專題153等邊三角形的性質(zhì)與判定（舉一反三）（滬科版）

專題15.3等邊三角形的判定與性質(zhì)【十大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用等邊三角形的性質(zhì)求值】 1【題型2利用等邊三角形的性質(zhì)證明線段或角度相等】 7【題型3等邊三角形的證明】 12【題型4等邊三角形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】 17【題型5等邊三角形中的折疊問(wèn)題】 24【題型6與等邊三角形有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題】 29【題型7等邊三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題】 34【題型8等邊三角形中求最值】 40【題型9等邊三角形中的多結(jié)論問(wèn)題】 44【題型10確定等邊三角形中的線段之間的關(guān)系】 52【知識(shí)點(diǎn)等邊三角形】（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【題型1利用等邊三角形的性質(zhì)求值】【例1】（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知等邊三角形ABC中，BD=CE，AD與BE交于點(diǎn)P，則∠APE=【答案】60【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠C=60°，AB=BC，由SAS證明【詳解】解：∵△ABC∴∠ABC=∠C在△ABD和△AB=∴△ABD∴∠BAD∴∠APE故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·四川成都·八年級(jí)成都實(shí)外?？计谀┮阎喝鐖D，點(diǎn)E是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且EA=EB，△ABC外一點(diǎn)D滿足BD=AC

(1)求證：△DBE(2)求∠BDE(3)若∠ABE=45°，試判斷【答案】(1)見(jiàn)解析(2)30°(3)AC⊥【分析】（1）由三角形ABC是等邊三角形和BD=AC可得BD=BC，由角平分線的性質(zhì)可得∠CBE=∠DBE（2）由三角形ABC是等邊三角形和BD=AC可得BD=BC，∠ACB=60°，由“SSS”證明△CBE（3）由全等三角形的性質(zhì)可得∠CAE=∠DBE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABE=∠BAE=45°，令A(yù)C【詳解】（1）證明：∵三角形ABC是等邊三角形，∴AC∵BD∴BD∵BE平分∠DBC∴∠CBE在△CBE和△BD=∴△CBE（2）解：∵三角形ABC是等邊三角形，∴AC=BC在△CBE和△AC=∴△CBE∴∠BCE∵∠BCE∴∠BCE由（1）得，△CBE∴∠BDE（3）解：AC⊥理由如下：由（1）得，△CBE∴∠DBE由（2）得，△CBE∴∠CAE∴∠C∵BE∴∠ABE如圖，令A(yù)C、BD交于點(diǎn)

，則∠=∠=∠=∠=45°+45°=90°，∵∠ABF∴∠AFB∴AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2023春·四川成都·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上異于B，C的任意一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．若BC邊上的高線

【答案】2【分析】連接AD，等積法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵△ABC∴AB=連接AD，

則：S△∵BC邊上的高線AM=2，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF∴12即：2BC∴DE+故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握等積法求三角形的面積．【變式13】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)烏魯木齊市第70中?？计谀┤鐖D，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為m，過(guò)AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，取PA=CQ，連接PQ，交AC于M，則

【答案】m【分析】延長(zhǎng)AC，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AC于點(diǎn)F，先證明△APE≌△CQFAAS，得出PE=【詳解】解：延長(zhǎng)AC，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AC于點(diǎn)∵△ABC∴∠A∵QF⊥AC，∴∠PEA在△APE和△∠PEA∴△APE∴PE=QF在△PME和△∠PME∴△PME∴EM=∵AE=CF，∴AC=∴EM=故答案為：m2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形三個(gè)角都是60°，正確畫出輔助線，構(gòu)造全等三角形．【題型2利用等邊三角形的性質(zhì)證明線段或角度相等】【例2】（2023春·河南周口·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC到E，使CE=12BC，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，連接ED

