2025屆北京市航空航天大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆北京市航空航天大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．2．各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為()A． B．C． D．或3．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個(gè)面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．5．的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B．60 C．70 D．806．我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問(wèn)各得金幾何？”則在該問(wèn)題中，等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤7．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿(mǎn)足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]8．正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為，已知，則=（）A．35 B．36 C．45 D．549．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．510．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，令．有以下6個(gè)論斷：①是奇函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對(duì)任意的實(shí)數(shù)，．那么正確論斷的編號(hào)是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤11．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.若，的面積為，則（）A．5 B． C．4 D．1612．《九章算術(shù)》“少?gòu)V”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡(jiǎn)，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之?dāng)?shù)，逐個(gè)照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：及時(shí)，如圖：記為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和，則為（）A．147 B．294 C．882 D．1764二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)命題：，，則：__________．14．的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________．15．已知函數(shù)在上僅有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，則在區(qū)間上的取值范圍為_(kāi)______．16．設(shè)為橢圓在第一象限上的點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，為其中心，為銳角三角形，且平面底面，為的中點(diǎn)，.（1）求證:平面；（2）求證:.18．（12分）如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．19．（12分）在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知點(diǎn)到拋物線(xiàn)C：y1=1px準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1．（Ⅰ）求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)與C交于兩點(diǎn)A，B，直線(xiàn)PA，PB，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，求的值．21．（12分）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，在三棱柱中，已知四邊形為矩形，，，，的角平分線(xiàn)交于.（1）求證:平面平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進(jìn)行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，恒成立，排除，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)，，排除，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)值的符號(hào)以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】分析：解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到公比所滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，解方程即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，即，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以，而，故選C.點(diǎn)睛：該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比，而待求量就是，代入即可得結(jié)果.3、B【解析】試題分析：對(duì)于選項(xiàng)A，，，，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B，,，兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號(hào)方向，所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.4、D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖所示，將其放在一個(gè)長(zhǎng)方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別，復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí)，一般借助長(zhǎng)方體來(lái)實(shí)現(xiàn).5、B【解析】

展開(kāi)式中含的項(xiàng)是由的展開(kāi)式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到，由二項(xiàng)式的通項(xiàng)，可得解【詳解】由題意，展開(kāi)式中含的項(xiàng)是由的展開(kāi)式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得，故選C7、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故選B.8、C【解析】

由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，解得或（舍），，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，屬于中檔題.解等差數(shù)列問(wèn)題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項(xiàng)和的關(guān)系.9、D【解析】試題分析：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，開(kāi)口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以點(diǎn)A與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線(xiàn)定義和拋物線(xiàn)上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.10、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時(shí)，例如：，則，，此時(shí)，故⑥錯(cuò)誤；故③④正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.12、A【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算，由此求得的值.【詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，【解析】

存在符號(hào)改任意符號(hào)，結(jié)論變相反.【詳解】命題是特稱(chēng)命題，則為全稱(chēng)命題，故將“”改為“”，將“”改為“”，故：，.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查全(特)稱(chēng)命題.對(duì)全(特)稱(chēng)命題進(jìn)行否定的方法：(1)改寫(xiě)量詞：全稱(chēng)量詞改寫(xiě)為存在量詞，存在量詞改寫(xiě)為全稱(chēng)量詞；(2)否定結(jié)論：對(duì)于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可．14、【解析】

寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后取的指數(shù)為求得的值，則項(xiàng)的系數(shù)可求得.【詳解】，由，可得.含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式、需熟記二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解出的值，然后得到的解析式，采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合，其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問(wèn)題，難度較難.對(duì)形如的函數(shù)的值域求解，關(guān)鍵是采用換元法令，然后根據(jù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域，同時(shí)要注意新元的范圍.16、【解析】

利用橢圓的參數(shù)方程，將所求代數(shù)式的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問(wèn)題，利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值，即可得到所求最小值．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，，其中，，由，，，可設(shè)，導(dǎo)數(shù)為，由，可得，可得或，由，，可得，即，可得，由可得函數(shù)遞減；由，可得函數(shù)遞增，可得時(shí)，函數(shù)取得最小值，且為，則的最小值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法，考查化簡(jiǎn)變形能力和運(yùn)算能力，屬于難題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）通過(guò)證明，即可證明線(xiàn)面平行；（2）通過(guò)證明平面，即可證明線(xiàn)線(xiàn)垂直.【詳解】（1）連，因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，為其中心，所以，為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面所以，平面；（2）作于因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面又平面，所以又，，平面，平面所以，平面，又平面，所以?【點(diǎn)睛】此題考查證明線(xiàn)面平行和線(xiàn)面垂直，通過(guò)線(xiàn)面垂直得線(xiàn)線(xiàn)垂直，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)判定定理，找出平行關(guān)系和垂直關(guān)系證明.18、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，連，，由等邊三角形三邊合一可知，，即證．（2）以，，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：連，，則和皆為正三角形．取中點(diǎn)，連，，則，，則平面，則（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．如圖所示，分別以，，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以取面的法向量取，則，平面與平面所成的銳二面角的余弦值．19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）首先證明，，，∴平面.即可得到平面，.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，帶入公式求解即可.【詳解】（1）∵平面，平面，∴.又∵四邊形是正方形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.又∵，為的中點(diǎn)，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.（2）∵平面，，∴平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示：則，，，.∴，，.設(shè)為平面的法向量，則，得，令，則.由題意知為平面的一個(gè)法向量，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)考查線(xiàn)線(xiàn)垂直，先證線(xiàn)面垂直時(shí)解題關(guān)鍵，第二問(wèn)考查二面角，建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.20、(Ⅰ)C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線(xiàn)定義求出p，即可求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線(xiàn)AB斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0)，與拋物線(xiàn)聯(lián)立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，轉(zhuǎn)化求解|MF|?|NF|的值．【詳解】(Ⅰ)由已知得，所以p=1.所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；(II)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線(xiàn)AB斜率存在且不為0.設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0).由得，則,.因?yàn)辄c(diǎn)A,B在拋物線(xiàn)C上,所以,.因?yàn)镻F⊥x軸，所以，所以|MF|?|NF|的值為1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)中的定值問(wèn)題，常用韋達(dá)定理設(shè)而不求來(lái)求解，本題解題關(guān)鍵是找出弦長(zhǎng)與斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解，屬于中等題.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）利用線(xiàn)面平行的定義證明即可（2）取的中點(diǎn)，并分別連接，，然后，證明相應(yīng)的線(xiàn)面垂直關(guān)系，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】證明：（1