圓錐曲線解答題中的定點(diǎn)和定值問題的解題策略(解析版)

圓錐曲線解答題中的定點(diǎn)和定值問題的解題策略

在圓錐曲線中有一類曲線，當(dāng)參數(shù)取不同值時(shí)，曲線本身性質(zhì)不變或形態(tài)發(fā)

生變化時(shí)，其某些共同的性質(zhì)始終保持不變，我們把這類問題成為圓錐曲線的定

值問題.圓錐曲線中的定值問題是近幾年高考的熱點(diǎn)題型，解題過程中應(yīng)注重解

題策略，善于在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性.

題型一：定值問題

解答圓錐曲線定值問題的策略：

1、把相關(guān)幾何量用曲線系的參變量表示，再證明結(jié)論與參數(shù)無關(guān).求解這類問題的基本方法

是“方程鋪路、參數(shù)搭橋”，解題的關(guān)鍵是對問題進(jìn)行綜合分析，挖掘題目中的隱含條件，

恰當(dāng)引參，巧妙化歸.

2、把相關(guān)幾何量的變元特殊化，在特例中求出幾何量的定值，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無關(guān)，

即特殊到一般的思想.

1、兩點(diǎn)間的距離為定值

例L（2021?廣東中山市高三期末）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為

22'

方則橢圓在其上一點(diǎn)A（x,y）處的切線方程為與

試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系直刀中，已知橢圓C：

/+m=1（〃小0）的離心率為與,且經(jīng)過點(diǎn)A1,弓.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)尸為橢圓。的右焦點(diǎn)，直線/與橢圓C相切于點(diǎn)P（點(diǎn)P在第一象限），過

原點(diǎn)。作直線/的平行線與直線P尸相交于點(diǎn)Q,問：線段尸。的長是否為定值？

若是，求出定值；若不是，說明理由.

【答案】（1）]+丁=1；（2）是定值，定值為應(yīng).

【詳解】

￡_V2

。一2

.._/z

（1）由題意知不力=1=

a2bl/?=1

/=/+/

工橢圓C的方程為，+y?=1.

（2）設(shè)P（%,%），題意可知，切線/的方程為飛冗+2yoy=2,

過原點(diǎn)。且與/平行的直線/'的方程為守+2為y=0,

橢圓。的右焦點(diǎn)廠（1,0）,

所以直線PF的方程為％工一（4一1）），一%=0,

[y0x-（xo-\]y-yo=0

[xox+2yoy=O

所以。代r餐）

4(%一"+小―1

為定值.

V(2rJ-阻—2,=應(yīng)

(2-x0)-

解題思路：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（%,%）,由題意可知，切線/的方程為/x+2%y=2,過原

點(diǎn)。且與/平行的直線，的方程為與x+2%y=0,求出。的坐標(biāo)，表示出尸。的

長，再化詢即可.

2、求某一代數(shù)式為定值

92

例2：（2021?全國高三模擬）已知雙曲線C.三上=1（〃>0力>0）的左頂點(diǎn)為

A,右焦點(diǎn)為尸，離心率e=2,焦距為4.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設(shè)M是雙曲線C上任意一點(diǎn)，且M在第一象限，直線M4與Mr的傾斜角

分別為。1，%，求2%+&2的值.

【答案】⑴=(2)兀.

3

【詳解】

2c=4.

.a=1

(1)由｛c，得(c，所以從=°2一〃2=3,

—=2c=2

[a

0

所以雙曲線C的方程為

（2）由（1）知雙曲線C的方程為/一丫=1,

3

所以左頂點(diǎn)A（TO）,右焦點(diǎn)尸（2,0）.

設(shè)”（%%）（%>0,%>0）,則片哼=1.

當(dāng)%=2時(shí)，％=3,此時(shí)女必=1，因=（，。2=],

所以2?+4=兀：

當(dāng)毛工2,kMA=tana]=-^-f&〃J=tan%=^^.

為+1與-2

因?yàn)閬V=3（*-1）,

2%

%+12（%+1）%_2（.%+1）%_-%

所以tan2臼=一

7V（仆+1）-火（/+1）--3（片一1）%-2,

1-上

“

又由點(diǎn)M在第一象限，易知%[。，"，%?0,兀）,

所以2al+%=兀.

綜上，2岡+%的值為九.

