專題07 平面向量（老師版）

專題07平面向量一、單選題1.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考】已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是A． B． C．2 D．【答案】A【解析】設(shè)，則由得，由得因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.2.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測】設(shè)，，若，則A． B． C．1 D．1或【答案】A【解析】因?yàn)?，又，所以，解?故選：A.3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）】若平面向量，滿足，則對于任意實(shí)數(shù)，的最小值是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，設(shè)向量夾角為，則，，設(shè)與的夾角為，，，，，故選：A4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（一）】在中，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示：因?yàn)?，，所以，，故選：A5.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期保溫卷二】點(diǎn)，，在圓上，若，，則的最大值為（）A．3 B． C．4 D．6【答案】C【解析】由題意，則又，所以為等邊三角形.顯然，所以當(dāng)時，有最大值4故選：C6.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二?！恳阎蛄?，的夾角為，，，則（）A． B．3 C． D．12【答案】A【解析】，，，，，故選：A.7.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（六）】在矩形中，，，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系：則，設(shè)所以且，解得，.故選：D8.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（七）】騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動該自行車的過程中，的最大值為（）A．18 B．24 C．36 D．48【答案】C【解析】騎行過程中，相對不動，只有點(diǎn)繞點(diǎn)作圓周運(yùn)動．如圖，以為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，，，圓方程為，設(shè)，則，，，易知當(dāng)時，取得最大值36．故選：C．9.【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期三?！恳阎?，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可知.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.則、、，設(shè)，其中，則，，故.令，，則當(dāng)時，函數(shù)有最小值，且，即的最小值為，故選：C.10.【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（七）】已知，是非零向量且滿足，，則與的夾角是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，設(shè)與的夾角為，，故選：B.二、多選題1.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期考前沖刺卷】將平面向量稱為二維向量，由此可推廣至維向量.對于維向量，，其運(yùn)算與平面向量類似，如數(shù)量積（為向量，的夾角），其向量的模，則下列說法正確的有（）A．不等式可能成立B．不等式一定成立C．不等式可能成立D．若，則不等式一定成立【答案】ABD【解析】對于A，令，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以A，B正確，對于C，令，因?yàn)?，所以，所以，所以C錯誤；對于D，令，因?yàn)椋?，所以，所以D正確，故選：ABD2.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期一?！咳绻矫嫦蛄浚敲聪铝薪Y(jié)論中正確的是（）A． B．C．與的夾角為 D．在方向上的投影為【答案】AB【解析】因?yàn)椋裕贏中，由，可得，故A正確；在B中，由，可得，故B正確；在C中，由，可得與的夾角為，故C錯誤；在D中，在方向上的投影為，故D錯誤．故選:AB．3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（七）】設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，P，Q分別是曲線和上的動點(diǎn)，記，則下列命題不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【解析】根據(jù)題意，在直線上取點(diǎn)，且滿足，過分別作直線的垂線，交曲線于，，交曲線于，在曲線上取點(diǎn)，使，如圖所示：，令，則，，令，則，若，則，若，則即可，此時可以與重合，與重合，滿足題意，但是不成立，且，所以A、B不正確；對于選項(xiàng)C，若，此時與重合，且與重合，或與重合，且與重合，所以滿足，所以C正確；對于D，當(dāng)與重合時，滿足，但此時在直線上的投影不在處，因而不滿足，即，所以D不正確.故選：ABD三、填空題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】已知向量，，且與向量的夾角為90°，則向量在向量方向上的投影為________.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?,則,又與向量的夾角為90°,所以,即,解得,即,因此向量在向量方向上的投影為,故答案為:.2.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考】已知向量，的夾角為，且，，則______.【答案】2【解析】∵，∴，即，∴，解得，故答案為：2.3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底】設(shè)為單位向量，向量與的夾角為120°，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】：由題可知，為單位向量，則，而與的夾角為120°，則，且，而，即，而，則，所以，則，即的取值范圍是.故答案為：.4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）】如圖，已知是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連結(jié)并延長到點(diǎn)，使得，則的值為________【答案】【解析】因?yàn)?，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，所以，因此，又，是邊長為的等邊三角形，所以.故答案為：5.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（五）】已知向量，的夾角為60°，且，，則________.【答案】2【解析】，因此，.故答案為：.6.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（一）】若向量，，，則向量與的夾角等于_________.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，，，故，?設(shè)向量與的夾角為，則，，故.故答案為：.7.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第一次高考模擬】根據(jù)記載，最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國西周時期的數(shù)學(xué)家商高，商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題.現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”，其中“股”，為“弦”上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足勾股定理，則______.【答案】【解析】由等面積法可得，依題意可得，，所以.故答案為：8.【湖南省長沙市長郡中學(xué)202