2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷03（人教A版2019）

期中測試卷03

(本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)

測試范圍：選擇性必修第一冊RJ-A(2019)第一章、第二章、第三章

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知兩個(gè)非零向量。=(斗％,Z1),h=(x2,y2,z2),則這兩個(gè)向量在一條直線上的充要條件是()。

A、4：|〃|=雙曲

B、為々==Z]Z?

C、xlx2+yl^2+z1z2=0

D、存在非零實(shí)數(shù)%,使之=筋

2.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦距為2百，焦點(diǎn)到漸近線的距離為近，則雙曲線的方程為()o

A、———y2=1

2

B、x2--=l

2

丫2

C、y2——=1

2

D、匕--=1

2

3.若直線x+/ny=2+,〃與圓x2+y2-2x-2y+l=0相交，則實(shí)數(shù)"?的取值范圍為()。

A、(-oo,+oo)

B、(-oo,0)

C、(0,+oo)

D、(-oo,0)U((),+oo)

4.點(diǎn)P(4,-2)與圓/+產(chǎn)=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()。

A、(x-2)2+(y+l)2=l

B、(x-2)2+(y+l)2=4

C、(X+2)2+(^-1)2=1

D、(x+4)2+(y-2)2=4

5.若P、。分別為直線3x+4)—12=0與6x+8y+5=0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()。

22

6.己知柳圓C：5+當(dāng)?=1（。>8>0）的左焦點(diǎn)6,過點(diǎn)耳作傾斜角為30°的直線與圓/+相交的

ab

弦長為病，則橢圓的離心率為（）。

A.1

2

R6

2

C、-

4

D、2

2

7.已知點(diǎn)片是拋物線C：-=2py的焦點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線C的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過B作拋物線c

的切線，切點(diǎn)為A,若點(diǎn)A恰好在以6、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）。

A、A/2—1

口V6-V2

D、--------

2

V6+V?

c、

2

D、V2+1

8.如圖所示，43co-A3|GR是棱長為6的正方體，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BE。

當(dāng)4、EF、G共面時(shí)，平面4。石與平面G。尸所成銳二面角的余弦值為（）°

旦

2

D、巫

5

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全

部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)8(1,3。)的直線4與經(jīng)過點(diǎn)P(0,-l)和點(diǎn)的直線?；ハ啻怪保瑒t實(shí)數(shù)

。=()。

A、-1

B、0

C、1

D、2

22

10.已知橢圓C：「+當(dāng)?=l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別￡、F,,過K且斜率為2的直線交橢圓E于P、

ab

Q兩點(diǎn)，若A/寫入為直角三角形，則該橢圓C的離心率e=()。

A、>/2—1

C、V5-2

D、—

3

II.下列命題中不正確的是()。

A、若A、B、C、。是空間任意四點(diǎn)，則有赤+前+3+方=0

B、若|7|=巧|,則￡、2的長度相等而方向相同或相反

C^|a|-曲=|a+5|是a、1共線的充分條件

D、對空間任意一點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B、C,若麗=xE+y礪+z沅(x,y,ZGR),則尸、

A、8、C四點(diǎn)共面

22

12.已知G、K是雙曲線-=。>0)的左、右焦點(diǎn)，過居作雙曲線一條漸近線的垂線，垂

ab

足為點(diǎn)A,交另一條漸近線于點(diǎn)3,且鳥B,則該雙曲線的離心率為()。

A屈

As——

2

B、V2

C、百

D、75

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)4(-1,0)、8(1,0)的連線的斜率之積為-1,則點(diǎn)P的軌跡方程是

22

14.過雙曲線^--±=1的右支上一點(diǎn)P,分別向圓C1：。+5產(chǎn)+丁=4和圓C2：(x-5)2+y2=r2(r>0)

916

作切線，切點(diǎn)分別為“、N,若『的最小值為58,則r=

15.如圖所示，P—A3C。是正四棱錐，43co是正方體，其中43=2,PA=R,則點(diǎn)用到

平面尸/4。的距離為

16.如圖所示，已知拋物線丁=8岳的焦點(diǎn)為尸，直線/過點(diǎn)/且依次交拋物線及圓(X-2近尸+尸=2于

A、8、C、。四點(diǎn)，則|AB|M|CD|的最小值為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

