2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)鐵路第二中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)鐵路第二中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|A.(?1,1) B.(0,1) C.(?1,+∞) D.(0,+∞)2.函數(shù)fx=x?1A.1,4 B.1,4

C.?∞,1∪4,+∞ 3.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1,2，則tan2α的值為(

)A.45 B.?45 C.?4.下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是A.y=x2+sinx B.y=x5.已知f(x)，α∈3π2,2π，則sinA.35 B.?35 C.46.等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差不為0，若a2,a3,a6A.?24 B.?3 C.3 D.87.已知函數(shù)fx=lnx+ax，則“a<0”是“函數(shù)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)fx=?x2?ax?5,x≤1axA.a≤?2 B.a<0 C.?3<a≤?2 D.?3≤a≤?29.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足不等式ab+1<a+b，則函數(shù)f(x)=logax+b的圖象可能為A.B.C.D.10.關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|①f(x)是偶函數(shù)

②f(x)在區(qū)間(π③f(x)在[?π,π]有4個(gè)零點(diǎn)

④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。11.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a+i2?i為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a=

．12.已知α∈π2,π，sinα=45，則13.已知(x?ax)7展開(kāi)式中x5的系數(shù)為21，則實(shí)數(shù)a14.數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，若Sn=n2+3n2，n∈N+，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=15.一輛賽車在一個(gè)周長(zhǎng)為3km的封閉跑道上行駛，跑道由幾段直道和彎道組成，圖1反映了賽車在“計(jì)時(shí)賽”整個(gè)第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關(guān)系．根據(jù)圖1，有以下四個(gè)說(shuō)法：①在這第二圈的2.6km到2.8km之間，賽車速度逐漸增加；②在整個(gè)跑道中，最長(zhǎng)的直線路程不超過(guò)0.6km；③大約在這第二圈的0.4km到0.6km之間，賽車開(kāi)始了那段最長(zhǎng)直線路程的行駛；④在圖2的四條曲線(S為初始記錄數(shù)據(jù)位置)中，曲線B最能符合賽車的運(yùn)動(dòng)軌跡．其中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是

．16.已知函數(shù)f(x)=2x①若a=1，則函數(shù)f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)；②存在實(shí)數(shù)a，k，使得函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn)；③若a>0，則不存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；④對(duì)任意實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)k使得函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題12分)在?ABC中，∠A=60(1)求sinC(2)若a=7，求?ABC的面積．18.(本小題12分)已知函數(shù)fx=cos2ωx+3sinωx(1)求fx的解析式及fx在(2)若函數(shù)fx在區(qū)間0,t(t>0)上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求條件①：函數(shù)fx的最小正周期為π；條件②：函數(shù)fx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,12；條件③：函數(shù)fx的最大值為19.(本小題12分)為研究某地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生畢業(yè)三個(gè)月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取了1000人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：畢業(yè)去向繼續(xù)學(xué)習(xí)深造單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)人數(shù)2005601412898假設(shè)該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨(dú)立．(1)若該地區(qū)一所高校2021屆大學(xué)畢業(yè)生的人數(shù)為2500，試根據(jù)樣本估計(jì)該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)；(2)從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取3人，記隨機(jī)變量X為這3人中選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的人數(shù)．以樣本的頻率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；(3)該公司在半年后對(duì)樣本中的畢業(yè)生進(jìn)行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的a(0<a<98)人選擇了上表中其他的畢業(yè)去向，記此時(shí)表中五種畢業(yè)去向?qū)?yīng)人數(shù)的方差為s2.當(dāng)a為何值時(shí)，s2最小．20.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=12ax2+(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值是?1，求a的值．21.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)求fx在點(diǎn)1,f(2)判斷fx(3)證明：函數(shù)y=fx?xex22.(本小題12分)設(shè)λ為正實(shí)數(shù)，若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足：?n∈N?，都有an+1≥(1)判斷以下兩個(gè)數(shù)列是否為P(2)數(shù)列：數(shù)列A：3，5，8，13，21；數(shù)列B：log25，π，5(2)若數(shù)列bn滿足b1>0且bn+1=bn+(3)若各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列an是P(1)數(shù)列，且an的前m(m≥2)項(xiàng)和a1+a2+a3參考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.C

