第4講 函數(shù)間的互相聯(lián)系

第4講函數(shù)間的互相聯(lián)系【要點提煉】函數(shù)的對稱性、奇偶性、周期性及單調性是函數(shù)的四大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命題，求解時要研究函數(shù)各性質間的相互聯(lián)系，對性質進行綜合、靈活地應用．【典例1】已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，設a＝ln

eq\f(1,π)，b＝(lnπ)2，c＝lneq\r(π)，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，則()A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)【答案】D【解析】依題意得，函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且其圖象關于y軸對稱，則f(a)＝f(－a)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－ln\f(1,π)))＝f(lnπ)，f(c)＝f(lneq\r(π))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lnπ))，而0<eq\f(1,2)lnπ<lnπ<(lnπ)2，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lnπ))>f(lnπ)>f[(lnπ)2]，即f(c)>f(a)>f(b)．【典例2】(多選)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)為偶函數(shù)，且在區(qū)間[2,3]上單調遞增，則()A．f(x)的周期為2B．f(－1)是函數(shù)f(x)的最小值C．函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心為(4,0)D．f(x＋16)＝f(x－12)【解析】由f(x＋1)為偶函數(shù)，可知f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，又f(x)為奇函數(shù)，∴－f(－x)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝4，故A錯；f(x)在[2,3]上單調遞增，且T＝4，∴f(x)在[－2，－1]上單調遞增，∴f(－1)不是f(x)的最小值，故B錯；又f(x)關于(0,0)對稱，且T＝4，∴f(x)的圖象關于(4,0)對稱，故C正確；∵T＝4，∴f(x＋16)＝f(x)，f(x－12)＝f(x)，∴f(x＋16)＝f(x－12)，故D正確．【典例3】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)．若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.【解析】∵f(x)是奇函數(shù)且f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(x)＝f(4－x)且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，并且此函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)．∵f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，∴f(x)在[－2,2]上是增函數(shù)，在[2,6]上是減函數(shù)．據(jù)此可畫出y＝f(x)圖象的草圖(如圖)(設x1<x2<x3<x4)：其圖象也關于直線x＝－6對稱，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.【方法總結】函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關系，而函數(shù)的單調性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律．因此在解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定函數(shù)在另一個區(qū)間上的單調性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉換，再利用單調性解決相關問題．【典例4】已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為()A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a【解析】∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，g(x)為偶函數(shù)．∴g(－log25.1)＝g(log25.1)．∵f(x)在R上單調遞增，∴g(x)在[0，＋∞)上單調遞增．而20.8<2<log25.1<3，∴g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，∴b<a<c.【典例5】(多選)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于點(1,0)對稱，則以下關于f(x)的結論正確的是()A．f(x)是周期函數(shù)B．f(x)滿足f(x)＝f(4－x)C．f(x)在(0,2)上單調遞減D．f(x)＝coseq\f(πx,2)是滿足條件的一個函數(shù)【解析】因為f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)，其圖象關于點(1,0)對稱，則f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4為周期的函數(shù)，故A正確；因為f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替換成－x可得f(x)＝f(4－x)，故B正確；f(x)＝coseq\f(πx,2)是定義在R上的偶函數(shù)，(1,0)是它的一個對稱中心，可得D正確；又因為取f(x)＝－coseq\f(πx,2)時也滿足題意，但f(x)在(0,2)上單調遞增，故C錯誤．【典例6】已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則（）A．B．C．D．【解析】：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.【典例7】函數(shù)的部分圖像大致為（） ABCD【解析】本題主要考查通過函數(shù)的性質來判斷函數(shù)的圖象,意在考查考生的識圖能力以及數(shù)形結合思想.易知函數(shù)g(x)=x+是奇函數(shù),其函數(shù)圖象關于原點對稱,所以函數(shù)y=1+x+的圖象只需把g(x)的圖象向上平移一個單位長度,結合選項知選D.【典例8】設函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，則使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范圍是()A. B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))【解析】由f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)知f(x)為R上的偶函數(shù)，于是f(x)＞f(2x－1)即為f(|x|)＞f(|2x－1|)．當x＞0時，f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2)，得f′(x)＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(2x,（1＋x2）2)＞0，所以f(x)為[0，＋∞)上的增函數(shù)，則由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得eq\f(1,3)＜x＜1，故選A.【典例9】下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2x【解析】由f(－x)＝f(x)，且定義域關于原點對稱，可知A為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C定義域不關于原點對稱，D為非奇非偶函數(shù)．【典例10】下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝exC．y＝cosx D．y＝ex－e－x【解析】由奇函數(shù)定義易知y＝ex－e－x為奇函數(shù)，故選D.【典例11】下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x2＋sinx【解析】對于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，為奇函數(shù)；對于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，為偶函數(shù)；對于C，f(－x)＝2－x＋eq\f(1,2－x)＝2x＋eq\f(1,2x)＝f(x)，為偶函數(shù)；對于D，y＝x2＋sinx既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，故選D.【典例12】函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A.B.C.D.