已知兩圓C1：爐+/一2x-6y—1=0和C2：x2+y2-10x-12y+45=0o

⑴求證：圓G和圓G相交；

(2)求圓G和圓G的公共弦所在直線的方程和公共弦長。

18.(本小題滿分12分)

如圖，已知AA3c的邊AB所在直線的方程為x—3y—6=0,M(2,0)滿足的=祝，點(diǎn)7(—1,1)在AC邊

所在直線上且滿足布?麗=0。,)[

(1)求AC邊所在直線的方程；\

(2)求A4BC外接圓的方程；_M_

⑶若動(dòng)圓P過點(diǎn)N(-2,0),且與AABC的外接圓外切，求動(dòng)圓尸的圓心的軌跡方程。I；

19.(本小題滿分12分)

如圖所示，在三棱柱ABC-A5G中，底面A5C為正三角形，4在底面A3C上的射影是棱3c的中點(diǎn)0,

0E，A4|于E點(diǎn)。

(1)證明：QE_L平面仍CC；

⑵若A41=gAB,求AC與平面所成角的正弦值。

20.(本小題滿分12分)

221

橢圓加：[+當(dāng)=1(。＞萬＞0)的長軸長等于圓c,：/+/2=4的直徑，且孰的離心率等于2.。直線4和

a~b-2

4是過點(diǎn)”(1,0)且互相垂直的兩條直線，乙交G于A、8兩點(diǎn)，%交C2于C、。兩點(diǎn)。

(1)求G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)四邊形AB8的面積為兇4時(shí)，求直線4的斜率"(%＞())。

7

21.(本小題滿分12分)

JT

如圖所示，在三棱柱ABC-4MG中，四邊形ABBJA為菱形，ZAA,B,=-,平面A破4，平面ABC,

AB^BC,AC=叵AA[=2叵,E為AC的中點(diǎn)。

(1)求證：平面433同；

(2)求平面EBG與平面BB￡C所成角的大小。

22.(本小題滿分12分)

己知橢圓G，拋物線C2的焦點(diǎn)均在X軸上，G的中心和G的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)。，從G、G上分別取兩個(gè)

點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

X3-24

V6

y-2V30-4

2

⑴求C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若直線/：）=乙+6（4#0）與橢圓C1交于不同的兩點(diǎn)M、N,且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)

求實(shí)數(shù)%的取值范圍。

期中測試卷03(解析)

(本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)

測試范圍：選擇性必修第一冊RJ-A(2019)第一章、第二章、第三章

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知兩個(gè)非零向量。=(斗力,Z1),h=(x2,y2,z2),則這兩個(gè)向量在一條直線上的充要條件是()。

A、4：|〃|=雙曲B、西電=%為=z-

，+

C>X1X2+yi?22122-0D、存在非零實(shí)數(shù)%,使4=以

【答案】D

??.~?,?.?*??

【解析】A選項(xiàng)，表示。的單位向量q,A|/?|表示〃的單位向量出，則勺=62=>。〃匕，

但。//歸不一定有G=g，錯(cuò)，B選項(xiàng)、C選項(xiàng)不能推出?！ň殴蔬xD。

2.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦距為2百，焦點(diǎn)到漸近線的距離為后，則雙曲線的方程為()。

2222

A^—-y2=1B、x2--=1C、y2--=1D、-——x2=1

2222

【答案】B

【解析】c=B焦點(diǎn)到漸近線的距離為近，則人=&，則Q=l,

2

???雙曲線方程為『—匕=1,故選B。

2

3.若直線x+nz)>=2+w與圓爐+丁-2乂-2>+1=()相交，則實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍為()。

A、(-00,+oo)(-oo,0)C、(0,+oo)D、(-oo,0)U(0,+oo)

【答案】D

【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2+(y-l)2=l,圓心c(l,l),半徑r=1。

,直線與圓相交，；.4=,"+1一2“<r=1,解得機(jī)>0或〃z<0，故選D。

V1W

4.點(diǎn)P(4,-2)與圓/+>2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()。

A、(x-2)2+(y+l)2=lB、(x-2)2+(y+l)2=4

C、(x+2)2+(y-l)2=1D、(x+4)2+(y-2)2=4

【答案】A

(元'+4=2xfx—2x—4

【解析】設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為A(x,y),那么圓上一點(diǎn)設(shè)為8(x',9)，滿足，一，，一，

