2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)鐵路二中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)鐵路二中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、1.設(shè)集合A={y|y=2x,x∈R}，B={x|A.{x|?1<x<1} B.{x|0<x<1} C.{x|x>?1} D.{x|x>0}2.函數(shù)f(x)=x?1x?4的定義域?yàn)锳.(1,4) B.[1,4)

C.(?∞,1)∪(4,+∞) D.(?∞,1]∪(4，+∞)3.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?1,2)，則tan2α的值為(

)A.45 B.?45 C.?4.下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(

)A.y=x2+sinx B.y=x2?cosx5.已知sin(π2+α)=35，A.35 B.?35 C.46.等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{A.?24 B.?3 C.3 D.87.已知函數(shù)f(x)=lnx+ax，則“a<0”是“函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上存在零點(diǎn)”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)f(x)=?x2?ax?5(x≤1)ax(x>1)是A.?3≤a<0 B.?3≤a≤?2 C.a≤?2 D.a<09.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足不等式ab+1<a+b，則函數(shù)f(x)=loga(x+b)的圖象可能為A.B.C.D.10.關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|①f(x)是偶函數(shù)

②f(x)在區(qū)間(π2,π)單調(diào)遞增

③f(x)在[?π,π]有4個(gè)零點(diǎn)

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(

)A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)a+i2?i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=______．12.已知α∈(π2,π)，sinα=45，則13.已知(x?ax)7展開(kāi)式中x5的系數(shù)為2114.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若Sn=n2+3n2，n∈N+，則數(shù)列{15.一輛賽車在一個(gè)周長(zhǎng)為3km的封閉跑道上行駛，跑道由幾段直道和彎道組成，圖1反應(yīng)了賽車在“計(jì)時(shí)賽”整個(gè)第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關(guān)系．

根據(jù)圖1，有以下四個(gè)說(shuō)法：

①在這第二圈的2.6km到2.8km之間，賽車速度逐漸增加；

②在整個(gè)跑道上，最長(zhǎng)的直線路程不超過(guò)0.6km；

③大約在這第二圈的0.4km到0.6km之間，賽車開(kāi)始了那段最長(zhǎng)直線路程的行駛；

④在圖2的四條曲線(注：s為初始記錄數(shù)據(jù)位置)中，曲線B最能符合賽車的運(yùn)動(dòng)軌跡．

其中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是______．16.已知函數(shù)f(x)=|2x?a|?kx?3，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若a=1，則函數(shù)f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)；

②存在實(shí)數(shù)a，k，使得函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn)；

③若a>0，則不存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；

④對(duì)任意實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)k使得函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

三、解答題：本題共6小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題13分)

在△ABC中，∠A=60°，c=37a.

(1)求sinC的值；

(2)若a=7，求18.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=cos2ωx+3sinωxcosωx+m(ω>0,m∈R).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)f(x)的解析式的兩個(gè)作為已知．

(Ⅰ)求f(x)的解析式及最小值；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,t](t>0)上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍．

條件①：函數(shù)f(x)的最小正周期為π；

條件②：函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,12)；19.(本小題14分)

為研究某地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生畢業(yè)三個(gè)月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取了1000人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：畢業(yè)去向繼續(xù)學(xué)習(xí)深造單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)人數(shù)2005601412898假設(shè)該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨(dú)立．

(Ⅰ)若該地區(qū)一所高校2021屆大學(xué)畢業(yè)生的人數(shù)為2500，試根據(jù)樣本估計(jì)該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)；

(Ⅱ)從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取3人，記隨機(jī)變量X為這3人中選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的人數(shù)．以樣本的頻率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(Ⅲ)該公司在半年后對(duì)樣本中的畢業(yè)生進(jìn)行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的a(0<a<98)人選擇了如表中其他的畢業(yè)去向，記此時(shí)表中五種畢業(yè)去向?qū)?yīng)人數(shù)的方差為s2.當(dāng)a為何值時(shí)，s2最小．(20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=12ax2+lnx，其中a∈R．

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若f(x)21.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx?x2+1．

(Ⅰ)求f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)判斷f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

(Ⅲ)證明：函數(shù)y=f(x)?xe22.(本小題15分)

設(shè)λ為正實(shí)數(shù)，若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足：?n∈N?，都有an+1≥an+λ.則稱數(shù)列{an}為

P(λ)數(shù)列．

(Ⅰ)判斷以下兩個(gè)數(shù)列是否為P(2)數(shù)列：

數(shù)列A：3，5，8，13，21；

數(shù)列B：log25，π，5，10．

(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足b1>0且bn+1=bn+n+3?n+1，是否存在正實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列參考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.C