解題思路：利用點(diǎn)在雙曲線上，滿足片-，=1,利用整體代換思想求出tan2%和

tan%相反.

例3：（2021?安徽安慶市高三一模（理））已知橢圓。卞+方=1（〃>人>0）,過

橢圓左焦點(diǎn)/的直線x-4百y+百=0與橢圓。在第一象限交于點(diǎn)M,三角形MF0

的面積為立.

4

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)M作直線，垂直于x軸，直線物、，如交橢圓分別于4〃兩點(diǎn)，且兩直

線關(guān)于直線/對稱，求證：直線/夕的斜率為定值.

2

【答案】(1)三+丁=1；(2)證明見解析.

4

【詳解】

(1)直線x-4x/Jy+>/J=0過左焦點(diǎn)產(chǎn)，所以網(wǎng)-6,0),c=yfi

又由柝=；x6x%=半可知

Z44

從而橢圓經(jīng)過點(diǎn)

由橢圓定義知2〃=」+J12+」=4,即〃=2

2V4

故橢圓的方程為C:《+y2=i.

4

(2)由條件知，直線MA、斜率存在，且兩直線斜率互為相反數(shù)，

設(shè)直線MA：=交橢圓于點(diǎn)AGx)，

直線MB：y-；=-(―6)交橢圓于點(diǎn)W孫必)，

2

”而右nk-^k-3Hn12&2-46出一3-4G&2-6A1

從而有，V3x=------F-----,即七=-7=~:------,Ji=—T=~;--------+-

14r+16(4左2+1)刀6(4產(chǎn)+1)2

.”12二一4向一3-4尿2_6女1

故4一r―；----，—r=-；——+-)，

V3(4A:2+1)6(4&241)2

12r+4限-3Y尿的

同理可得Wb

百(4《+1)'6(4-+1)4

4辰2?6k14瓜26kj_

(6(4&2+1)+5)(石(442+1)+5)=12k=6

12)2+4&—312\2一4麻一3一8Gz-2

6(4公+1)6(4公+1)

即證直線43的斜率為定值，且為由.

2

解題思路：將直線MA：＞彳=&1-6)與橢圓方程聯(lián)立求出交點(diǎn)

1242—4點(diǎn)4一3—4、八川一6上I

A("?3七3,二女的坐標(biāo),再將A中的攵用此替換，即可求出

V3(4A:24-1)y/3(4k2+l)2

8點(diǎn)坐標(biāo)，，再利用斜率公式，化簡，即可.

例4.(2021?河南高三月考(理))已知點(diǎn)A(-2,0),5(2,0),動(dòng)點(diǎn)S(x,y)滿足

3

直線4s與BS的斜率之積為一丁,記動(dòng)點(diǎn)S的軌跡為曲線C.

4

(1)求曲線。的方程，并說明曲線。是什么樣的曲線；

(2)設(shè)M,N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線4"與NB交于點(diǎn)P,NM4N=90。.

①求證：點(diǎn)尸在定直線上；

②求證：直線NB與直線岫的斜率之積為定值.

【答案】（1）—+^=l（x^=2）,曲線C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢

43、7

圓，不含4,8兩點(diǎn)；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【詳解】（1）解：由題意，得三?上;=一。（元工±2）,

x+2x-24'7

化簡，得《+片=1（"±2）,

43v）

所以曲線C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在工軸上的橢圓，不含A,8兩點(diǎn).

（2）證明：①由題設(shè)知，直線MA,NB的斜率存在且均不為0.

設(shè)直線AM的方程為x="-2（/*0）,

由AM_L4V,可知直線附的斜率為心A=T，方程為1=」丁-2.

t

_l,_

由｛x,一=一7）一2，得（4/+3）9+12）=0,

3f+4）2=12,

⑵則X=-；，年〕一2二姿，即gjq

解得％=-N

4產(chǎn)+3l4r_+3）4廠+3（4廣+34r~+3）

直線NB的斜率為kNB=廿;Y-=2,

O-oZc4/

-5----2

4產(chǎn)+3

則直線8N的方程為、=金（工-2）,將y=："一2）代入”=。-2,解得冗=74,

故點(diǎn)P在直線工=-14上.

33

②由（1）,得2附.心8=一］，右屋右8二一左，

所以^NA''^MA-㈢'㈢]

9

結(jié)合3A=T，得38?心5=-2為定值.即直線N8與直線MB的斜率之積為

16

定值.