[y-2=2y[y=2y+2

根據(jù)條件￡2+y2=4,代入后得到（2x—4）2+（2）+2）2=4,

化簡為：（X-2）2+（＞+1）2=1,故選A。

5.若P、。分別為直線3%+4），-12=0與6x+8y+5=0上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）。

9

AA

29一

18一

、5-B>5259

10

【答案】B

34一12

【解析】???不=可。飛一，???兩直線平行，將宜線3x+4y—12=0化為6x+8y—24=0,

|-74一5l?Q

由題意可知IPQI的最小值為這兩條平行直線間的距離，即1,1=—,

V62+8210

??.|PQ|的最小值為」29，故選B。

22

6.已知橢圓C：3+4=1（。＞8〉0）的左焦點(diǎn)K，過點(diǎn)耳作傾斜角為30。的直線與圓/+〉2=。2相交的

ab

弦長為麻，則橢圓的離心率為（）。

A.1B叵

224

【答案】B

【解析】過點(diǎn)石傾斜角為30°的直線方程為：+即x-gy+c=（）,

則圓心（0,0）到直線的距離：皆=],由弦長公式可得：2卜2_5=耳,

整理可得：b2=c2,：.a2-c2=c2,a2=2c2,貝U：e2=-,e=叵,故選B。

22

7.已知點(diǎn)匕是拋物線C：-=2p），的焦點(diǎn)，點(diǎn)F2為拋物線C的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過尸2作拋物線C

的切線，切點(diǎn)為A,若點(diǎn)4恰好在以片、的為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）。

A、V2-1B、近二叵c、亞亞D、3+1

22

【答案】D

【解析】由題意，得耳峭）、瑪（0,-9，設(shè)過Q的拋物線C的切線方程為：y=kx-g

x2=2py

聯(lián)立＜p得12_2pkx+p2=0,

y=kx---

I2

令△=4/?"2-4〃2=0,得A2=1,即X?±2px+/=0,

不妨設(shè)由雙曲線的定義得2a=|伍|一|初1=(五一DP，2c=I68|=P，

則該雙曲線的離心率為6=故選Do

8.如圖所示，加CD-AB|GA是棱長為6的正方體，E、P分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=3/。

當(dāng)ArE、F、G共面時(shí)，平面AQE與平面G。尸所成銳二面角的余弦值為(

21

A、B、

52

V3276

C、D、

2r

【答案】B

【解析】以點(diǎn)。為原點(diǎn)如圖建系，則4(6,0,6)、D(0,0,0)>G(°，6,6)，

由題意知：當(dāng)仇6,3,0)、/(3,6,0)時(shí)，4、E、F、G共面，

設(shè)平面4。七的法向量為巧=(不加馬),

n-DA1=6%1+6Z1=0

函=(6,0,6),瓦=(6,3,0),則，l

%-DE=6x]+3y=0

取再=1,解得若=(1,-2,-1),

設(shè)平面CQF的法向量為%=(々，%，Z2)，

.一…

---1,.*DCi—6y,+6z,=0

DC,=(0,6,6),CP=(3,6,0),則亡」力2

n2?DF-3X2+6y2=0

取々=2,解得n2=(2,—1,1),

設(shè)平面AQE與平面G。尸所成銳：面角為。，

則cos6=|cos<nvn2>|=|』/:|=/,

“|n,|.|n2|瓜瓜2

平面AQE與平面QDF所成銳二面角的余弦值為；，故選B。

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全

部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知經(jīng)過點(diǎn)4-2,0)和點(diǎn)8(1,30的直線4與經(jīng)過點(diǎn)P(0,-l)和點(diǎn)Q(a-2〃)的直線。互相垂直，則實(shí)數(shù)

”()。

A、-1B、0C、1D、2

【答案】BC

【解析】/]的斜率k=-.....=a，

]1-(-2)

