算tan15°時，采用以下方法：如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，設AC＝1、則AB＝2、BC＝；所以tan15°＝＝＝＝2﹣，類比這種方法，計算tan22.5°的值（畫出計算所需圖形，并用文字、計算說明）．【答案】﹣1．【解答】解：如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延長CB至點D，使得AB＝BD，則∠BAD＝∠D．∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，∴∠D＝22.5°，設AC＝1，則，∴CD＝CB+BD