河南周口市川匯區(qū)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

河南周口市川匯區(qū)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓：和點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是:（）A. B.C. D.2．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.3．已知直線與平行，則的值為（）A. B.C. D.4．若x，y滿足約束條件,則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.55．若向量，，，則（）A. B.C. D.6．在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A. B.C. D.7．在棱長為1的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)和的長度都為最短時(shí)，的值是（）A. B.C. D.8．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A.2 B.4C. D.9．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件10．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺11．已知條件，條件表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件12．是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)到的距離為1，則到的距離為（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，Q為直線上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為___14．設(shè)橢圓，點(diǎn)在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.15．命題“若，則二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）”的條件：_________，結(jié)論:_____________，它是_________命題（填“真”或“假”）.16．若拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線過點(diǎn)（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線的方程18．（12分）已知函數(shù)，是的一個(gè)極值點(diǎn).（1）求b的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.19．（12分）已知橢圓的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓M的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，過F且垂直于直線的直線交橢圓M于C，D兩點(diǎn)，則是否存在實(shí)數(shù)使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由20．（12分）已知：，橢圓，雙曲線.（1）若的離心率為，求的離心率；（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若恰好是的中點(diǎn)，求直線的方程.21．（12分）在①，②，③，，成等比數(shù)列這三個(gè)條件中選擇符合題意的兩個(gè)條件，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解.已知數(shù)列中，公差不等于的等差數(shù)列滿足_________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)之和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先由在線段的垂直平分線上得出，再由題意得出，進(jìn)而由橢圓定義可求出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】如圖，因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，所以，又點(diǎn)在圓上，所以，因此，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上.其中，，則.從而點(diǎn)的軌跡方程是.故選：B.2、A【解析】因?yàn)?，那么結(jié)合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題.3、C【解析】由兩直線平行可得，即可求出答案.【詳解】直線與平行故選：C.4、C【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】作出可行域如圖所示，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，縱截距最大，所以的最大值為4.故選：C5、A【解析】根據(jù)向量垂直得到方程，求出的值.【詳解】由題意得：，解得：.故選：A6、C【解析】結(jié)合基本不等式的知識對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，時(shí)，為負(fù)數(shù)，A錯(cuò)誤.對于B選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以B錯(cuò)誤.對于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，C正確.對于D選項(xiàng)，，，，但不存在使成立，所以D錯(cuò)誤.故選：C7、A【解析】根據(jù)給定條件確定點(diǎn)M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點(diǎn)M在平面內(nèi)，又，即，于是得點(diǎn)N在直線上，棱長為1的正四面體中，當(dāng)長最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長最短時(shí)，點(diǎn)N是點(diǎn)D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點(diǎn)，，而，，所以.故選：A8、D【解析】因?yàn)閽佄锞€方程可化為，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故選D.考點(diǎn)：1、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、拋物線的幾何性質(zhì).9、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當(dāng)且時(shí)，成立，反過來，當(dāng)時(shí)，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點(diǎn)考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.10、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項(xiàng).【詳解】設(shè)冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D11、A【解析】根據(jù)條件，求得a的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因?yàn)闂l件表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以，解得或，所以條件是條件q：或的充分不必要條件.故選：A12、C【解析】利用橢圓的定義直接求解【詳解】由題意得，得，因?yàn)椋?，所以，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】取點(diǎn)，可得，從而，，從而可求解【詳解】解：由圓，得圓心，半徑，取點(diǎn)A（3，0），則，又，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)直線時(shí)取等號故答案為：14、【解析】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，將代入中得，，化簡整理得，令，化簡整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：15、①.②.二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）③.真【解析】由二元一次不等式的意義可解答問題.【詳解】因?yàn)?，二元一次不等式所表示的區(qū)域如下圖所示：所以在的條件下，二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界），此命題是真命題.故答案為：；二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）；真16、【解析】先由拋物線的方程求出準(zhǔn)線的方程，然后根據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求，進(jìn)而可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，由題意可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)由兩條直線垂直可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可；(2)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算即可.【小問1詳解】解：因?yàn)橹本€與直線垂直所以，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為【小問2詳解】解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，斜率為，由點(diǎn)斜式求得直線的方程是，即當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入方程得，所以直線的方程是綜上，所求直線的方程為或18、（1）；（2）【解析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)x=2是的一個(gè)極值點(diǎn)對應(yīng)x=2是導(dǎo)數(shù)為0的根即可求b的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出函數(shù)的極值點(diǎn)，通過比較極值與端點(diǎn)值的大小從而確定出最大值.【小問1詳解】由題設(shè)，.∵x=2是的一個(gè)極值點(diǎn)，∴x=2是的一個(gè)根，代入解得：.經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.【小問2詳解】由（1）知：，則.令，解得x=1或x=2.x1(1,2)2(2,3)30﹣0+遞減遞增∵當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，即在(1,2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,3)時(shí)，即在(2,3)上單調(diào)遞增.∴當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，函數(shù)的最大值為與中的較大者.∴函數(shù)的最大值為.19、（1）（2）存在，【解析】（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達(dá)定理可用表示，從而可求的值.【小問1詳解】據(jù)題意，得，∴，∴所求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】據(jù)（1）求解知，點(diǎn)F坐標(biāo)為若直線的斜率存在，且不等于0，設(shè)直線據(jù)得設(shè)，則，∴同理可求知，∴，∴，即此時(shí)存滿足題設(shè)；若直線的斜率不存在，則；若直線的斜率為0，則，此時(shí)若，則綜上，存在實(shí)數(shù)，且使20、（1）（2）或【解析】（1）有橢圓的離心率可以得到，的關(guān)系，在雙曲線中方程是非標(biāo)準(zhǔn)的方程，注意套公式時(shí)容易出錯(cuò).（2）聯(lián)立方程分別解得P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解得斜率值.【小問1詳解】橢圓的離心率為，，在雙曲線中因?yàn)椋?【小問2詳解】當(dāng)時(shí),橢圓，雙曲線.當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)P,Q恰好重合，坐標(biāo)為，所以不符合條件；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立方程得，利用韋達(dá)定理，所以；同理聯(lián)立方程，韋達(dá)定理得，所以由于是的中點(diǎn)，所以,所以，即，化簡得，所以直線方程為或.21、詳見解析【解析】根據(jù)已知求出的通項(xiàng)公式.當(dāng)①②時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，利用賦值法得到與的關(guān)系式，列方程求出與，求出，寫出的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即可；選②③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，解出與，寫出的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即可；選①③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)無解，則等差數(shù)列不存在，故不合題意.【詳解】解：因?yàn)?，，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，選①②時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋詴r(shí)，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.選②③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，化簡得，因?yàn)?，所以，從而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，所以.選①③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，所以時(shí)，，所以.又因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，化簡得，因?yàn)椋?，從而無解，所以等差數(shù)列不存在，故不合題意.【點(diǎn)睛】本題考查了等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和