6.A

7.C

8.D

9.B

10.C

11.1212.?3+413.?3

14.n+1

n2

15.①④．

16.①②④

17.解：(1)根據(jù)正弦定理asinA=csinC，A=60?°，c=37a．

可得sinC=c×sinAa=37×sin60°

=37×32=3314；

(2)當(dāng)a=7時(shí)，

由c=3718.(1)由題可知，fx=sin選擇①②：因?yàn)門=2π2ω=π，所以ω=1.又因?yàn)閒(0)=1+m=所以f(x)=sin因?yàn)?≤x≤π2，所以π6所以函數(shù)f(x)的最小值為?12，最大值為選擇①③：因?yàn)闉門=2π2ω=π又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為m+32=所以f(x)=sin因?yàn)?≤x≤π2，所以π6所以函數(shù)f(x)的最小值為0，最大值為32選擇②③：因?yàn)閒(0)=1+m=12，所以因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為m+32=有矛盾，該條件組合不合題意．(2)選擇①②：令sin(2x+π6)=0，則當(dāng)k=1,2時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為5π12由于函數(shù)fx在區(qū)間0,t上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，所以5π所以t的取值范圍是5π12選擇①③：令sin(2x+則2x+π6=2kπ+所以x=kπ+π2,k∈Z當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)分別為π2由于函數(shù)fx在區(qū)間上0,t有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，所以π所以t的取值范圍是[π

19.解：(1)由題意得，該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)為2500×5601000=1400．

(2)由題意得，樣本中1000名畢業(yè)生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的頻率為2001000=15．

用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，估計(jì)該生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的概率為15．

隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．

所以PX=0=C301501?153=64125，

PX=1=20.(1)f′(x)=ax2當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，從而函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)=0，解得x=?1o或此時(shí)，f(x)與f′(x)的變化情況如下：x(o,(f′(x)+0?f(x)f∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(o,?1o，單調(diào)減區(qū)間是(2)①當(dāng)a≥0時(shí)，由(1)得函數(shù)f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)=a令a2=?1，得a=?2，這與②當(dāng)?1≤a<0時(shí)，?1o≥1，由(1)得函數(shù)f(x)在令a2=?1，得a=?2，這與③當(dāng)a<?1時(shí)，0<?1o<1，由(1)得函數(shù)f(x)令f?1o=?1綜上，當(dāng)f(x)在(0,1]上的最大值是?1時(shí)，a=?e．

21.(1)由fx=xln所以f′1=ln所以fx在點(diǎn)1,f(1)處的切線方程為y?0=?1(x?1)，即x+y?1=0(2)f′x=lnx+1?2x，令當(dāng)0<x<12，?’(x)>當(dāng)x>12時(shí)，?’(x)<所以?(x)≤?1即f′x=lnx+1?2x<0對(duì)(0,+∞)恒成立，所以又f1=ln1?1(3)要證函數(shù)y=fx?xe即證fx?xe即證xlnx?xex+2x<0即證lnx<令g(x)=lnx?x+1，求導(dǎo)得當(dāng)0<x<1，g′x>0，函數(shù)gx當(dāng)x>1時(shí)，g′x<0，函數(shù)gx所以g(x)≤g(1)=ln1?1+1=0，所以要證lnx<ex?2，可證令φ(x)=ex?2?(x?1)=當(dāng)x>0時(shí)，φ′(x)>0，所以函數(shù)φ(x)在所以φ(x)>φ(0)=0，即ex所以x?1<ex?2所以函數(shù)y=fx?xe

22.(1)根據(jù)定義，P(2)數(shù)列應(yīng)滿足?n∈N?，都有即an+1對(duì)于數(shù)列A：有5?3=2≥2，8?5=3≥2，13?8=5≥2，21?13=8≥2均滿足，所以數(shù)列A是P(2)數(shù)列；對(duì)于數(shù)列B，因?yàn)??π<2不滿足，所以數(shù)列B不是P(2)數(shù)列．(2)不存在正實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列bn是P(λ)說(shuō)明理由如下：假設(shè)存在正實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列bn是P(λ)則?n∈N?，都有bn+1因?yàn)閎n+1所以bn+1當(dāng)n>1λ2所以，不存在正實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列bn是P(λ)(3)因?yàn)閿?shù)列an是P(1)數(shù)列，所以a所以am所以am?1≤am?1，am?2≤am?1所以a1即150≤mam?所以am因?yàn)閿?shù)列an是整數(shù)列，所以am+m假設(shè)am+m=30，必有150m因?yàn)閙∈N?，所以