解題思路：①設(shè)直線4M的方程，由AM_L4V,可得直線4N方程，與橢圓聯(lián)

立可求點(diǎn)N坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線3N方程，與AM聯(lián)立即可得證點(diǎn)P在定直線

33

±;②由⑴得匕獷輸=-"七鼠［=一“又四，4V：進(jìn)而可得直線N3

與直線MB的斜率之積.

一r2v2

例5、（2021?江蘇南通市高三期末）已知橢圓C：宗■十方=1（〃>8>0）的離心

率為g,且過點(diǎn)尸

（1）求橢圓。的方程；

3

（2）己知A,3是橢圓C上的兩點(diǎn)，且直線。4,。8的斜率之積為-；，點(diǎn)M

4

為線段。4的中點(diǎn)，連接8W并延長交橢圓C于點(diǎn)N,求證：興也為定值.

,&AMN

【答案】（1）三+上=1;⑵

433

【詳解】

（1）因?yàn)闄E圓的離心率為且過點(diǎn)尸

9

所以C_1又/=從+。2,解得〃2=4,加=3,

所以橢圓C的方程為《+反=1；

43

（2）設(shè)A（M，X）,5（孫％）川（七，必），

因?yàn)辄c(diǎn)M為線段Q4的中點(diǎn)，所以"傅得)，

UUUUUU

因?yàn)榉礄C(jī)N三點(diǎn)共線，所以3N=4BW，

11

所以丹=不3+(1-4)孫必=彳%+(1—丸)為，

乙工

KX=1

44

又因?yàn)?5點(diǎn)在橢圓上，所以:\，

J五=1

43

3

又因?yàn)橹本€04,。8的斜率之積為-二，

所以=。，

因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓上，

22

所以4~+~=1，即+(3x：+4y2)+(1-A)(3X2+4y2?)+^(1-2)(6^^+8y%)=12,

j2o

所以乙+(1-4)2=],解得力二名,

45

所以BN=18W,貝lj忸麻|二||“N|.

sg，OM4

所以2=9---件---=-耦-=(為定值.

3"：?AM/

解題思路：設(shè)4(石,凹),8(電,馬)山(毛,%)，根據(jù)M為線段0A的中點(diǎn)和反機(jī)/V

三點(diǎn)共線，由戢=2潴，表示點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)兒8,4在橢圓上，結(jié)合直

線Q4,08的斜率之積為求得4,從而得到與|MN|的比值，然后由

-OMd

sH

OMB_2求解.

VI4|MV|

MAMN_.AMd、V

2N

例6、（2021?山東泰安市高三期末）已知橢圓C:廠+）=I（?>/?>0）的左頂點(diǎn)為

A（-2,0）,點(diǎn),1,|）在橢圓C上.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過楠圓C的右焦點(diǎn)尸作斜率為可女工0）的直線/,交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，

直線AM,AN分別與直線x="交于點(diǎn)尸，。，則。?尸Q是否為定值？請說明

理由.

【答案】（1）寸+?=1；（2）是定值，

434

【詳解】

（3、19

（1）團(tuán)。=2,點(diǎn)T,;7在橢圓C上，0—+—r=1,0Z?2=3）

2）44b~

團(tuán)橢圓。的方程為：<4=,-

9

（2）是定值-彳，理由如下：

4

設(shè)M（金X）,N（%,%），直線/的方程為尸比卜一「（七0），

y=A:(x-1)

由，整理得(4-+3)f_sk2x+4/-12=0,

----r----I

43

8s43一12

團(tuán)%+%=

止+3’

)'p5y=5Mxi-1)

設(shè)P(3?p),G(3,y),則

e3+2-x,+2,國力

\+2X]+2

同理可得％=5,：；）,

；5Mx「1）、5M/-1)、

^FP=FQ=2,

，%+2x24-2)

25A“X-i)(x-1)x.x,-(x.+x))+l

^FPFQ=4+/」I'-「=4+25.「'J~冬—

(%+2)(/+2)xtx2+2(x,+X2)+4

4^2-128%

+19

4+25/4公+34公+3

4/一1216k4

4公+3.422+3+4

9

團(tuán)々，。為定值—

解題思路：設(shè)直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)P（3,?）,由三點(diǎn)共

線可得力，力，結(jié)合韋達(dá)定理坐標(biāo)表示口/?？傻?