當(dāng)a/0時(shí)，/,的斜率&2=-2a一(7)二上必,：.k「\=-\,

。一0a

]—2a

即q.LW=-l,解得〃=1,

a

當(dāng)a=O時(shí),尸(0,-1)、(2(0,0),直線，2為y軸，A(—2,0),B(1,O),直線[為x軸,顯然d

實(shí)數(shù)a的值為0或1,故選BCo

2

10.已知橢圓C：/3+v4=l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別片、F,,過片且斜率為2的直線交橢圓E于P、

a~b

。兩點(diǎn)，若AP大乙為直角三角形，則該橢圓C的離心率e=()。

A、V2-1B、—C、V5-2D、—

33

【答案】CD

【解析】當(dāng)々.專時(shí)‘設(shè)"一，則由于tanPF四*"『，*3

2a=PF,+PF.=石+2,2c=6居=1,J橢圓。的離心率為6=f=至=」一=6—2,

a2a<5+2

當(dāng)N6Pg=微時(shí)，設(shè)桃=2,則由于tanP/B=2,?,.助=1,亞,

2a=PF]+PF1=3?2c=F[F)=后,二橢圓C的離心率為e=￡=2^=^^,

a2a3

故選CD.,

11.下列命題中不正確的是()。

A、若A、B、C、。是空間任意四點(diǎn)，則有施+爐+而+屬=0

B、若0=|臼,則)、B的長度相等而方向相同或相反

C、|a|-|3|=|a+B|是a、Z共線的充分條件

D、對空間任意一點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B、C,若而=了況+)，而+zH(x,y,zeR),則P、

A、B、C四點(diǎn)共面

【答案】ABD

【解析】A選項(xiàng)，荏+前+3+萬X=6而不是0,故A錯(cuò)，

B選項(xiàng)，|"|=正|僅表示"與否的模相等，與方向無關(guān)，故B錯(cuò)，

C選項(xiàng)，a+石1=>一2|°卜歷|+歷F=J+2°.1+7,

B[)-2|〃|-|b|=2a?8=2|a|?|b|-cos<a,b>,

即COS<“0>=—1,4與6方向相反，故C對,

D選項(xiàng)，空間任意一個(gè)向曼而都可以用不共面的二個(gè)向量近、0B,反表示，

二P、A、B、C四點(diǎn)不一定共面，故D錯(cuò)，

故選ABD。

22

12.已知G、外是雙曲線方=1(“>0,萬〉0)的左、右焦點(diǎn)，過尸2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂

足為點(diǎn)A,交另一條漸近線于點(diǎn)3,且A瑪=；鳥8,則該雙曲線的離心率為()。

V6

A、B、V2C、百D、加

2

【答案】AC

---*1---

【解析】(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)N^OA=a,則NAO3=2a,設(shè)a=l,

由題意可知OA=a=l,OF?=c=e,AF2=b>BF2=3b?

則=tana=—-b,tan2a=—=4Z?,

aa

小、，日c2tana2b,

代入得tan2a=--------=----z-=A4b,

1-tanal-b

解得b=,則e=c=』a2+/=Jl+g=,

即2=4-4/

，1—,

(2)當(dāng)心A=§鳥3時(shí)，設(shè)NgOA=a,NAQ8=p，設(shè)a=l,

則NEOB=a+0,NKOB=7t—(a+|3),

由題意可知OA=a=1,OF]=c=e,AF2=b,BF2=3b,

io〃

貝|JA3=2Z?,tana=—=btanp=—=2b,

afa

貝ijtanNGOB=tan[7t-(a+B)]=-tan(a+B)=tana,

tana+tanp

則tan(a+0)==-tana

1-tanatanp

代入得=即3=2〃-1,解得/,=四，則e=c=必方=石,

\-b-2b

故選ACo

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)4(-1,0)、8(1,0)的連線的斜率之積為-1,則點(diǎn)P的軌跡方程是

【答案】x2+/-l(x^±l)

【解析】設(shè)P(x,y),則即A=T,

:動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A(—1,0)、3(1,0)的連線的斜率之積為一1,

22

kPA-kPB=-1,—=—1,BPx+y=1,且％w±l.

