35函數(shù)的凹凸性曲線的拐點(diǎn)及漸近線_第1頁
35函數(shù)的凹凸性曲線的拐點(diǎn)及漸近線_第2頁
35函數(shù)的凹凸性曲線的拐點(diǎn)及漸近線_第3頁
35函數(shù)的凹凸性曲線的拐點(diǎn)及漸近線_第4頁
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3.5函數(shù)的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的漸近線一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上弧段總是位于任意切線的下方……凸弧圖形上弧段總是位于任意切線的上方……凹弧1、定義設(shè)連續(xù)曲線弧AB方程y=f(x),a<x<b,弧AB上除端點(diǎn)外的每一點(diǎn)處的切線都存在,如果曲線弧總是位于任一切線的上(下)方,則稱曲線弧AB是向上凹的或稱凹弧(向上凸的,或稱凸弧),記為“∪”(“∩”)。

分析:2、定理(曲線凹凸性判定定理)設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),若在(a,b)內(nèi)f"(x)>0(或<0),則曲線y=f(x)在(a,b)上的為凹?。ɑ蛲够。焕?判定曲線弧y=xarctanx的凹凸性.解故y=xarctanx

在(-∞,+∞)內(nèi)為凹弧.因此當(dāng)x<0時(shí),,可知曲線弧為凸弧.當(dāng)x>0時(shí),,可知曲線弧為凹的.例2判定曲線弧y=x3的凹凸性.解注意到2、拐點(diǎn)及其判定判定步驟:定義連續(xù)曲線弧上的凹弧與凸弧的分界點(diǎn),稱為該曲線弧的拐點(diǎn).(1)在f(x)所定義的區(qū)間內(nèi),求出二階導(dǎo)數(shù)f"(x)=0的點(diǎn).(2)求出二階導(dǎo)數(shù)f"(x)不存在的點(diǎn).判定上述點(diǎn)兩側(cè),f"(x)是否異號(hào).如果f"(x)

在xi的兩側(cè)異號(hào),則(xi,f(xi))為曲線弧的y=f(x)的拐點(diǎn).如果f"(x)在xi的兩側(cè)同號(hào),則(xi,f(xi))不為曲線弧y=f(x)的拐點(diǎn).例3解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例5解例4曲線y=x4是否有拐點(diǎn)?所以x=0是不可導(dǎo)點(diǎn),y′,y"均不存在但在(-∞,0)內(nèi),y">0,曲線在(-∞,0]上是凹??;在(0,+∞)內(nèi),y"<

0,曲線在[0,+∞)上是凸弧。例6討論曲線的凹凸性,并求其拐點(diǎn).解函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)當(dāng)時(shí)凹+非拐點(diǎn)凹拐點(diǎn)凸y不存在+0-可知所給曲線在為凸弧.在內(nèi)為凹弧.討論曲線弧的凹凸性,并求其拐點(diǎn).x1(1,2)2+0-0+y凹拐點(diǎn)(1,-3)凸拐點(diǎn)(2,6)凹練習(xí)1所給函數(shù)內(nèi)連續(xù).解可知所給曲線弧在內(nèi)為凹的.在(1,2)為凸的.拐點(diǎn)為點(diǎn)(1,-3)與點(diǎn)(2,6).練習(xí)21、若點(diǎn)(1,2)是曲線的拐點(diǎn),則2、曲線的拐點(diǎn)是

。3、曲線的凹區(qū)間是

,凸區(qū)間是

,拐點(diǎn)是

1-3(0,0)二、曲線的漸近線1、曲線的水平漸近線若,則直線y=y0是曲線y=f(x)的水平漸近線.所以曲線y=arctanx有水平漸近線因?yàn)?,所以曲線有水平漸近線y=02、曲線的垂直漸近線若,則直線x=x0是曲線y=f(x)的垂直漸近線.所以曲線有垂直漸近線x=-1,x=13.曲線的斜漸近線若,則直線y=ax+b是曲線y=f(x)的斜漸近線.例7求曲線的斜漸近線.解:因?yàn)橛忠驗(yàn)樗詁=-2,所以直線y=x-2是曲線的斜漸近線.三、函數(shù)圖形的描繪步驟:1)確定函數(shù)的定義域,考察函數(shù)的奇偶性和周期性;2)求出f′(x)和f"(x),解出f′(x)=0和f"(x)=0在定義域內(nèi)的全部實(shí)根及使f′(x)和f"(x)不存在的點(diǎn),用這些點(diǎn)將定義域分成各部分區(qū)間;3)列表考察各部分區(qū)間內(nèi)f′(x)和f"(x)的符號(hào),確定函數(shù)的單調(diào)性和極值,曲線的凹凸性和拐點(diǎn);4)確定曲線的水平漸近線和垂直漸近性,及輔助點(diǎn);5)用光滑的曲線描繪出函數(shù)圖形。3)列表確定函數(shù)及曲線的特性例8描繪函數(shù)的圖形3)列表確定函數(shù)及曲線的特性4)求漸近線5)輔助點(diǎn)小結(jié)曲線的彎曲方向——凹凸性;

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