浙江省北斗星盟2023-2024學年高三下學期適應性聯(lián)考數(shù)學試卷

高三年級數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結束后，只需上交答題紙.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先解對數(shù)不等式求出集合，解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)補集、交集的定義計算可得.【詳解】由，即，即，解得，所以，由，解得，所以，所以，則.故選：D2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由復數(shù)的除法運算可得，再由共軛復數(shù)可知問題的結果.【詳解】由得：，即，所以，故復數(shù)在復平面內對應的點位于第三象限.故選：C.3.已知向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)與垂直，可得，即可求出，再根據(jù)模的坐標公式即可得解.【詳解】，因為與垂直，所以，解得，所以.故選：B4.已知數(shù)列滿足，則“為等比數(shù)列”是“（，）”的（）A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義、通項公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若為等比數(shù)列，則，所以，，當時，故充分性不成立；若（，），不妨令，則，又，所以，即，所以為公比為的等比數(shù)列，故必要性成立；故“為等比數(shù)列”是“（，）”的必要不充分條件.故選：B5.在對某校高三學生體質健康狀況某個項目的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計樣本的方差不可能為（）A.11 B.13 C.15 D.17【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設男生體質健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，結合方差的公式，分析選項，即可求解.【詳解】設男生體質健康狀況的平均數(shù)為，女生的平均數(shù)為，總體的平均數(shù)為，方差為，則，，結合選項，可得A項不符合.故選：A.6.若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用和差角公式展開，即可得到，再兩邊同除，最后結合兩角和的正切公式計算可得.【詳解】因為，所以，即，即，兩邊同除可得，所以故選：C7.如圖，假定兩點P，Q以相同的初速度運動．點Q沿直線CD做勻速運動，；點P沿線段AB（長度為單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離．令P與Q同時分別從A，C出發(fā)，定義x為y的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)代數(shù)學符號表示x與y的對應關系就是，當點P從線段AB靠近A的三等分點移動到中點時，經(jīng)過的時間為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】易知，它們的初速度相等，故點的速度為，然后可以根據(jù)，求出在中點、三等分點時的，則點移動的距離可求，結合速度、時間可求．【詳解】解：由題意，點初始速度即為點的速度．當在靠近點的三等分點時：，解得：，當在中點時：，解得：，所以經(jīng)過的時間為：．故選：D．8.設雙曲線：（，）的左焦點為，過坐標原點的直線與交于，兩點，，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，結合已知條件和雙曲線的定義求得，利用余弦定理列方程，解方程求得，由此求得離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接，.由雙曲線的對稱性可得：，，則四邊形是平行四邊形，又因為，則，設，由雙曲線的定義可得：，在中，由余弦定理可得：所以，整理可得：，解得：或（舍去），則，，在中，由余弦定理可得：所以，整理可得：，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關于對稱C.在上單調遞減 D.當時，【答案】BCD【解析】【分析】由，可判定A不正確；由，可判定B正確；設，得到，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性和最值，可判定C正確、D正確.