綜上點(diǎn)P的軌跡方程是-+y2=］(*w±］)。

22

14.過雙曲線］-看=1的右支上一點(diǎn)P,分別向圓G：。+5產(chǎn)+/=4和圓o2：(x-5)2+y2=r2(r>0)

作切線，切點(diǎn)分別為M、N,若1PMi2-|PN『的最小值為58,則r=。

【答案】V2

【解析】設(shè)匕、鼻是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，也是題中圓的圓心，

2222

二|尸M『-1PN|=|P耳『-4—(|PF2|-r)=(|尸月||PF2|)(|PF,|+|PF2|)+r-4

z

=6(]PFt\+\PF2\)+r-4,

顯然其最小值為6(2x5)+/-4=58,r=痣。

15.如圖所示，P—ABC。是正四棱錐，"CD-A81GA是正方體，其中AB=2,PA=R,則點(diǎn)用到

平面P4￡>的距離為________。

［答案］"/^一\$c

【解析】方法一：利用等體積法求點(diǎn)到平面距離：V&-PAD=VA-BQP，

XXX

匕-BQP-DPA-B,DP-XhA_BDp--J2xy[2-2,

即*生一切=2,解得如苗產(chǎn)夠

方法一：利用建系求點(diǎn)到平面距離：以。]為原點(diǎn)，、D￡、DR為x、y>z軸建系,

則用(2,2,0),尸(1,1,4),4(20,2),0(0,0,2),麗=(-2,-2,2),

PD=(-l,-l,-2),AD=(-2,0,0),

設(shè)平面的法向量為〃-?=(x,y,z),則《〃__?_P_D_,=即0《—x—y—2=0,

〃?AD=0-2x=0

設(shè)丁=2,解得工=0,z=-l,則7=(02—1),

又點(diǎn)到平面P4D的距離.J世,〃1=里!=述。

\n\v55

16.如圖所示，已知拋物線y2=8VIr的焦點(diǎn)為產(chǎn)，直線/過點(diǎn)尸且依次交拋物線及圓2忘產(chǎn)+產(chǎn)=2于

A、8、C、。四點(diǎn)，則|AB|+4|CQ|的最小值為。￥

［答案］1372_

【解析】V/=8V2x,焦點(diǎn)/(2形,0),準(zhǔn)線I。：X=-2M,。度

由圓：(X-2V2)2+/=2,圓心(2jl0),半徑為五，'

由拋物線的定義得：IAF1=4+2應(yīng)，又???|AF|=|AB|+五，.?.|4?|=4+正，

同理：|。|=和+行，

當(dāng)ABLx軸時(shí)，貝1］而=4=2&,AlAB|+41CD1=1572,

當(dāng)A3的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB：y=k(x-26),

代入拋物線方程，得：k2x2-(4V2A:2+8>/2)x+8A:2=0,

.。4聞+8行

..xA-xD=S,xA+xD=------------，

Z.||+41CD\=(xA+V2)+4(XD+偽=572+4+4xD>5亞+2J4x.-x°=13叵,

當(dāng)且僅當(dāng)4=4和，即4=2,%=g時(shí)取等號(hào)，

綜上所述IAB|+41CO|的最小值為13五

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

已知兩圓C1：x2+)2-2x-6y-l=0和C2：x2+y2-10x-12y+45=00

⑴求證：圓G和圓G相交；

(2)求圓G和圓C的公共弦所在直線的方程和公共弦長。

【解析】(1)證明：圓C1的圓心G(l，3)，半徑4=而，圓C2的圓心。2(5,6)，半徑e=4,2分

兩圓圓心距4=|。。21=5，4-VH=l4—弓|<d<{+4=E+4,

.?.圓G和G相交；4分

(2)圓G和圓C2的方程左、右分別相減，得4x+3)—23=0,6分

兩圓的公共弦所在直線的方程為4x+3y-23=0,7分

圓心。2(5,6)到直線4x+3y—23=0的距離d==3,9分

故公共弦長為2J16-9=2近。10分

18.(本小題滿分12分)

如圖，已知AA8C的邊所在直線的方程為x—3y—6=0,M(2,0)滿足的=證，點(diǎn)T(—1,1)在AC邊

所在直線上且滿足ATAB=0.