3、求某一個(gè)量為定值

r2v2

例7、（2021?江蘇鹽城市伍佑中學(xué)高三期末）已知橢圓C:，+2=l（〃>b>0）離

a-b2

2

心率為§，點(diǎn)48,D,E分別是C的左，右，上，下頂點(diǎn)，且四邊形AD5E的

面積為6石.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知F是C的右焦點(diǎn)，過F的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，記直線AP,BQ

的交點(diǎn)為丁，求證：點(diǎn)7橫坐標(biāo)為定值.

*2V29

【答案】（1）—+^=1；（2）7?橫坐標(biāo)為定值證明見解析.

952

【詳解】

c2

-二—

a3a=3

；,2a-2b=6幣,解得小=石,

（1）設(shè)橢圓C的半焦距長為c,根據(jù)題意

2212c=2

c-a-Zr

故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=+2=1.

95

（2）由（1）知4（一3,0）,8（3,0）,尸（2,0）,

設(shè)7（而,％,）,「（演,弘）,。（%,%），

由2以=kpAn,①,

x0+3%+3

）'。_必

—，②

xo3x,-3

與一3_%9—3

①②兩式相除得

x0+3%+3%

，)22

又立+匯=1,故五_I=_2L

9595

所以("-3)(%+3)工，故?__2內(nèi)―3

95玉+39y

所以"二弋上=_("3)823)③

%+3%+3y29x%

由題意知直線PQ不平行于x軸，由于直線PQ經(jīng)過F點(diǎn),

所以設(shè)直線尸。的方程為戶陽+2,

（直線PQ的方程為工=磔+2,可避免討論直線2Q的斜率是否存在，簡化計(jì)算,

提高正確率）

代入小1=1整理，得(5療+9)y2+20/ny-25=0,

20m

5；,2”9代入③,

把

35

七一35(內(nèi)一3)(/一3)5(my-l)(/ny-l)

所以=——?------------=—?iI2I

%+39X%9y^2

5加2乂%一加（？+必）+]

9

2/25、,-20m..

x—35’〃(-5〃『十95〃,十9十二］

所以Fa

%+3925-5

-5m2+9

9

解得小=子

9

所以點(diǎn)7■橫坐標(biāo)為定值不

解題思路：設(shè)7*0，加），尸（不凹），。（馬，%），根據(jù)禽=：八，即8=%8可得

色1二卷,點(diǎn)口，根據(jù)在橢圓。上，代入方程化簡整理可得

/3_y劣3_5*1-3)(~2-3)

設(shè)直線尸。的方程為4=四，+2,與橢

%+3玉+3y29y%

圓C聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得Y+%，M?必的表

達(dá)式，代入上式即可.

例8、（2021?湖北武漢市高三月考）己知橢圓C：方的左右

頂點(diǎn)分別為A,4,過橢圓內(nèi)點(diǎn)。（：,0）且不與x軸重合的動(dòng)直線交橢圓C于4

。兩點(diǎn)，當(dāng)直線尸。與x軸垂直時(shí)，|PDk忸D|=g.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)直線AP,A0和直線/：%=，分別交于點(diǎn)M,N,若MZ）_LND恒成

立，求f的值.

/燒210

【答案】（I）^-+^-=1;（II）1=一3或

【詳解】

（I）由I叫得4=，《=2,故C的方程為t+上=1,此時(shí)「仔小.

3334b~"”

代入方程:+罷=1,解得從=2,故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+目=1.

99b42

2

（II）設(shè)直線P。方程為：x=+與橢圓方程聯(lián)立.

得/口（/"2+2）y2+—4〃zy-■3—2=0八.

-47n

?…2=3"+2)

①

設(shè)尸（％，yj、。（與必），則，1?

心9g2）

此時(shí)直線AP方程為y二一三(x+2),與x=f聯(lián)立.

X1+2

得點(diǎn)同理，點(diǎn)N|7”弩、.

【內(nèi)+2JIx2+2)

由M￡>_LM9,kMDkND=-i.

(f+2)y______(f+2)%=]

即,_|1+2)(…|卜2+2)-

所以(f+2)2y%+。一*I(加y+1)(沖2+1)=°?

/、2廠,一

即?+2)2乂%+,一|)加?力+.(,+%)+羨=0.

