2025屆廣西桂林市十八中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2025屆廣西桂林市十八中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（）A. B.C D.2．已知函數(shù)，那么的值為（）A. B.C. D.3．若函數(shù)，當(dāng)時，平均變化率為3，則等于（）A. B.2C.3 D.14．已知兩個向量，，且，則的值為（）A.1 B.2C.4 D.85．若，則（）A.1 B.2C.4 D.86．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項中有（）個奇數(shù)A.1012 B.1346C.1348 D.13507．已知拋物線的焦點為F，過F作斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點，若弦的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.8．經(jīng)過兩點直線的傾斜角是（）A. B.C. D.9．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.10．拋物線有一條重要的性質(zhì)：平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后經(jīng)過它的焦點．反之，從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，從點發(fā)出一條平行于x軸的光線，經(jīng)過拋物線兩次反射后，穿過點，則光線從A出發(fā)到達B所走過的路程為（）A.8 B.10C.12 D.1411．已知直線過點，且其方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.12．若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（）A.5 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，，若，則____________.14．寫出一個公比為3，且第三項小于1的等比數(shù)列______15．已知A(1,3)，B(5，－2)，點P在x軸上，則使|AP|－|BP|取最大值的點P的坐標(biāo)是________16．若數(shù)列滿足，，設(shè)，類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前項和公式的方法，可求得______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱臺的底面為正方形，面，（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線m與平面所成角的正弦值18．（12分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19．（12分）已知圓C經(jīng)過點，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求三角形PMN的面積.20．（12分）如圖，在正方體中，分別為，的中點（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值21．（12分）如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，O是BC的中點，（1）證明：平面平面BCD；（2）若三棱錐的體積為，E是棱AC上的一點，當(dāng)時，二面角E－BD－C大小為60°，求t的值22．（10分）新疆長絨棉品質(zhì)優(yōu)良，纖維柔長，被世人譽為“棉中極品”，產(chǎn)于我國新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)之一，在新疆某地區(qū)成熟的長絨棉中隨機抽測了一批棉花的纖維長度（單位：mm），將樣本數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值為代表）；（3）根據(jù)棉花纖維長度將棉花等級劃分如下：纖維長度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級二等品一等品特等品從該地區(qū)成熟的棉花中隨機抽測兩根棉花的纖維長度，用樣本的頻率估計概率，求至少有一根棉花纖維長度達到特等品的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點，分別為，，點在圓，即上，所以，圓心到直線的距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A2、D【解析】直接求導(dǎo)，代入計算即可.【詳解】，故.故選：D.3、B【解析】直接利用平均變化率的公式求解.【詳解】解：由題得.故選：B4、C【解析】由，可知，使，利用向量的數(shù)乘運算及向量相等即可得解.【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【點睛】思路點睛：在解決有關(guān)平行的問題時，通常需要引入?yún)?shù)，如本題中已知，引入?yún)?shù)，使，轉(zhuǎn)化為方程組求解；本題也可以利用坐標(biāo)成比例求解，即由，得，求出m，n.5、D【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以.故選：D.6、C【解析】由斐波那契數(shù)列的前幾項分析該數(shù)列的項的奇偶規(guī)律，由此確定該數(shù)列的前2022項中的奇數(shù)的個數(shù).【詳解】由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，因為，所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…………所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，又故該數(shù)列的前2022項中共有1348個奇數(shù)，故選：C.7、B【解析】設(shè)出直線，并與拋物線聯(lián)立，得到，再根據(jù)拋物線的定義建立等式即可求解.【詳解】因為直線l的方程為，即，由消去y，得，設(shè)，則，又因為弦的中點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3，所以，而，所以，故，解得，所以拋物線的方程為故選：B.8、B【解析】求出直線的斜率后可得傾斜角【詳解】經(jīng)過兩點的直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B9、C【解析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列公比q的關(guān)系，再利用前n項和公式計算得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的的公比為q，由得：，解得，所以.