2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.1第2課時(shí)圓柱圓錐圓臺(tái)球與簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球與簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義.2.駕馭圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征．(重點(diǎn))3.相識(shí)簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，了解簡(jiǎn)潔組合體的兩種基本構(gòu)成形式．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))通過學(xué)習(xí)有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，培育直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).如圖，視察下列實(shí)物圖．問題：(1)上述三個(gè)實(shí)物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？(2)上述實(shí)物圖抽象出的幾何體中的曲面能否由某些平面圖形旋轉(zhuǎn)而成？(3)如何形成上述幾何體的曲面？圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊；柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體2.圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊；錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體3.圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)圖示及相關(guān)概念軸：圓錐的軸；底面：圓錐的底面和截面；側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體思索1：用平面去截圓錐肯定會(huì)得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)嗎？[提示]不肯定．只有當(dāng)平面與圓錐的底面平行時(shí)，才能截得一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．4．球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球圖示及相關(guān)概念球心：半圓的圓心叫做球的球心；半徑：連接球心和球面上隨意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑思索2：球能否由圓面旋轉(zhuǎn)而成？[提示]能．圓面以直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)半周形成的旋轉(zhuǎn)體即為球．5．簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡(jiǎn)潔組合體的定義：由簡(jiǎn)潔幾何體組合而成的幾何體．(2)簡(jiǎn)潔組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：簡(jiǎn)潔組合體eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由簡(jiǎn)潔幾何體拼接而成，,由簡(jiǎn)潔幾何體截去或挖去一部分而成.))1．思索辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐． ()(2)夾在圓柱的兩個(gè)平行平面之間的幾何體是圓柱． ()(3)半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．圓錐的母線有()A．1條 B．2條C．3條 D．多數(shù)條D[由圓錐的結(jié)構(gòu)特征知圓錐的母線有多數(shù)條．]3．下列圖形中是圓柱的是________．①②③④②[依據(jù)圓柱的概念可知只有②是圓柱．]4．下列給出的圖形中，繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周(如圖所示)，能形成圓臺(tái)的是________．(填序號(hào))①②③④①[依據(jù)定義，①形成的是圓臺(tái)，②形成的是球，③形成的是圓柱，④形成的是圓錐．]旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)下列說法不正確的是()A．圓柱的側(cè)面綻開圖是一個(gè)矩形B．圓錐過軸的截面是一個(gè)等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺(tái)平行于底面的截面是圓面(2)給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點(diǎn)、圓錐底面圓周上隨意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；④圓柱的隨意兩條母線所在的直線是相互平行的．其中正確的是()A．①② B．②③C．①③ D．②④(1)C(2)D[(1)由圓錐的概念知，直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓錐．強(qiáng)調(diào)肯定要圍著它的一條直角邊，即旋轉(zhuǎn)軸為直角三角形的一條直角邊所在的直線，因而C錯(cuò)．(2)由圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及母線的性質(zhì)可知②④正確，①③錯(cuò)誤．]簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體推斷問題的解題策略1精確駕馭圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過程及其結(jié)構(gòu)特征是解決此類概念問題的關(guān)鍵.2解題時(shí)要留意兩個(gè)明確：①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成.②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(多選題)下列說法正確的是()A．圓柱的底面是圓面B．經(jīng)過圓柱隨意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面C．圓臺(tái)的隨意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交D．夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體AB[A正確，圓柱的底面是圓面；B正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱隨意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；C不正確，圓臺(tái)的母線延長相交于一點(diǎn)；D不正確，夾在圓柱兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體．]簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征【例2】如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡(jiǎn)潔幾何體組成的？[思路探究]先將平面圖形割補(bǔ)成三角形、梯形、矩形，再旋轉(zhuǎn)識(shí)別幾何體．[解]旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示．其中圖①是由一個(gè)圓柱O1O2和兩個(gè)圓臺(tái)O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個(gè)圓錐O5O4，一個(gè)圓柱O3O4及一個(gè)圓臺(tái)O1O3中挖去圓錐O2O1組成的．旋轉(zhuǎn)體形態(tài)的推斷方法1推斷旋轉(zhuǎn)體形態(tài)的關(guān)鍵是軸的確定，看是由平面圖形繞哪條直線旋轉(zhuǎn)所得，同一個(gè)平面圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體一般是不同的.2在旋轉(zhuǎn)過程中視察平面圖形的各邊所形成的軌跡，應(yīng)利用空間想象實(shí)力，或親自動(dòng)手做出平面圖形的模型來分析旋轉(zhuǎn)體的形態(tài).3要嫻熟駕馭各類旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如圖，AB為圓弧BC所在圓的直徑，∠BAC＝45°.將這個(gè)平面圖形繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)組合體，試說明這個(gè)組合體的結(jié)構(gòu)特征．[解]如圖所示，這個(gè)組合體是由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球體拼接而成的．幾何體中的計(jì)算問題[探究問題]1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)平行于底面的截面是什么樣的圖形？[提示]圓面．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)過軸的截面是什么樣的圖形？[提示]分別為矩形、等腰三角形、等腰梯形．3．經(jīng)過圓臺(tái)的隨意兩條母線作截面，截面是什么圖形？[提示]因?yàn)閳A臺(tái)可以看成是圓錐被平行于底面的平面所截得到的幾何體，所以隨意兩條母線長度均相等，且延長后相交，故經(jīng)過這兩條母線的截面是以這兩條母線為腰的等腰梯形．【例3】如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺(tái)O′O的母線長．[思路探究]過圓錐的軸作截面圖，利用三角形相像解決．

[解]設(shè)圓臺(tái)的母線長為lcm，由截得的圓臺(tái)上、下底面面積之比為1∶16，可設(shè)截得的圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r,4r，過軸SO作截面，如圖所示．則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.所以eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，所以eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9(cm)，即圓臺(tái)的母線長為9cm.1．把本例的條件換為“圓臺(tái)兩底面半徑分別是2cm和5cm，母線長是3eq\r(10)cm”，則它的軸截面的面積是________．63cm2[畫出軸截面，如圖，過A作AM⊥BC于M，則BM＝5－2＝3(cm)，AM＝eq\r(AB2－BM2)＝9(cm)，所以S四邊形ABCD＝eq\f(4＋10×9,2)＝63(cm2)．]2．把本例的條件換為“一圓錐的母線長為6cm，底面半徑為3cm，把該圓錐截一圓臺(tái)，截得圓臺(tái)的母線長為4cm”，則圓臺(tái)的另一底面半徑為________cm.1[作軸截面如圖，則eq\f(r,3)＝eq\f(6－4,6)＝eq\f(1,3)，所以r＝1cm.]1．簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用(1)簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量．(2)在軸截面中解決簡(jiǎn)潔旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．2．與圓錐有關(guān)的截面問題的解決策略(1)畫出圓錐的軸截面．(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相像關(guān)系建立高、母線長、底面圓的半徑長的等量關(guān)系，求解便可．一、學(xué)問必備圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示：二、方法必備1．處理臺(tái)體問題常采納還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想．2．處理組合體問題常采納分割思想．3．重視圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面在解決幾何量中的特別作用，切實(shí)體會(huì)空間幾何平面化的思想．1．圓柱的母線長為10，則其高等于()A．5 B．10C．20 D．不確定B[圓柱的母線長和高相等．]2．下面幾何體的截面肯定是圓面的是()A．圓臺(tái) B．球C．圓柱 D．棱柱B[截面可以從各個(gè)不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球．]3．如圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的()A[題圖中幾何體由圓錐、圓臺(tái)組合而成，可由A中圖形繞