(1)求AC邊所在直線的方程；

(2)求A48C外接圓的方程；

(3)若動(dòng)圓P過點(diǎn)N(-2,0),且與AA8C的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程。

【解析】(1)；行?而=0，二AT_LAB，又T在AC匕二AC_LA3,AABC為RrAABC,1分

又AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,.?.直線AC的斜率為-3,2分

又：點(diǎn)T(一1,1)在直線AC匕.??AC邊所在直線的方程為y-l=-3(x+l),

即3x+y+2=0；4分

(2)人。與48的交點(diǎn)為4,，由尸-"-6=°解得點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,_2),5分

3x+y+2=0

?.,麗=荻，.?.M(2,0)為即AABC斜邊上的中點(diǎn)，即為R/MBC外接圓的圓心，6分

r=\AM\=7(2-0)2+(0+2)2=2-^2,從而AA5c外接圓的方程為(x-2)2+/=8；7分

(3)、?動(dòng)圓P過點(diǎn)N,二|HV|是該圓的半徑，又：動(dòng)圓P與圓M外切，

|PM|=|PN|+272,即|PM|—|PN|=2&,9分

故點(diǎn)尸的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)、,實(shí)軸長為2立的雙曲線的左支，10分

?.?實(shí)半軸長a=痣，半焦距c=2,...虛半軸長6=2=叵,[]分

從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為三-二=1(x4-啦)。12分

22

19.(本小題滿分12分)

如圖所示，在三棱柱ABC-A5G中，底面A5C為正三角形，4在底面A3C上的射影是棱3c的中點(diǎn)0,

0E，A4|于E點(diǎn)。

(1)證明：QE_L平面仍CC；

⑵若A41=gAB,求AC與平面所成角的正弦值。

【解析】(1)證明：連接AO,；AABC為正三角形，。為BC中點(diǎn)，，AOLBC,

,/A^OIBC,AOnAO=O,，3C_L平面AOA,:.BC工EO,2分

又OEJ_A41,A4.//B.B,Z.OEVB[B,又耳3nBe=3,

/.OE_L平面BBGC,4分

(2)解：山(1)可知，A0_L3C,AQJ.O4,OALBC，

故分別以O(shè)A、OB、0A為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，6分

設(shè)AB=2,則A41=2Q,OA=6。4=3,4(73,0,0),

則AB=(-73,1,0),麗=(-V3.O(3),AC=(一后一1,0),8分

設(shè)平面A4gB的法向量為7=(x,y,z),則:竺=°即一管+'=°,

n?A4j=0-J3x+3z=0

設(shè)x=,則y=3、z=l,則〃=(6,3,1),10分

設(shè)AC與平面所成角為。,

nni?a—iII(V3?3,l)?(—V3,—1,0)3A/T3

則sin。斗cos<幾AC>=------------------------二\=----，

V13x213

.??AC與平面A4由B所成角的正弦值為誓。12分

20.(本小題滿分12分)

丫2v21

橢圓C［：r+==l(a>/?>0)的長軸長等于圓。2：/+9=4的直徑，且G的離心率等于一。直線和

ab~2

，2是過點(diǎn)”(1,0)且互相垂直的兩條直線，九交G于A、§兩點(diǎn)，卜交C2于C、。兩點(diǎn)。

(1)求G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

12V14

(2)當(dāng)四邊形A3C。的面積為時(shí)，求直線/1的斜率%(%>0)。

7

【解析】(1)由題意得勿=4,，a=2,Ye—>c=1,b—V3,2分

a2

22

???橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為y+y=l；3分

y=k(x-l)

(2)直線AB：y=A(x—1),則直線CD：y=--(x-l),山<22,5分

k3x+4y=12

得(3+4/)%2一8r％+4廿-12=0,△>()恒成立,6分

8k2一12

設(shè)孫%)、B(x?y)>貝！々=7分

42］6+3+4&2'-3+4&2

212(二+1)

|AB|=71+A:\xt-x2\=8分

3+4/

圓心(0,0)到直線CO：X+外一1=0的距離d=.,9分

dk2+1

JC￡>I2

+/=4,.\|CD|=210分

4

,ABA.CD,/.S四邊形A8co=萬IAB\-1CD\=-j====,11分

由華?=上叵，解得％=1或左=—1，由火>0,得2=1。

12分

"/+37

21.(本小題滿分12分)

7T

如圖所示，在三棱柱MC-A5G中，四邊形河同為菱形，乙44g=；，平面ABBHJ_平面ABC,

AB-BC,AC=V2A4]=272,E為AC的中點(diǎn)。

(1)求證：B?_L平面ABB1%；

⑵求平面EBG與平面881GC所成角的大小。

【解析】(1)'.?四邊形他34為菱形，AB=BC,AC=?AA、=2如,1分

Z.AC2^AB2+BC2,：.AB±BC,2分

又平面，平