43函數(shù)的凹凸性

§4-3

二、曲線的漸近線及函數(shù)圖形的描繪曲線的凹凸性及函數(shù)圖象的描繪一、曲線的凹凸性經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件

如圖所示，曲線弧ABC部分是向下彎曲的，這時(shí)曲線位于切線的下方；而曲線弧CDE部分是向上彎曲的，曲線位于切線的上方．一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

C

A

y

E

B

D

x

O

a

c

b

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件定義4.3.1

如果曲線弧總是位于其任一點(diǎn)切線的上方，則稱這條曲線弧是凹的；如果曲線弧總是位于其任一點(diǎn)切線的下方，則稱這條曲線弧是凸的．曲線凹凸的判別觀察圖形中切線的斜率變化情況.上圖中曲線弧在區(qū)間內(nèi)是凸的，曲線弧在區(qū)間內(nèi)是凹的.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件在圖1中,當(dāng)時(shí),即是單調(diào)增加的;在圖2中,當(dāng)時(shí),即是單調(diào)減少的.的單調(diào)性可用來(lái)判別.YXO圖1YXO圖2經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件定理4.3.1設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)且恒大(小)于零,則曲線在區(qū)間上是凹(凸)的.用表格直觀記憶:+-經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例1解注意到,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件定義4.3.2

連續(xù)曲線y=f(x)上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點(diǎn)，稱為曲線

y=f(x)的拐點(diǎn)．分析：由上述定理可知，

以判斷曲線的凹凸.如果

就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)．另外，二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)也有可能為拐點(diǎn)．

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件判定曲線

y=f(x)的拐點(diǎn)的一般步驟：

(1)確定y=f(x)的定義域.(2)求f

(x)，f

(x)，令f

(x)=0，求出所有可能拐點(diǎn)x0.(3)考察f

(x)在每個(gè)可能拐點(diǎn)x0左右兩側(cè)的符號(hào)，如果f

(x)的符號(hào)相反，則點(diǎn)(x0

,f(x0))

是拐點(diǎn)，否則就不是．

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例解凹的∪凸的∩凹的∪拐點(diǎn)拐點(diǎn)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例

求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn)

.凹凸經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件練習(xí).

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件內(nèi)容小結(jié)1.

可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件無(wú)漸近線.點(diǎn)M

與某一直線L的距離趨于0,（一）曲線的漸近線定義.

若曲線

C上的點(diǎn)M

沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),則稱直線L為曲線C

的漸近線.例如,雙曲線有漸近線但拋物線或?yàn)椤翱v坐標(biāo)差”經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件引例（如圖所示）

yxOy=arctanx經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件y

x=1xO1

(2,0)

y=ln(x-1)（如圖所示）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件定義4.3.3、4.3.4則稱直線

y=b為曲線

y=f(x)的水平漸近線.則稱直線

x=x0

為曲線

y=f(x)的垂直漸近線.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件所以的兩條水平漸近線.例如經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例4

求下列曲線的水平或垂直漸近線方程:(1)解所以是曲線的水平漸近線.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件解經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件(3)解因?yàn)?1,所以因?yàn)樗允乔€的垂直漸近線.是曲線的水平漸近線.例4

求下列曲線的水平或垂直漸近線方程:經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件（二）函數(shù)圖形的描繪步驟:1.

確定函數(shù)的定義域,期性;2.

求并求出及3.

列表判別增減及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點(diǎn);4.

求漸近線;5.

確定某些特殊點(diǎn),描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點(diǎn);并考察其對(duì)稱性及周經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例5.

描繪函數(shù)的圖形.解:1)定義域?yàn)閳D形對(duì)稱于

y

軸.2)求關(guān)鍵點(diǎn)3)判別曲線形態(tài)(極大)(拐點(diǎn))經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件(極大)(拐點(diǎn))為水平