將①代入得：

-32?+2)2(2丫-32m232m2[64=0

9(W2+2)+1-3；9(m2+2)-9(/n2+2)+-9-"，

化簡得：—32(f+2)2+,—g)[-32/W2-32/w2+64(/n2+2)]=0.

即0+2)2—4.—g)=o.

解得或2"學(xué)10

2

解題思路：設(shè)直線尸。方程為：x=my+^與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得

乂+必，凹當(dāng)，再聯(lián)立AP方程得M同理得N坐標(biāo)，結(jié)合恒成立得

%皿山版=-1，化簡計(jì)算可得參數(shù)，值.

例9、（2021?陜西榆林市高三一模（理））已知橢圓「：/+工=1（〃>1）與拋物

a~

線C:f=2py（p>0）有相同的焦點(diǎn)尸，拋物線C的準(zhǔn)線交橢圓「于A,B兩點(diǎn),

且|陰=1.

（1）求橢圓「與拋物線C的方程；

（2）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若尸為橢圓「上任意一點(diǎn)，以夕為圓心，OP為半徑的圓尸

與橢圓「的焦點(diǎn)尸為圓心，以石為半徑的圓尸交于M,N兩點(diǎn)，求證：|肱V|為

定值.

【答案】（1）橢圓「的方程為：/+￡=1,拋物線C的方程為：/=4石y；（2）

4

證明見解析.

【詳解】

（1）橢圓「：溜+當(dāng)可得焦點(diǎn),

拋物線。:/=2外（〃>0）的焦點(diǎn)為0,§,所以后工=與①,

\）2

所以卜卻=2

由①@可得：a2=4,p=24,

所以橢圓「的方程為：/+21=1,拋物線。的方程為：爐=46力

4

(2)設(shè)P(m,〃),則加2+幺=1,圓p的方程為:(x-m)2+(y-n)2=/M2+W2,

4

圓尸的方程為：x2+(y-73)2=5,

所以直線MN的方程為：〃出+5-6?-1=0,

設(shè)點(diǎn)尸到直線MN的距離為d,

,|麻-4||島-4|2訴-4].

a="―="="=2

則J-2+5-6)2f萩-8技+16.

\MN\=275-J2=2.

所以|MN|為定值.

解題思路：設(shè)則療+乙=1,寫出圓p和圓尸的方程，兩個(gè)圓的方程

4

相減可得直線MV的方程，計(jì)算點(diǎn)尸到直線MN的距離為“，再利用

|M/V|=計(jì)算弦長即可.

題型二、證明動(dòng)直線過定點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問題

解答圓錐曲線的定點(diǎn)問題的策略：

1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量,

即確定題目中核心變量（通常為變量&）；②利用條件找到左過定點(diǎn)的曲線"*,y）=o之

間的關(guān)系,得到關(guān)于左與兄y的等式,再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)：

2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探

索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

1、直線過定點(diǎn)問題

22

例10、（2020?江西吉安市高三其他模擬（理））已知橢圓C:=十與=1（。＞人＞0）

a-h27

經(jīng)過點(diǎn)尸（百,；），且離心率e邛.

（1）求橢圓。的方程；

（2）已知斜率存在的直線/與橢圓相交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)。個(gè)一,0總滿足

\/

乙4。。=/8。。，證明：直線/過定點(diǎn).

2

【答案】（1）—+/=1；（2）證明見解析.

【詳解】

（1）因?yàn)闄E圓C:「*+/=l（a>b>0）的離心率6=乎.

所以/=1一「=［曰］,即〃2=4",

+方=1（。>6>0）經(jīng)過點(diǎn)尸（后；｝

又橢圓C：

31

代入橢圓方程可得弓+F=1,

---1----=1

聯(lián)立方程組可得/4b2,解得/=4,從=1.

cr=4b2

所以橢圓C的方程為《+y2=i.

（2）設(shè)直線/的方程為廣丘+加，A（5，x）,8（W,%），

*****tN1

聯(lián)立方程組（［■+）'消去）'得（1+4公卜2+8幼優(yōu)+4〉-4=0,

y=kx+m

22

A=16(4Z:-W+l)>0,即/2<4《+I,

W-4

因?yàn)镹AQO=NBQO,所以陽。+軟。=。,

..y.y,kx,+mkx3+m

kAn+kRn--------------7='H---------------尸=-------7=-H---------------T=

AQBQ#4G4A/3

得2M4療一4）-85？TH-弓^左）一^^〃7（1+4攵2）=0,

化簡得機(jī)=-&,直線/的方程為丁=%[-6），

所以，直線/恒過定點(diǎn)（6,0）.