【解析】函數(shù)有意義，則：，解得：或，結合二次函數(shù)的單調性、對數(shù)函數(shù)的單調性和復合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調增區(qū)間為.【典例13】已知函數(shù)，則（）A．在（0，2）單調遞增B．在（0，2）單調遞減C．y=的圖像關于直線x=1對稱D．y=的圖像關于點（1，0）對稱【典例14】若函數(shù)exf(x)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質.下列函數(shù)中具有M性質的是（）A.B.C.D.【解析】由A,令,,則在R上單調遞增,具有M性質,故選A.【典例15】函數(shù)的圖像大致為()A．B．C．D．【解析】：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.【典例16】函數(shù)的圖像大致為A．B．C．D．【解析】：函數(shù)過定點，排除，求得函數(shù)的導數(shù)，由得，得或，此時函數(shù)單調遞增，排除，故選D.【典例17】函數(shù)y=sin2x的圖象可能是（）A．B．C．D．【解析】：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.【典例18】已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x＜0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)，當x＞eq\f(1,2)時，＝.則f(6)＝()A.－2 B.－1C.0 D.2【解析】當x＞eq\f(1,2)時，＝，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).當x＜0時，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)－[(－1)3－1]＝2，故選D.【典例19】設函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)，則使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范圍是()A. B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))【解析】由f(x)＝ln(1＋|x|)－eq\f(1,1＋x2)知f(x)為R上的偶函數(shù)，于是f(x)＞f(2x－1)即為f(|x|)＞f(|2x－1|)．當x＞0時，f(x)＝ln(1＋x)－eq\f(1,1＋x2)，得f′(x)＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(2x,（1＋x2）2)＞0，所以f(x)為[0，＋∞)上的增函數(shù)，則由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，平方得3x2－4x＋1＜0，解得eq\f(1,3)＜x＜1，故選A.【典例20】下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2x【解析】由f(－x)＝f(x)，且定義域關于原點對稱，可知A為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C定義域不關于原點對稱，D為非奇非偶函數(shù)．【典例21】下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝exC．y＝cosx D．y＝ex－e－x【解析】由奇函數(shù)定義易知y＝ex－e－x為奇函數(shù)，故選D.【典例22】下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x2＋sinx【解析】對于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，為奇函數(shù)；對于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，為偶函數(shù)；對于C，f(－x)＝2－x＋eq\f(1,2－x)＝2x＋eq\f(1,2x)＝f(x)，為偶函數(shù)；對于D，y＝x2＋sinx既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，故選D.【典例23】函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為____．【解析】由得函數(shù)的周期為4，所以因此【典例24】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).若當時,,則f(919)=.【解析】∵f(x+4)=f(x-2),∴f(x)的周期為6,∵919=153×6+1,∴f(919)=f(1).又f(x)為偶函數(shù),∴f(919)=f(1)=f(-1)=6【典例25】若函數(shù)在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為__________．【解析】由得，因為函數(shù)在上有且僅有一個零點且，所以，因此從而函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以，【典例26】已知函數(shù),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).,則實數(shù)的取值范圍是.【解析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性等性質以及導數(shù)與函數(shù)單調性的關系,考查運算求解能力.由f(x)=x3-2x+ex-,得f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),所以f(x)是R上的奇函數(shù),又f'(x)=3x2-2+ex+≥3x2-2+2=3x2≥0,當且僅當x=0時取等號,所以f(x)在其定義域內單調遞增,所以不等式f(a-1)+f(2a2)≤0?f(a-1)≤-f(2a2)=f(-2a2)?a-1≤-2a2,解得-1≤a≤,故實數(shù)a的取值范圍是[-1,].【典例27】已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝eqx\s\up6(\f(2,3))，則f(－8)的值是________．【解析】因為y＝f(x)是奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝eqx\s\up6(\f(2,3))，所以f(－8)＝－f(8)＝－eq8\s\up6(\f(2,3))＝－4.【典例28】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增．若實數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－eq\r(2))，則a的取值范圍為________．【解析】因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，且f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))，所以f(2|a－1|)＞f(eq\r(2))，即為2|a－1|＜eq\r(2)＝2eq\f(1,2)，所以|a－1|＜eq\f(1,2)，即－eq\f(1,2)＜a－1＜eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2).所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))).【典例29】黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學中有著廣泛的應用，其定義為R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)，當x＝\f(q,p)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p，q都是正整數(shù)，\f(q,p)是既約真分數(shù)))，,0，當x＝0，1或0，1上的無理數(shù).))若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x都有f(2－x)＋f(x)＝0，當x∈[0,1]時，f(x)＝R(x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))＋f(lg30)＝________.【解析】由于函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，所以函數(shù)y＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)－4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝－Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝－eq\f(1,5)，f(lg30)＝f(lg3＋lg10)＝f(lg3＋1)＝f(lg3－1)＝－f(1－lg3)＝－R(1－lg3)＝0，因此feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)))＋f(lg30)＝－eq\f(1,5).【典例30】已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意實數(shù)x有f(x＋4)＝－f(x)＋2eq\r(2)，若函數(shù)f(x－1)的圖象