2025屆河北省鹿泉第一中學高二上數學期末考試試題含解析

2025屆河北省鹿泉第一中學高二上數學期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正方體的棱長為1，且滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.2．在中國共產黨建黨100周年之際,廣安市某中學組織了“黨史知識競賽”活動,已知該校共有高中學生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取一個容量為25的樣本參加活動,其中高二年級抽取了8人,則該校高二年級學生人數為()A.960 B.720C.640 D.3203．在三棱錐中，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.4．定義在區(qū)間上的函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論不正確的是（）A.函數在區(qū)間上單調遞增 B.函數在區(qū)間上單調遞減C.函數在處取得極大值 D.函數在處取得極小值5．已知拋物線的焦點坐標是，則拋物線的標準方程為A. B.C. D.6．已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則該拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.7．在中，內角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.8．若函數有兩個不同的極值點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.9．若正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點，則直線AD與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.10．已知雙曲線，過左焦點且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點，若弦的長恰等于實鈾的長，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．橢圓的焦點為、，上頂點為，若，則（）A B.C. D.12．已知等比數列中，，，則該數列的公比為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點到直線的距離為______.14．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分條件，則實數m的取值范圍是________15．已知向量，，若向量與向量平行，則實數______16．各項均為正數的等比數列的前n項和為，滿足，，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知p：方程所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓；q：當時，函數恒成立.（1）若p為真，求實數t的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實數t的取值范圍18．（12分）為讓“雙減”工作落實到位，某中學積極響應上級號召，全面推進中小學生課后延時服務，推行課后服務“”模式，開展了內容豐富、形式多樣、有利于學生身心成長的活動.該中學初一共有700名學生其中男生400名、女生300名.為讓課后服務更受歡迎，該校準備推行體育類與藝術類兩大類活動于2021年9月在初一學生中進行了問卷調查.（1）調查結果顯示：有的男學生和的女學生愿意參加體育類活動，其他男學生與女學生都不愿意參加體育類活動，請完成下邊列聯(lián)表.并判斷是否有的把握認為愿意參加體育類活動與學生的性別相關？愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計男學生女學生合計（2）在開展了兩個月活動課后，為了了解學生的活動課情況，在初一年級學生中按男女比例分層抽取7名學生調查情況，并從這7名學生中隨機選擇3名學生進行展示，用X表示選出進行展示的3名學生中女學生的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635參考公式：，其中.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，M是PA的中點，N是BC的中點，平面ABCD，且，（1）求證：∥平面PCD；（2）求平面MBC與平面ABCD夾角的余弦值20．（12分）橢圓C：的左右焦點分別為，，P為橢圓C上一點.（1）當P為橢圓C的上頂點時，求的余弦值；（2）直線與橢圓C交于A，B，若，求k21．（12分）如圖，在正方體中，分別是，的中點.求證：（1）平面；（2）平面平面.22．（10分）已知數列的前項和為，并且滿足（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前項和為，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由空間向量共面定理可得點四點共面，從而將求的最小值轉化為求點到平面的距離，再根據等體積法計算.【詳解】因為，由空間向量的共面定理可知，點四點共面，即點在平面上，所以的最小值為點到平面的距離，由正方體棱長為，可得是邊長為的等邊三角形，則，，由等體積法得，，所以，所以的最小值為.故選：C【點睛】共面定理的應用：設是不共面的四點，則對空間任意一點，都存在唯一的有序實數組使得，說明：若，則四點共面.2、D【解析】由分層抽樣各層成比例計算即可【詳解】設高二年級學生人數為,則,解得故選:D3、A【解析】分別取、、的中點、、，連接、、、、，由題意結合平面幾何的知識可得、、或其補角即為異面直線PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線的性質可得且，且，所以或其補角即為異面直線PC與AB所成角，在中，，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角4、C【解析】根據函數的單調性和函數的導數的值的正負的關系，可判斷A,B的結論;根據函數的極值點和函數的導數的關系可判斷、的結論【詳解】函數在上，故函數在上單調遞增，故正確；根據函數的導數圖象，函數在時，，故函數在區(qū)間上單調遞減，故正確；由A的分析可知函數在上單調遞增，故不是函數的極值點，故錯誤；根據函數的單調性，在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，故函數處取得極小值，故正確，故選：5、D【解析】根據拋物線的焦點坐標得到2p=4,進而得到方程.【詳解】拋物線的焦點坐標是,即p=2,2p=4,故得到方程為.故答案為D.