【詳解】對于A中，由，所以A不正確；對于B中，由，可得函數(shù)關于對稱，所以B正確；對于C中，設，可得，則，當時，可得，則，又由，所以函數(shù)在上單調遞減，又在上為單調遞增函數(shù)，所以由復合函數(shù)單調性，可得函數(shù)在上為單調遞減函數(shù)，所以C正確；對于D中，當時，可得，則，又由，在為遞減函數(shù)，當時，即時，函數(shù)單調遞增；當時，即時，函數(shù)單調遞減，由復合函數(shù)的單調性，可得函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增，所以，所以D正確.故選：BCD.10.已知，，是一個隨機試驗中的三個事件，且，，下列說法正確的是（）A.若與互斥，則與不相互獨立B.若與相互獨立，則與不互斥C.若，且，則與相互獨立D.若，則，，兩兩獨立【答案】ABC【解析】【分析】由互斥事件和相互獨立事件的概念對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，若與互斥，則與不能同時發(fā)生，即，因為表示與都不發(fā)生，則的對立事件為與至少有一個發(fā)生，所以，而，所以，因為所以，由此可知，與不相互獨立，故A正確；對于B，若與相互獨立，則，因為，，所以，則，所以與不互斥，故B正確；對于C，若，因，因為，則有，所以與相互獨立，故C正確；對于D，拋擲一枚質地均均的骰子，事件表示出現(xiàn)點數(shù)為，事件表示出現(xiàn)點數(shù)，事件表示出現(xiàn)點數(shù)，事件表示出現(xiàn)點數(shù)為，，滿足，事件表示出現(xiàn)點數(shù)為，但則，不相互獨立，故D錯誤.故選：ABC.11.已知正方體的棱長為1，點滿足，其中，，則（）A.當時，則的最小值為B.過點在平面內一定可以作無數(shù)條直線與垂直C.若與所成的角為，則點的軌跡為雙曲線D.當，時，正方體經(jīng)過點、、的截面面積的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】對A，將平面展開到與同一平面，由兩點間線段最短得解；對B，當在時，過點只能作一條直線與垂直，可判斷；對CD，以點D為坐標原點建立空間直角坐標系，設出點P坐標，利用向量的坐標運算即可判斷.【詳解】對于A，當時，，所以點在線段上，如圖，將三角形與矩形沿展成平面圖形如下所示，則線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，即的最小值為，故A正確；對于B，當在時，過點在平面內只可以作一條直線與垂直，故B錯誤；對于C，以D為原點，分別以為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，得，，整理得，為雙曲線方程，故C正確．對于D，當時，，故點在線段上運動,正方體經(jīng)過點、、的截面為平行四邊形，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，，所以點到直線的距離為，于是當時，的面積取最小值，此時截面面積為；當或時，的面積取最大值，此時截面面積為，所以正方體經(jīng)過點、、的截面面積的取值范圍為，故D正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關的題目歸根到底還是對點線面關系的認知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若展開式的二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)為______.【答案】280【解析】【分析】先由二項式系數(shù)和為128，求出，再求出展開式的通項，令，即可得出答案.【詳解】展開式的二項式系數(shù)之和為，解得：，所以展開式的通項為：，令，解得：，所以展開式中的系數(shù)為：.故答案為：280.13.已知圓：和圓：，過圓上一動點作圓的切線，交圓于，兩點，當（點為坐標原點）面積最大時，滿足條件的切線方程為______.（寫出一條即可）【答案】或或（寫出一條即可）【解析】【分析】由圓的弦長公式求出，再利用三角形面積公式求出面積最大時的，然后由圓心到直線的距離分別等于半徑列方程組，解出即可.【詳解】設圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；設到直線的距離為，則，，則，所以當時，的面積最大，當直線的斜率不存在時，滿足題意，當直線的斜率存在時，設：，則由題意可得，①化簡可得，即或，代入①可解得或，所以滿足條件的切線方程為或或，故答案為：或或.（寫出一條即可）14.已知函數(shù)，，對任意，存在使得不等式成立，則滿足條件的的最大整數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】依題意存在使得，參變分離可得，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，求出，則，即可求出的最大整數(shù).【詳解】依題意對任意，且有，因為存在使得不等式成立，所以存在使得，即，令，，則，令，，則在上單調遞增，且，，所以使得，即，，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，因為，所以，所以，依題意，又為整數(shù)，所以，所以的最大值為.