解題思路：設(shè)直線/的方程為尸質(zhì)+加，人冷乂），85,為），將直線方程與橢

圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，又因?yàn)橐?QO=NBQ。，所以^。+心。=0,將韋

達(dá)定理代入得出答案.

例11、（2021?湖北襄陽市高三期末）已知A,8分別為橢圓C：5+y2=i（a>i）

的左、右頂點(diǎn)，尸為C的上頂點(diǎn)，AP.尸8=8.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)（6,0）作關(guān)于x軸對稱的兩條不同直線3％分別交橢圓于M（x，y）與

NgM，且王工超，證明：直線MN過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（1）y+y2=l;（2）證明見解析，定點(diǎn)停0）.

【詳解】

解：⑴由題意得4(一。,0),B(a,0),P(0,l),則AP=(aJ),P月=(a,-l).由

AP?PB=8,得。2_I=8,即a=3

所以橢圓C的方程為三+丁=1

(2)由題易知：直線MN的斜率存在，且斜率不為零,

x=my+n

設(shè)直線MN方程為1=緲+〃，(加工0),聯(lián)立，

x2+9y2-9=0,

得(>+9)/+2〃毆+"―9=0,由A>0得病一〃2+9>o,

.-2mn2-9

,?小=中，，跖=蕨n3

因?yàn)殛P(guān)于x軸對稱的兩條不同直線4，4的斜率之和為0,

，出+出二°，整理得2相通+5-6)(乂+必)=°，

即2"〃2-9)_2〃〃?(〃-6)=0,解得：n=3

+9trr+92

直線MN方程為：x=my^t所以直線MV過定點(diǎn).

解題思路：設(shè)直線MV方程并聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得y+%，,%，又

因?yàn)殛P(guān)于x軸對稱的兩條不同直線4,4的斜率之和為0,所以氣+春二°,

X1—OX2一O

通過計(jì)算化簡即可求得定點(diǎn).

例12、（2021?山東德州市高三期末）已知點(diǎn)耳、K分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，

離心率為乎，點(diǎn)戶是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心的單位圓上的一點(diǎn)，且PK.PE=O.

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)斜率為4的直線/（不過焦點(diǎn)）交橢圓于機(jī)N兩點(diǎn)，若x軸上任意一點(diǎn)

到直線MG與NK的距離均相等，求證：直線/恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

22

rv

【答案】⑴于2r"⑵證明見解析，

【詳角吊】

2）

⑴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+2=1,尸（乂），）

a"o

￡=V2

a2a2=2

由題意可得f+y2=i

解得:b2=\

2

(x-c,y)(x+c9y)=Oc=\

b2+c2=a2

即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：—+^=1.

21

(2)設(shè)直線hy=kx+m,M(x,iyi\N(x2,y2)

,.y.kx.+m,ykx.+m

則心M=3=七-，與巧7=3T丁

X)+1+1X,+1X2+1

22

有121,消去y得：(1+2/)冗2+4加履+2m2—2=o,

y=kx+m

A=16k2m2-8(w-1)(1+2-)>0

-4mk

所以百

2m2-2

中2二由記

因?yàn)閄軸上任意一點(diǎn)到直線用耳與NK的距離均相等,

所以X軸為直線ME與的角平分線,

,kx.+mkx、+m八

f即2kxix2+(加+%)(X[+x)+2/n=0

所以嗎+樣=，T+=r=°'2

we,2m—2/，、一4mk?八

所以2欠....-+(m+k)-----+2w=0

1+2F1+2公

整理化簡得：m=2k

即直線J：y=kx+tn=kx+2k=k(x+2)

故直線恒過定點(diǎn)(-2,0).

解題思路：先用設(shè)而不求法表示出玉+/小/，然后分析得到%岫=。，代

入，求出帆=2%,即可證明直線過定點(diǎn)(-2,0).〃設(shè)而不求“是一種在解析幾何

中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.