6.A

7.C

8.B

9.B

10.C

11.1212.?3+413.?3

14.n+1，n∈N+

15.①④

16.①②④

17.解：(1)∠A=60°，c=37a，

由正弦定理可得sinC=37sinA=37×32=3314；

(2)a=7，則c=3，

∴C<A18.解：(Ⅰ)由題可知，

f(x)=cos2ωx+3sinωxcosωx+m

=32sin2ωx+12cos2ωx+m+12

=sin(2ωx+π6)+m+12，

選擇①②：

因?yàn)門=2π2ω=π，所以ω=1，

又因?yàn)閒(0)=1+m=12，所以m=?12，

所以f(x)=sin(2x+π6)，

當(dāng)2x+π6=2kπ?π2,k∈Z，

即x=kπ?π3,k∈Z時(shí)，f(x)=?1，

所以函數(shù)f(x)的最小值為?1；

選擇①③：

因?yàn)門=2π2ω=π，所以ω=1，

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為m+32=32，

所以m=0，

所以f(x)=sin(2x+π6)+12，

當(dāng)2x+π6=2kπ?π2,k∈Z，即x=kπ?π3,k∈Z時(shí)，

sin(2x+π6)=?1，

所以函數(shù)f(x)的最小值為?1+12=?12；

選擇②③：

因?yàn)閒(0)=1+m=12，所以m=?12，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為m+32=32，所以m=0，

∵m的取值不可能有兩個(gè)，∴無(wú)法求出解析式，舍去；

(Ⅱ)選擇①②：

令19.j解：(I)由題意得，該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)為2500×5601000=1400．

(II)由題意得，樣本中1000名畢業(yè)生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的頻率為2001000=15．

用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，估計(jì)該生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的概率為15．

隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．

所以P(X=0)=C30(15)

X

0

1

2

3

P

64

48

12

1E(x)=0×64125+1×48125+2×12125+3×20.解：(1)由題意可得函數(shù)f(x)=12ax2+lnx的定義域?yàn)?0,+∞)，

由求導(dǎo)公式可得：f′(x)=ax+1x=ax2+1x，(0,+∞)，

當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)=ax2+1x>0，f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，令ax2+1x>0，可解得x<?1a，即f(x)在(0,?1a)單調(diào)遞增，

同理由ax2+1x<0，可解得x>?1a，即f(x)在(?1a,+∞)單調(diào)遞減．

(2)由(1)可知：若a≥0時(shí)，f(x)在(0,1]單調(diào)遞增，

故函數(shù)在x=1處取到最大值f(1)=1221.解：(Ⅰ)由f(x)=xlnx?x2+1，得f′(x)=lnx+1?2x，

所以f′(1)=ln1+1?2=?1，又f(1)=ln1?12+1=0，

所以f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y?0=?1(x?1)，即x+y?1=0；

(Ⅱ)f′(x)=lnx+1?2x，令?(x)=lnx+1?2x，所以?′(x)=1x?2，

當(dāng)0<x<12，?′(x)>0，函數(shù)?(x)在(0,12)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>12時(shí)，?′(x)<0，函數(shù)?(x)在(12,+∞)上單調(diào)遞減，

所以?(x)≤?(12)=ln12+1?2×12=ln12<0，

即f′(x)=lnx+1?2x<0對(duì)(0,+∞)恒成立，所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，

又f(1)=ln1?12+1=0，

所以f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)；

(Ⅲ)證明：要證函數(shù)y=f(x)?xex+x2的圖象在直線y=?2x+1的下方，

即證f(x)?xex+x2<?2x+1，即證xlnx?x2+1?xex+x2<?2x+1，即證xlnx?xex+2x<0，

又x>0，所以即證lnx?ex+2<0，即證lnx<ex?2，

令g(x)=lnx?x+1，求導(dǎo)得g′(x)=1x?1，

22.解：(Ⅰ)根據(jù)定義，P(2)數(shù)列應(yīng)滿足?n∈N?，an+1≥an+2，

即an+1?an≥2恒成立，

對(duì)于數(shù)列A：有5?3=2≥2，8?5=3≥2，13?8=5≥2，21?13=8≥2，

均滿足，∴數(shù)列A是P(2)數(shù)列；

對(duì)于數(shù)列B：∵5?π<2，不滿足，∴數(shù)列B不是P(2)數(shù)列；

(Ⅱ)不存在正實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{bn}是P(λ)數(shù)列．

理由如下：

假設(shè)存在正實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{bn}是P(λ)數(shù)列，

則?n∈N?，都有bn+1≥bn+λ，∴bn+1?bn≥λ恒成立，

∵bn+1=bn+n+3?n+1，

∴bn+1?bn=n+3?n+1=2n+3+n+1<1n，

當(dāng)n>1λ2時(shí)，bn+1?bn<1n<λ，這與假設(shè)矛盾，

∴不存在正實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{bn}