(1)求證：EF⊥(2)連接BD，求證：BD=【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACB=∠ABC=60°，AC=BC，結(jié)合CE=12BC，點(diǎn)D是邊（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得∠DBC=∠ABD【詳解】（1）證明：∵△ABC∴AC=BC∵D是AC∴AD∵CE∴CD∴∠CDE∵∠E∴∠E∵∠ABC=60°，∴∠EFB∴EF（2）解：∵△ABC是等邊三角∴AB∵D是AC∴∠DBC∵∠E∴∠DBE∴DE【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是高線，延長(zhǎng)BC到E，使CE=AD．證明：BD=DE．【答案】見(jiàn)解析【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得∠ABD=∠CBD=30°，由CE=AD得，CE=CD，從而求出∠E=30°，則∠E=∠CBD，可得BD=DE．【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴∠E+∠CDE=60°，又∵BD是高線，∴AD=CD，∠CBD=12∠ABC=30°∵CE=AD，∴CD=CE，∴∠E=∠CDE，∴∠E=30°，∴∠E=∠CBD，∴BD=DE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2023春·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，將等邊△ABC和一塊含有30°角的直角三角板DEF(∠F=30°)如圖1放置，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，點(diǎn)A恰好落在三角板的斜邊DF（1）利用圖證明：EF=2AC；（2）△ABC在EF所在的直線上向右平移，當(dāng)AB、AC與三角板斜邊的交點(diǎn)為G、H時(shí)，如圖2．判斷線段EB=AH是否成立．如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EB=AH成立，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)，得∠ACB=60°，AC=BC．結(jié)合三角形外角得性質(zhì)得∠CAF得度數(shù)，則可證明結(jié)論．（2）根據(jù)（1）中得證明方法，得到CH=CF，根據(jù)（1）中得結(jié)論，可推得BE+CF=AC，從而證明結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．∵∠F=30°，∴∠CAF=60°30°=30°，∴∠CAF=∠F．∴CF=AC，∴CF=AC=EC，∴EF=2BC．（2）成立．理由如下：根據(jù)（1）中證CF=AC的方法，同理，得CH=CF．∵EF=2BC，∴BE+CF=BC．又∵AH+CH=AC，AC=BC，∴AH=BE．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2023春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC(1)以AD為邊構(gòu)造等邊△ADE（其中點(diǎn)D、E在直線AC兩側(cè)），連接CE，猜想CE與AB(2)若過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB，在CM上取一點(diǎn)F，連接AF、DF，使得∠ADF【答案】(1)圖見(jiàn)解析，AB∥(2)△ADF【分析】（1）以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，在AC右邊相交于點(diǎn)E，連接AE,DE，△ADE即為所求；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DAE=60°,AB（2）根據(jù)題意畫出圖形，在AB上截取AG，使AG=CD，連接DG，通過(guò)證明△BDG為等邊三角形，進(jìn)而得出△【詳解】（1）解：如圖：△ADE即為所求，A∵△ABC、△∴∠ABC∴∠ABC-∠DAC在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠ACE∴∠ACE∴AB∥（2）△ADF如圖：在AB上截取AG，使AG=CD，連接∵△ABC∴AB=BC，∵AG=∴AB-AG=∴△BDG∴∠AGD∵CM∥∴∠DCF+∠B∵∠ADC=∠ADF∴∠CDF在△GAD和△∠CDF∴△GAD∴AD=又∵∠ADF∴△ADF【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)標(biāo)出相應(yīng)的角標(biāo)找出角之間的關(guān)系，通過(guò)等量代換進(jìn)行求解，熟練掌握并靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定．【題型3等邊三角形的證明】【例3】（2023春·河南周口·八年級(jí)?？计谀┰凇鰽BC中，AB=BC，∠ABC=60°，BD是AC邊上的高，點(diǎn)E

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證：△CDE(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：△BDE【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先證明△ABC為等邊三角形，得到∠C=60°，再由三線合一定理得到AD（2）同理可得CD=CE，進(jìn)而利用等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)得到∠E=30°，再根據(jù)三線合一定理得到∠DBC【詳解】（1）證明：∵AB=BC，∴△ABC∴∠C∵BD是AC邊上的高，∴AD=∵CE=∴CD=∴△CDE（2）證明：同（1）可知CD=∴∠CDE∵△ABC∴∠DBC∴∠E∴BD=ED，即【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)等等，熟知等邊三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023春·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，E是CD的中點(diǎn)，EC=EB，∠CDA=120°，DF∥BE，且證明：∵DF平分∠CDA∴∠FDC=12∵∠CDA∴∠FDC=∵DF∥∴∠FDC=∠__________（∴∠BEC又∵EC=∴△BCE是等邊三角形（____________【答案】ADC；角平分線的定義；60；BEC；兩直線平行，同位角相等；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形【分析】利用角平分線的性質(zhì)得出∠FDC的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)得出∠BEC的度數(shù)，進(jìn)而得出【詳解】證明：∵DF平分∠CDA∴∠FDC∵∠CDA∴∠FDC=∵DF∥∴∠FDC∴∠BEC又∵EC=∴△BCE是等邊三角形（有一個(gè)角是60°故答案為：ADC；角平分線的定義；60；BEC；兩直線平行，同位角相等；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠FDC【變式32】（2023春·甘肅天水·八年級(jí)校考期末）如圖，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB

(1)DE=(2)△DEF【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用AAS證明△BDE（2）由△BDE≌≌CDF，進(jìn)而得到DE=DF．由（1）得∠【詳解】（1）解：證明：∵AB∴∠B∵∠A=120°，∴∠B∵D是BC∴BD∵DE⊥AB∴∠BED在△BDE和△∠BED∴△BDE∴DE（2）由（1）得△BDE∴DE∠BED由（1）得∠B∴∠BDE∴∠EDF∴△DEF【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是熟記等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)．【變式33】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC邊上的中線，且BD=BE，CD的垂直平分線MF

(1)求∠ADE(2)證明：△ADF【答案】(1)15°(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠B和∠C，求出（2）求出DF=CF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠FDC=∠C【詳解】（1）在△ABC中，AB∴∠B∵BD=∴∠BDE在△ABC中，AB=AC∴AD⊥∴∠ADB∴∠ADE（2）∵CD的垂直平分線MF交AC于F，交BC于M，∴DF=∵∠C∴∠FDC∴∠AFD∵AD⊥∴∠DAF∴∠ADF即∠DAF∴△ADF【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【題型4等邊三角形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】【例4】（2023春·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC>1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形CBD，連接DA并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)E(1)求證：OC=(2)在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CAD的度數(shù)是否會(huì)變化？如果不變，請(qǐng)求出∠(3)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)不會(huì)發(fā)生變化，60°(3)C【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OBA=∠CBD=60°,OB=BA,BC（2）由△AOB是等邊三角形知∠（3）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，求得∠EAC=120°，進(jìn)而得出以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，最后根據(jù)Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°【詳解】（1）∵△AOB，△∴OB=AB，CB=∴∠OBC在△OBC和△∵OB=∴△OBC∴OC=（2）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CAD∵△AOB∴∠BOA∵△OBC∴∠BAD∴∠CAD（3）解：∵△OBC∴∠BAD又∵∠OAB∴∠OAE∴∠EAC∴以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，在Rt△AOE中，OA=1∴AC=∴OC=3∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為3,0時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合問(wèn)題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．【變式41】（2023春·遼寧鐵嶺·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)(OC>1)，連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形CBD，連接DA并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)(1)求證：OC=(2)在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CAD的度數(shù)是否會(huì)變化？如果不變，請(qǐng)求出∠(3)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)不變，∠(3)當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0)時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形【分析】（1）根據(jù)“SAS”可判定△OBC（2）由△AOB是等邊三角形得∠BOA=∠OAB=60°，再由△（3）先求得∠EAC=120°，進(jìn)而得出以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，最后根據(jù)Rt△AQE中，OA=1,∠OEA=30°【詳解】（1）∵△AOB，△∴OB=AB，CB∴∠OBC在△OBC和△∵OB=∴△OBC∴OC=（2）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CAD∵△AOB∴∠BOA∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD∴∠CAD（3）∵△OBC∴∠BOC∵∠OAB∴∠OAE∴∠EAC∴以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，在Rt△AQE中，∴AE=2∴AC=∴OC=1+2=3∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0)時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．【變式42】（2023春·北京·八年級(jí)北京市廣渠門中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，A0?，??2，點(diǎn)B為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊作等邊△PBC

（1）求證：OB=（2）∠CAP的度數(shù)是（3）當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想AE的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如不變，請(qǐng)求出AE的長(zhǎng)度；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）60°；（3）不變，AE【分析】（1）由題意易得△OPB≌△APC，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求證；（2）由（1）可直接進(jìn)行求解；（3）由題意易得∠EAO=60°，則有∠AEO=30°，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）證明：∵△AOP∴AP=OP，∠APO=60°，∵△PBC是等邊三角形，∴PB=PC，∠BPC=60°，∵∠APB是公共角，∴∠OPB=∠APC，∴△OPB≌△APC（SAS），∴OB=AC；（2）解：由（1）可得△OPB≌△APC，∴∠BOP=∠CAP，∵∠BOP=60°，∴∠CAP=60°，故答案為60°；（3）解：不變，AE=8，理由如下：由（2）得：∠CAP=60°，∵∠OAP=60°，∴∠EAO=60°，∴∠AEO=30°，∵A0∴OA=4，∴AE=2OA=8．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系與圖形的綜合、等邊三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平面直角坐標(biāo)系與圖形的綜合、等邊三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2023春·湖北黃石·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中．A點(diǎn)在y軸上，B（b，0