故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是將問題轉化為存在使得，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在直角坐標平面內有線段，已知點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，……，點是線段（，）上靠近的三等分點，設點的橫坐標為.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，，求的通項公式.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得進而證得，即可證得數(shù)列是等比數(shù)列；（2）根據(jù)題意，求得，求得，結合累加法，得到時，，進而求得數(shù)列的通項公式.【小問1詳解】解：由題意得所以，可得，又由，所以所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】解：因為，，所以，因為數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以時，.由累加法可得時，，即當時，，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式.16.在四棱錐中，，，，，、分別為直線，上的動點.（1）若異面直線與所成的角為，判斷與是否具有垂直關系并說明理由；（2）若，，求直線與平面所成角的最大值.【答案】（1）答案見解析，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，即可說明，則（或其補角）為異面直線與所成的角，分和兩種情況討論，利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，求出平面的法向量，利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可求出線面角的最大值.【小問1詳解】取的中點，連接，，因為，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以（或其補角）為異面直線與所成的角，①當時，中，，，由余弦定理可知，所以，所以，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以.②當，假設，則由①有平面，因為平面，所以，，這與相矛盾，故此時與不垂直.綜上所述，當時，；當時，與不垂直.【小問2詳解】由，點是中點，可得，從而由可得，又，所以，即，因為，由（1）有，所以，所以兩兩互相垂直，故可以為坐標原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.故，，，，.因為，設平面的法向量為，則有設，則，又，所以有令，則，故平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則，令，則當時，；當時，.（當且僅當，時取“＝”）.又，所以.綜上所述，直線與平面所成角的最大值為.17.將除顏色外完全相同的紅球2個、白球3個放入一盲盒（一種具有隨機屬性的玩具盒子），現(xiàn)從中不放回取球.（1）若每次取一個球，求：（ⅰ）前兩次均取到紅球的概率；（ⅱ）第2次取到紅球的概率；（2）若從中取出兩個球，已知其中一個球為紅球，求：（ⅰ）另一個也為紅球的概率；（ⅱ）若你現(xiàn)在可以選擇從剩下的球中隨機取一個球來替換另一個球，如果從提高取到紅球的可能性出發(fā)，你是選擇換還是不換？試說明理由.【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）（2）（?。?；（ⅱ）選擇交換，理由見解析【解析】【分析】（1）不放回取球可以用條件概率公式的變式公式來計算，即：，第2次取到紅球可由兩互斥事件計算得到，即；（2）條件概率公式：，其中有一個球為紅球，又等價轉化到對立事件來求概率，即可求出結果，對于是否交換，只需要比較兩種情形的概率就可以得到判斷.【小問1詳解】記事件（）為第次取到紅球，事件（）為第次取到白球.（?。┣皟纱尉〉郊t球即為事件，.（ⅱ）.【小問2詳解】（?。┦录浩渲杏幸粋€球為紅球的“對立事件”為：兩個球均為白球，即為事件，，所以在一個球為紅球的前提下另一個球也為紅球的概率.（ⅱ）若不換：在取到的一個球為紅球的前提下取到的另一個球也為紅球的概率記為；若換：換后取到紅球的概率記為；由于，所以交換后摸到紅球的概率更大，選擇交換.18.在平面直角坐標系中，已知點，，，為動點，滿足.（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知過點的直線與曲線交于兩點，，連接，.（ⅰ）記直線，的斜率分別為，，求證：為定值；（ⅱ）直線，與直線分別交于，兩點，求最小值.【答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）由雙曲線的定義求解即可；（2）（?。┰O直線：，變形可得，兩式聯(lián)立，設，可知，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關系即可得出答案.（ⅱ）設直線：與聯(lián)立求出，同理求出，由此表示出，由基本不等式求解即可.【小問1詳解】因為，所以根據(jù)雙曲線的定義可知點的軌跡為以，為焦點，實軸長為2的雙曲線，由，，得，，所以的方程為.【小問2詳解】（ⅰ）設直線：（）因為直線過定點，所以.變形可得，即所以整理得（*）設，則（*）式除以得此時，是方程的兩根，所以，所以，得證.（ⅱ）設直線：，由，可得；設直線：，同理可得；.由得，所以，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.【點睛】關鍵點點睛：設直線：與聯(lián)立求出，同理求出，由此表示出，由基本不等式求解即可.19.莫比烏斯