35導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的應(yīng)用

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第五節(jié)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的應(yīng)用3.5.1邊際函數(shù)設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)稱為函數(shù)的邊際函數(shù)。也稱為函數(shù)在處的邊際函數(shù)值。邊際函數(shù)反映了函數(shù)在點處的變化率。設(shè)成本函數(shù)可導(dǎo)（其中表示總成本，表示產(chǎn)量），則其邊際函數(shù)稱為邊際成本函數(shù)，簡稱邊際成本。稱為當產(chǎn)量為時的邊際成本。其經(jīng)濟意義為：當產(chǎn)量達到時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則成本相應(yīng)增減個單位。1.邊際成本設(shè)收益函數(shù)可導(dǎo)（其中表示收益，表示商品銷售量），則其邊際函數(shù)稱為邊際收益函數(shù)，簡稱邊際收益。稱為當商品銷售量為時的邊際收益。

經(jīng)濟意義：銷售量達到時，如果銷售量增減一個單位產(chǎn)品，則收益相應(yīng)增減個單位。2.邊際收入設(shè)利潤函數(shù)可導(dǎo)，則其邊際函數(shù)稱為邊際利潤。稱為當產(chǎn)量為時的邊際利潤。

經(jīng)濟意義：當產(chǎn)量達到時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則利潤相應(yīng)增減個單位。3.邊際利潤若供給函數(shù)在點處可導(dǎo)（其中為供給量，為價格），則其邊際函數(shù)稱為邊際供給函數(shù)。簡稱邊際供給。4.邊際供給設(shè)總成本函數(shù)（元），求：⑴邊際成本函數(shù)；⑵生產(chǎn)50個單位時的平均單位成本，和邊際成本值，并解釋后者的經(jīng)濟意義。⑴邊際成本函數(shù)為⑵時的平均單位成本為例1:設(shè)總成本函數(shù)（元），求：⑴邊際成本函數(shù)；⑵生產(chǎn)50個單位時的平均單位成本，和邊際成本值，并解釋后者的經(jīng)濟意義。⑵時的邊際成本為經(jīng)濟意義：當生產(chǎn)達到50個單位產(chǎn)品時，如果再多生產(chǎn)1個產(chǎn)品所最加的成本為17.5元。例1

某工廠日產(chǎn)能力最高為1000噸，每日產(chǎn)品的總成本C（元）是日產(chǎn)量x（噸）的函數(shù)：，求當日產(chǎn)量為100噸時的邊際成本，并解釋經(jīng)濟意義。答案：邊際成本：經(jīng)濟意義是：當產(chǎn)量是100噸時，每增加1噸產(chǎn)量，成本增加9.5元。課堂練習(xí)設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，稱極限為函數(shù)的彈性函數(shù)，記為，即

3.5.2彈性定義:

在點處，彈性函數(shù)值稱為函數(shù)在點處的彈性值，簡稱彈性。它表示在點處，當變動1%時，的值近似地變動。設(shè)函數(shù)，求其彈性函數(shù)以及在處的彈性。因為所以彈性函數(shù)于是，例2

設(shè)需求函數(shù)在處可導(dǎo)，則稱為該商品在處的需求彈性，記作或，即定義:

設(shè)供給函數(shù)在處可導(dǎo)，則稱為該商品在處的供給彈性，記作或，即

設(shè)銷售量是價格的函數(shù)，收益是商品價格與銷售量的乘積，即所以，收益彈性為收益彈性及其與需求彈性的關(guān)系根據(jù)收益彈性及其與需求彈性的關(guān)系可知：（1）若，則收益彈性大于０；需求變動的幅度小于價格變動的幅度；價格上漲（或下跌）１％，收益增加或減少。（2）若，則收益彈性小于０；需求變動的幅度大于價格變動的幅度；價格上漲（或下跌）１％，收益減少或增加。（3）若，則收益彈性等于０；需求變動的幅度等于價格變動的幅度；價格變動１％，收益不變。3.４.３導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求⑴需求彈性函數(shù)；⑵時的需求彈性，并說明其經(jīng)濟意義；⑶時，價格上漲1%，其總收益增加還是減少？變化的幅度是多少？⑷當取多少時，總收益最大？例:⑴需求彈性函數(shù)：因為需求函數(shù)為，總收益函數(shù)為，所以⑵當時的需求彈性解:這說明，在時，價格每上漲1%，則需求減少0.54%；而價格若下降1%,則需求增加0.54%。⑶當時的收益彈性；所以，當時，價格上漲1%，總收益增加0.46%。

⑷要使總收益最大，應(yīng)有需求彈性，即得，（舍去），故當時，總收益取得最大值。

1.設(shè)某商品的供給函數(shù)為，求供給彈性函數(shù)以及時的供給彈性．

2.某產(chǎn)品的銷售量