故選：C10、C【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：焦點為，設(shè)光線第一次交拋物線于點，第二次交拋物線于點，過焦點F，準(zhǔn)線方程為：，作垂直于準(zhǔn)線于點，作垂直于準(zhǔn)線于點，則，，，，故選：C11、D【解析】根據(jù)題意和直線的點方向式方程即可得出結(jié)果.【詳解】因為直線過點，且方向向量為，由直線的點方向式方程，可得直線的方程為：，整理，得.故選：D12、C【解析】先求的平方后再求解即可.【詳解】，故，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因為向量，，，所以向量，因為，所以，即，解得故答案為：14、（答案不唯一）【解析】由條件確定該等比數(shù)列的首項的可能值，由此確定該數(shù)列的通項公式.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，由已知可得，∴，所以，故可取，故滿足條件的等比數(shù)列的通項公式可能為，故答案為：（答案不唯一）15、【解析】首先求得點A關(guān)于x軸的對稱點，然后數(shù)形結(jié)合結(jié)合直線方程求解點P的坐標(biāo)即可.【詳解】點A(1,3)關(guān)于x軸的對稱點為A′(1，－3)，如圖所示，連接A′B并延長交x軸于點P，即為所求直線A′B的方程是y＋3＝(x－1)，即.令y＝0，得x＝13則點P的坐標(biāo)是.【點睛】本題主要考查直線方程的應(yīng)用，最值問題的求解，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16、n【解析】先對兩邊同乘以4，再相加，化簡整理即可得出結(jié)果.【詳解】由①得：②所以①②得：，所以，，故答案為【點睛】本題主要考查類比推理的思想，結(jié)合錯位相減法思想即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）：連結(jié)交交于點O，連結(jié)，，通過四棱臺的性質(zhì)以及給定長度證明，從而證出，利用線面平行的判定定理可證明面；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理以及基本事實可證明，即求與平面所成角的正弦值；通過條件以及面面垂直的判定定理可證明面面，則為與平面所成角，利用余弦定理求出余弦值，即可求出正弦值.【詳解】（1）證明：連結(jié)交交于點O，連結(jié)，，由多面體為四棱臺可知四點共面，且面面，面面，面面，∴，∵和均為正方形，，∴，所以為平行四邊形，∴，面，面，∴平面（2）∵面，平面，平面，∴，又∵，∴∴求直線m與平面所成角可轉(zhuǎn)化為求與平面所成角，∵和均為正方形，，且，∴，，∴，又∵面，∴∴面，∴面面，由面面，設(shè)O在面的投影為M，則，∴為與平面所成角，由，可得，又∵，∴∴，直線m與平面所成角的正弦值為.【點睛】思路點睛：（1）找兩個平面的交線，可通過兩個平面的交點找到，也可利用線面平行的性質(zhì)找和交線的平行直線；（2）求直線和平面所成角，過直線上一點做平面的垂線，則垂足和斜足連線與直線所成角即為直線和平面所成角.18、(1)見解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個平面的法向量，利用兩個向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)條件容易求出如下各點坐標(biāo)：，，，，，，，.（Ⅰ）證明：∵，，是平面的一個法向量，且，所以.又∵平面，∴平面；（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，因為，，由，得.解得平面的一個法向量，由已知，平面的一個法向量為，，∴二面角的余弦值是.點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)知，設(shè)圓心，應(yīng)用兩點距離公式列方程求參數(shù)a，進而確定圓心坐標(biāo)、半徑，寫出圓C的方程；（2）利用兩點距離公式、切線的性質(zhì)可得、，再應(yīng)用三角形面積公式求三角形PMN的面積.【小問1詳解】由已知，可設(shè)圓心，且，從而有，解得.所以圓心，半徑.所以，圓C的方程為.【小問2詳解】連接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圓心，半徑.所以.又PM，PN是圓C的切線，所以，，則，，所以，所以.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由正方體性質(zhì)易得，根據(jù)線面平行的判定可得面、面，再由面面平行的判定證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，確定相關(guān)點的坐標(biāo)，進而求兩個半平面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角的余弦值【小問1詳解】在正方體中，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，即有，因為面，面，則平面，同理平面，又，面，則平面平面E.小問2詳解】以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則，，所以，，設(shè)平面的法向量為,則，令，則由平面，則是平面的一個法向量設(shè)平面與平面夾角,，因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為21、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證得平面BCD，結(jié)合面面垂直判定定理即可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的公式可得，進而解方程即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，O是BC的中點，所以，又因為，且，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，因為平面ABC，所以平面平面BCD【小問2詳解】連接OD，又因為是邊長為2的等邊三角形，所以，由（1）知平面BCD，所以AO，BC，DO兩兩互相垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則O（0，0，0），A（0，0，m），B（1，0，0），C（－1，0，0），，因為A－BCD的體積為，所以，解得，即A