【點睛】這個題目考查了拋物線的標準方程的求法，題目較為簡單.6、B【解析】設，進而根據題意，結合中點弦的問題得，進而再求解準線方程即可.【詳解】解：根據題意，設，所以①，②，所以，①②得：，即，因為直線AB的斜率為1，線段AB的中點的橫坐標為3，所以，即，所以拋物線，準線方程為.故選：B7、A【解析】因為，那么結合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點：正弦定理與余弦定理點評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應用，屬于中等題.8、D【解析】計算，然后等價于在（0，+∞）由2個不同的實數根，然后計算即可.【詳解】的定義域是（0，+∞），，若函數有兩個不同的極值點，則在（0，+∞）由2個不同的實數根，故，解得：，故選：D.【點睛】本題考查根據函數極值點個數求參，考查計算能力以及思維轉變能力，屬基礎題.9、A【解析】建立空間直角坐標系，得到相關點的坐標后求出直線的方向向量和平面的法向量，借助向量的運算求出線面角的正弦值【詳解】取AC的中點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設三棱柱的棱長為2，則，∴設為平面的一個法向量，由故令，得設直線AD與平面所成角為，則，所以直線AD與平面所成角的正弦值為故選A【點睛】空間向量的引入為解決立體幾何問題提供了較好的方法，解題時首先要建立適當的坐標系，得到相關點的坐標后借助向量的運算，將空間圖形的位置關系或數量關系轉化為向量的運算處理．在解決空間角的問題時，首先求出向量夾角的余弦值，然后再轉化為所求的空間角．解題時要注意向量的夾角和空間角之間的聯(lián)系和區(qū)別，避免出現錯誤10、B【解析】求出，進而求出，之間的關系，即可求解結論【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設，，，，解得，得，，弦的長恰等于實軸的長，，，故選：B11、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進而可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因為橢圓的上頂點為點，焦點為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.12、C【解析】設等比數列的公比為，可得出，即可得解.【詳解】設等比數列的公比為，可得出.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】點到直線的距離為.故答案為：.14、m≥6【解析】分別求出p，q成立的等價條件，利用p是q的充分條件，轉為當0＜x≤1時，m大于等于的最大值，求出最值即可確定m的取值范圍【詳解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m因為，要使p是q的充分條件，則當0＜x≤1時，m大于等于的最大值，令，則在上單調遞增，故當時取到最大值6，所以m≥6故答案為：m≥6【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應用,考查函數的最值，考查轉化的思想，屬于基礎題15、2【解析】先求出的坐標，進而根據空間向量平行的坐標運算求得答案.【詳解】由題意，，因為，所以存在實數使得.故答案為：2.16、【解析】利用等比數列的通項公式和前項和公式，即可得到答案.【詳解】由題意各項均為正數的等比數列得：，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)由給定條件結合橢圓標準方程的特征列不等式求解作答.(2)求命題q真時的t值范圍，再借助“或”聯(lián)結的命題為真命題求解作答.【小問1詳解】因方程所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓，則有，解得，所以實數t的取值范圍是.【小問2詳解】，則有，當且僅當，即時取“=”，即，因當時，函數恒成立，則，解得，命題q為真命題有，因為假命題，且為真命題，則與一真一假，當p真q假時，，當p假q真時，，所以實數t的取值范圍是.18、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）根據初一男生數和女生數，結合有的男學生和的女學生，愿意參加體育類活動求解；計算的值，再與臨界值表對照下結論；（2）根據這7名學生中男生有4名，女生有3名，隨機選擇3名由抽到女學生的人數X可能為0,1,2,3，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.【小問1詳解】解：因為初一共有700名學生其中男生400名、女生300名，且有的男學生和的女學生，所以愿意參加體育類活動的男生有300名，女生有200名，則列聯(lián)表如下：愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計男學生300100400女學生200100300合計500200700，所以有的把握認為愿意參加體育類活動與學生的性別相關；【小問2詳解】這7名學生中男生有4名，女生有3名，隨機選擇3名學生進行展示，抽到女學生的人數X可能為0,1,2,3，所以，,所以隨機變量X分布列如下：X0123p19、（1）詳見解析；（2）【解析】（1）取PD的中點E，連接ME，CE，易證四邊形是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標系，求得平面MBC的一個法向量，易知平面ABCD的一個法向量為：，由求解.【小問1詳解】證明：如圖所示：取PD的中點E，連接ME，CE，因為底面ABCD是矩形，M是PA的中點，N是BC的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD；【小問2詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，設平面MBC的一個法向量為，則，即，令，得，易知平面ABCD的一個法向量為：，所以，所以平面MBC與平面ABCD的夾角的余弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）利用余弦定理可求頂角的余弦值.（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達定理結合弦長公式可求的值.【小問1詳解】當為橢圓的上頂點時，，在中，由余弦定理知.【小問2詳解】設，，將直線與橢圓:聯(lián)立得：，因為直線過焦點，故恒成立，又，由弦長公式得，化簡整理得：，解得.21、證明見解析【解析】（1）連接，根據線面平行的判定定理，即可證明結論成立；（2）連接，，先由線面平行的判定定理，得到平面，再由（1）的結果，結合面面平行的判定定理，即可證明結論成立.【詳解】（1）如圖，連接.∵四邊形是正方形，是的中點，∴是的中點.又∵是的中點，∴.∵平面，平面，∴平面.（2）連接，，∵四邊形是正方形，是的中點，∴是的中點.又∵是