2、動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問題

22

例13、(2021?山東威海市高三期末)已知橢圓C:￡+5=l(〃>b>0)的離心

率為上A,B分別是它的左、右頂點(diǎn)，廠是它的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線與C交于

2

P,Q(異于A3)兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，AAPQ的面積為19.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線4P與直線BQ交于點(diǎn)M,求證:點(diǎn)M在定直線上

22

【答案】（1）—+^=1;（2）證明見解析.

43

【詳解】

解：（1）由題意知￡=!，所以a=2c,又/=廿+。2,

a2

所以b=

9

當(dāng)尸Q_Lx軸時(shí)，?AR2的面積為大，

2

1z2b29

所rr以rI5（〃+c）x?工-=5

解得C?=l,

所以/=4,廿=3,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三十匯=1.

43

（2）由（1）知產(chǎn)（1,0）,設(shè)直線尸。的方程為1=沖+1,

與橢圓[+[=1聯(lián)立，得（3帆2+4）丁+6%，-9=0.

顯然八〉0恒成立.

設(shè)尸（不））。（々,必）＞

所以有％+%=-舄，、"-3（*）

直線AP的方程為〉={7（"+2），直線80的方程為y=-^（x-2）,

+z%一乙

聯(lián)立兩方程可得，所以也（%+2）=黃萬（工-2）

x+2x+2%_（加y+3）%—年跖+3%

九一2y/一2蘆（根），2-1），孫必一兇

3

由（*）式可得"2=森3+R

"2_|(%+%)+3%_|乂+5%

代入上式可得=3,

I|(yl+v2)-yi

乙22

解得I,

故點(diǎn)M在定直線x=4上.

解題思路：設(shè)直線尸。的方程為工=沖+1,聯(lián)立橢圓方程，設(shè)代小M）,。。％%），

由韋達(dá)定理，可知X+%=-T=，乂M=一丁工，將直線AP的方程

）'=卷（工+2）與直線8。的方程＞=一%"-2）聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，化簡計(jì)

X|+Z%一乙

算，即可證明結(jié)果.

r2v2_1

例14、（2。21?福建高三模擬）橢圓。丁93"＞。）的離心35,

P化通

在C上.

2'4

\

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）匕”設(shè)為短軸端點(diǎn)，過例（。1）作直線/交橢圓。十4B兩點(diǎn)（異于七/'）,

直線AE、8尸交于點(diǎn)T.求證：點(diǎn)7恒在一定直線上.

【答案】（1）—+^=1;（2）證明見解析.

43

【詳解】

⑴因?yàn)辄c(diǎn)尸（;,乎）在「上，所以;（￥,_］，

a2b2

又6=￡=《，a2=b2+c2?所以/=4,從=3,

a2

故所求橢圓C的方程為工=1.

43

（2）由題意知直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y="+L

設(shè)A（%,y）,8（w，%），（石口。，%。0）.

3.；儲(chǔ)；=0=（叱+3卜2+8米-8=。,

Sk—8

且有藥+工2=煙々.

i.vR_y「6

1AE.)73-：x

1廣(西工。，w。。)

/小>+石="+3<

x2

x

y-y/^_y\-y/^xx2_kX'+T-Cx2_3々+(1—G?2

y+^3XM+^3X]kx、+1+>/3kxix-i+(1+>/3)X|

y-y/3_kxxx2+(1-5/3)^2

——

25/3(1+V3)X|(1\/3)x7

2kxx+2(1-6)X+]

故y=6x122

(l+VJ)^—(1—>/3)X2

62kxxx2+(^+x2)+5/3(A(-x2)

(1+>/3)%]—(1—>/3)X2

KX3(;+S)+*%T)=3

+引+(西一々)

故點(diǎn)r恒在一定直線y=3上.

解題思路：設(shè)出直線y=E+L聯(lián)立直線與橢圓的方程結(jié)合韋達(dá)定理求出4￡B尸

的直線方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)為3,進(jìn)而可得結(jié)果.

3、圓過定點(diǎn)問題

2，

例14、（2021?湖北武漢市高三月考）設(shè)P是橢圓C：=1(4>/?>0)上異

于長軸頂點(diǎn)4M2的任意一點(diǎn)，過戶作。的切線與分別過4,4的切線交于4,

員兩點(diǎn)，已知|4幻=4,橢圓。的離心率為萬.

(1)求橢圓。的方程；

(2)以56為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，請予以證明，并求

出定點(diǎn)；如果不過定點(diǎn)，說明理由.

