2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=?1,0,1,2,B=xxA.?1,0,1 B.0,1 C.?1,1 D.0,1,22.已知命題p：?x∈(0,+∞)，lnx≥1?1x，則?p為A.?x0∈(0,+∞)，lnx0<1?1x0 B.?x∈(0,+∞)，lnx<1?3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=x3 B.y=ln|x| C.4.已知a=ln3，b=log0.32，c=0.3A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)(33,?A.?33 B.33 6.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增．若f(1)=1，則不等式?1<f(x?1)<1的解集為(

)A.(?1,1) B.(?2,2) C.(0,1) D.(0,2)7.已知函數(shù)f(x)=sinx和直線l:y=x+a，那么“a=0”是“直線l與曲線y=f(x)相切”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier,1550?1617)發(fā)明的對數(shù)及對數(shù)表(部分對數(shù)表如下表所示)，為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計(jì)算大大縮短了時(shí)間．因?yàn)?10=1024∈103,104，所以210的位數(shù)為4(一個(gè)自然數(shù)數(shù)位的個(gè)數(shù)，叫做位數(shù))N3456789lg0.47710.60210.69900.77820.84510.90310.9542A.4 B.5 C.6 D.89.先將函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)的圖象向左平移π2個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若方程f(x)=g(x)有實(shí)根，則ω的值可以為A.12 B.1 C.2 D.10.已知函數(shù)f(x)=2x?a,x>0,?x,x<0.若y=f(x)的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)aA.[?1,+∞) B.(?1,+∞) C.[1,+∞) D.(1,+∞)二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知函數(shù)f(x)=log2(x+a)，若f(2)=2，則a=

12.函數(shù)y=x+4x?1(x>1)的最小值為

13.曲線y=ex在x=0處的切線恰好是曲線y=lnx+a的切線，則實(shí)數(shù)a=14.已知函數(shù)fx=sinωx+φ滿足f′π4=0，fπ?x+fx=015.唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo).如圖，某槳輪船的子的半徑為3m，它以1?rad/s的角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).輪子外邊沿有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到船底的距離是H(單位：m)，輪子旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t(單位：s).當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P在輪子的最高點(diǎn)處．①當(dāng)點(diǎn)P第一次入水時(shí)，t=

；②當(dāng)t=t0時(shí)，函數(shù)H(t)的瞬時(shí)變化率取得最大值，則t0的最小值是三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=cosx(sin(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(Ⅱ)設(shè)α>0，若函數(shù)g(x)=f(x+α)為奇函數(shù)，求α的最小值．17.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，再從條件①、條件②(1)求f(x)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f(x+π6)，求g(x)條件①：f(x)的最小正周期為π；條件②：f(x)為奇函數(shù)；條件③：f(x)圖象的一條對稱軸為x=π注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.(本小題12分)已知函數(shù)fx=3(1)若x=12是函數(shù)fx(2)若a<0，討論函數(shù)fx的單調(diào)性．19.(本小題12分)已知函數(shù)fx=xsin(1)若曲線y=fx在點(diǎn)?π2,f?(2)當(dāng)a=2時(shí)，求fx在區(qū)間0,(3)當(dāng)a>2時(shí)，若方程fx?3=0在區(qū)間0,π220.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)若a=0，求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)當(dāng)a≥0時(shí)，求證：函數(shù)fx(3)請直接寫出函數(shù)fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．21.(本小題12分)對于集合M，定義函數(shù)fMx=(1)寫出fA1和fB(2)用CardM表示有限集合M所含元素的個(gè)數(shù)，求Card(3)有多少個(gè)集合對P,Q，滿足P，Q?A∪B，且PΔAΔQΔB=AΔB參考答案1.A

2.A

3.B

4.C

5.A

6.D

7.A

8.C

9.C

10.D

11.2

12.5

13.2

14.nπ215.23π

；

；

；

；

16.解：(Ⅰ)f(x)=cosx(sinx+3cosx)?32=sinxcosx+32(2cos2x?1)=12sin2x+32cos2x=sin(2x+π3)，

所以函數(shù)fx的最小正周期T=2π2=π．

由2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z17.解：(1)選擇條件①②：

由條件①及已知得T=2πω=π，

所以ω=2．

由條件②得f(?x)=?f(x)，

所以f(0)=0，即sinφ=0．

解得φ=kπ?(k∈Z)．

因?yàn)閨φ|<π2，

所以φ=0，

所以f(x)=sin2x.