【答案】(1)—+^-=1；(2)過定點(diǎn)，證明見解析，定點(diǎn)為(-1,0),(1,0).

43

【詳解】

|A閨=2q=4

解：(1)由題可知|c1,解得。=2,c=l,由/=/+/得〃=3.

e=—=—

a2

橢圓C的方程為二十t=1.

43

(2)設(shè)P(x。,%),由于P是異于長軸頂點(diǎn)4,4的任意一點(diǎn)，故切線斜率存在.

y=kx+b

22

設(shè)過P的橢圓的切線為)，=奴+)，聯(lián)立方程JJ'

43

得(3+4k2)x2+8kbx+4Z?2-12=0,△=(8幼尸,4(3+4k2)(4b2-12)=0,

y()=kxt)+b

得從=3+4公，

所以(%-線丫=3+4-,

2

則Go?-4)二一2yoMA+年一3=0,即16)廣公+2yoxok+9x0=0

所以（4），0左+3.）2=0,則％=一說

解得過P點(diǎn)的切線方程為＞一.%=-科■（x-%）,即y=-學(xué)日+工~

4yo4%%

由于分別過A，4的切線分別為X=-2/=2,

解得張B2的坐標(biāo)為B.（-2,笫4,員（2,守^）.

6-3%、

在x軸上取點(diǎn)M&0）,則M8=-2-r,,MB?--2+

。~wy

2

_______7A_Or

所以MBL=/T+

4%

當(dāng)，=±1時(shí)，M4M瓦=0.

所以，以用鳥為直徑的圓過x軸上的定點(diǎn)為6（-1,0）,瑪（1,0）.

解題思路：設(shè)P（%,%），設(shè)過戶的橢圓的切線為），=奴+6,月橢圓方程聯(lián)立由

A=O,求出切線的斜率攵=-如，得出切線方程丫=一學(xué)+』，由條件求出

4%4yo?0

穌當(dāng)坐標(biāo)，在X軸上取點(diǎn)由“外加入=0得出答案.

【鞏固訓(xùn)練】

1、（2020?廣東高三一模）已知點(diǎn)打一2,-1）為橢圓C：4+4=l（。＞6＞0）上一

a~b

點(diǎn),且橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線丁=4瓜的焦點(diǎn)重合,過點(diǎn)P作直線PA,PB,

與橢圓C分別交于點(diǎn)A,B.

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；

(2)若直線Q4,P8的斜率之和為0,證明：直線A8的斜率為定值.

【答案】⑴=1,離心率為變；(2)證明見解析.

632

【詳解】

(1)由題設(shè)，得,+,=1，①且J。?一從=6，②

由①②解得/=6,b2=3,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為蘭+廿=1,

63

橢圓C的離心率為e=￡=，匹員=也.

a\a22

(2)直線45的斜率為定值1.

證明：設(shè)直線24的斜率為攵，則直線總的斜率為-3

記4(芭,升),B(x2,y2).

設(shè)直線PA的方程為y?1=Mx?2),

與橢圓。的方程聯(lián)立，并消去了得(1+2/)/+(8公-4Z)X+8E-8Z—4=0,

則-2,須是該方程的兩根，

8A2—8A-4-4/+4k+2

,即玉二

1+2k21+2公

設(shè)直線所的方程為y+1=-Hr+2),

同理得母胃-4d-卡41-4-.2

因?yàn)閥+1=%（玉+2）,曠2+1=—左（冬+2）,

以

所以心8二乂一必=”"+2）+”（3+2）=M3+W+4）=]+2如=],

%1-x2x{-x2%!-x28Z

\+2k2

因此直線A8的斜率為定值.

2、（2021?山西陽泉市高三期末（理））已知圓C:/+y2=4,點(diǎn)產(chǎn)為圓。上的

動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作工軸的垂線，垂足為0,設(shè)〃為尸。的中點(diǎn)，且〃的軌跡為曲線

￡（圖9三點(diǎn)可重合）.

（1）求曲線后的方程；

（2）不過原點(diǎn)的直線/與曲線￡交于MN兩點(diǎn)，已知〃僅直線/,OV的斜率占

、&網(wǎng)成等比數(shù)列，記以〃隊(duì)〃斗為直徑的圓的面積分別為S，S，試探究4+02

是否為定值，若是，求出此值；若不是，說明理由.