選擇條件①③：

由條件①及已知得T=2πω=π，所以ω=2．

由條件③得2×π4+φ=kπ+π2(k∈Z)，

解得φ=kπ?(k∈Z)．

因?yàn)閨φ|<π2，

所以φ=0．

所以f(x)=sin2x．

選擇條件②③：

由條件②得f(?x)=?f(x)，

所以f(0)=0，即sinφ=0．

解得φ=kπ?(k∈Z)．

因?yàn)閨φ|<π2，

所以φ=0，

由條件③得ωπ418.解：(1)由題意x>0

，∴f′因?yàn)?/p>

x=12

是函數(shù)

f(x)

的極值點(diǎn)，

所以

f′(12經(jīng)檢驗(yàn)，

a=?23

符合題意，

故

a=?(2)

∵x>0

∴f′當(dāng)a<0時(shí)，令

f′(x)=0

，解得

x=?13a

或

x=1當(dāng)

?13a因?yàn)?/p>

當(dāng)

?13a<x<1

時(shí)

f′(x)>0

，當(dāng)

0<x<?13a

或

x>1

所以f(x)在

0,?13a

上單調(diào)遞減，在

?13a,1

當(dāng)

?13a因?yàn)楫?dāng)

1<x<?13a

時(shí)

f′(x)>0

，當(dāng)

0<x<1

或

x>?13a

時(shí)所以

f(x)

在

0,1

上單調(diào)遞減，在

1,?13a

上單調(diào)遞增，在

(?當(dāng)

?13a=1,即a=?13

時(shí)，

f′(x)≤0，所以

綜上，當(dāng)

?13<a<0

時(shí)，

f(x)

在

0,1

上遞減，在

1,?13a

當(dāng)

a=?13

時(shí)，

f(x)

在

0,+∞當(dāng)

a<?13

時(shí)，

f(x)

在

0,?13a

上單調(diào)遞減，在

?13a

19.(1)fx=xsin由題意f′?π2(2)當(dāng)a=2時(shí)，fx所以f′x當(dāng)x∈0,π2時(shí)，1?所以f′x所以fx在區(qū)間0,因此fx在區(qū)間0,π2上的最大值為f(3)當(dāng)a>2時(shí)，f′x設(shè)?x=1?a因?yàn)閍>2，x∈0,π2所以?(x)在區(qū)間0,π因?yàn)?0=1>0，所以存在唯一的x0∈0,π2所以fx在區(qū)間0,x0因?yàn)閒0=a，fπ2=π所以2<a≤3．

20.(1)由函數(shù)fxf′(x)=2x+2a=0則f′(0)=0，而f(0)=0，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是y=0；(2)函數(shù)fx=x2+2xlnx+1因?yàn)閍≥0，當(dāng)x>0時(shí)，x+1>0,lnx+1>0,ax≥0所以2x+1lnx+1+ax>0,x2當(dāng)?1<x<0時(shí)，x2所以2x+1則有f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(?1,0)上遞減，于是得當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，所以當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)存在極小值；(3)函數(shù)fx=x由f(x)=0，可得fx顯然x=0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即為方程?a=ln令g(x)=ln(x+1)x令?(x)=xx+1?當(dāng)?1<x<0時(shí)，?′(x)>0，當(dāng)x>0時(shí)，?′(x)<0，函數(shù)?(x)在(?1,0)上遞增，在(0,+∞)上遞減，?∈x∈(?1,0)∪(0,+∞)，?(x)<?(0)=0，即有g(shù)′(x)<0，g(x)在(?1,0)，(0,+∞)上都遞減，令φ(x)=ln(x+1)?x，當(dāng)?1<x<0時(shí)，φ′(x)>0，當(dāng)x>0時(shí)，φ(x)在(?1,0)上遞增，在(0,+∞)上遞減，φ(x)≤φ(0)=0，即?∈(?1,+∞)，恒有l(wèi)n(x+1)≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=當(dāng)?1<x<0時(shí)，ln(x+1)x>1，當(dāng)x>0因此，g(x)在(?1,0)上單調(diào)遞減，g(x)取值集合為(1,+∞)，g(x)在(0,+∞)上遞減，g(x)取值集合為(0,1)，于是得當(dāng)0<?a<1或?a>1時(shí)，即?1<a<0或a<?1時(shí)，方程?a=ln(x+1)x有唯一解，當(dāng)a≥0綜上：當(dāng)a≥0或a=?1時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)?1<a<0或a<?1時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

21.(1)fA1=1，(2)根據(jù)題意可知：對于集合C,X，①a∈C且a?X，則Card(CΔX∪②若a?C且a?X，則Card(CΔX∪所以要使CardXΔA+CardXΔB的值最小，2，4，8一定屬于集合X；1，6，10，16