江西省桑海中學(xué)等三校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題含解析

江西省桑海中學(xué)等三校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知x，y是實數(shù)，且，則的最大值是（）A. B.C. D.2．已知橢圓的離心率為，則（）A. B.C. D.3．已知在平面直角坐標系中，圓的方程為，直線過點且與直線垂直.若直線與圓交于兩點，則的面積為A.1 B.C.2 D.4．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點，O為坐標原點，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.5．方程表示的曲線經(jīng)過的一點是（）A. B.C. D.6．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.7．過雙曲線Ω：(a＞0，b＞0)右焦點F作x軸的垂線，與Ω在第一象限的交點為M，且直線AM的斜率大于2，其中A為Ω的左頂點，則Ω的離心率的取值范圍為()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)8．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，若存在兩項，使得，則的最小值為（）A.4 B.C. D.99．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)(且，)的一個極值點為2，則的最小值為（）A. B.C. D.7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正項等比數(shù)列中，，，則的公比為___________.14．已知點是橢圓上任意一點，則點到直線距離的最小值為______15．設(shè)a為實數(shù)，若直線與直線平行，則a值為______.16．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G=(0<<2)，則點G到平面D1EF的距離為____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）長方體中，，點分別在上，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.18．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.19．（12分）已知函數(shù)在處的切線與軸平行（1）求的值；（2）判斷在上零點的個數(shù)，并說明理由20．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點求證：（1）共面；（2）求證：21．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，若方程的兩根為，且，當時，不等式對任意的恒成立，求正實數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】將方程化為圓的標準方程，則的幾何意義是圓上一點與點連線的斜率，進而根據(jù)直線與圓相切求得答案.【詳解】方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點與點A連線的斜率，設(shè)，即，當此直線與圓相切時，斜率最大或最小，當切線位于切線AB時斜率最大.此時，，，所以的最大值為.故選：D2、D【解析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進而可得.【詳解】因為，則，所以.故選：D3、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過點且與直線垂直∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長，又∵坐標原點到的距離為，∴的面積為.考點：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、三角形的面積公式.4、C【解析】設(shè)，，由消得：，又，由韋達定理代入計算即可得答案.【詳解】設(shè)，，由消得：，所以，故.故選：C【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運算求解能力.5、C【解析】當時可得，可得答案.【詳解】當時可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C6、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數(shù)量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.7、B【解析】求點A和M的坐標，進而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，從而可解得離心率的范圍.【詳解】F(c,0)，設(shè)M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.8、C【解析】由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值【詳解】因為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，可得，即解得或（舍去）∵，，∴=當且僅當，即m=2,n=4時，等號成立故的最小值等于.故選：C【點睛】方法點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是常量代換的技巧，所謂常量代換，就是把一個常數(shù)用代數(shù)式來代替，如，再把常數(shù)6代換成已知中的m+n,即.常量代換是基本不等式里常用的一個技巧，可以優(yōu)化解題，提高解題效率.9、A【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當時，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A10、A【解析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)公差為，因為，，所以，即，從而.故選：A.11、C【解析】，，若，則，項，符合條件，故選12、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由給定極值點可得a與b的關(guān)系，再借助“1”的妙用求解即得.【詳解】對求導(dǎo)得：，因函數(shù)的一個極值點為2，則，此時，，，因，即，因此，在2左右兩側(cè)鄰近的區(qū)域值一正一負，2是函數(shù)的一個極值點，則有，又，，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】由題設(shè)知等比數(shù)列公比，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列通項公式列方程求公比即可.【詳解】由題設(shè)，等比數(shù)列公比，且，所以，可得或（舍），故公比為3.故答案為：314、【解析】求橢圓上平行于的直線方程，利用平行線的距離公式求橢圓上點到直線的最小值.【詳解】設(shè)與橢圓相切，且平行于的直線為，聯(lián)立橢圓整理可得：，則，∴，又兩平行線的距離，∴到直線距離的最小值為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)兩直線平行得到，解方程組即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：.16、【解析】先證明A1B1∥平面D1EF，進而將問題轉(zhuǎn)化為求點A1到平面D1EF的距離，然后建立空間直角坐標系，通過空間向量的運算求得答案.【詳解】由題意得A1B1∥EF，A1B1?平面D1EF，EF?平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，則點G到平面D1EF的距離等于點A1到平面D1EF的距離.以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，則D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(xiàn)(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.設(shè)平面D1EF的法向量為，則，令x=1，則y=0，z=2，所以平面D1EF的一個法向量.點A1到平面D1EF的距離==，即點G到平面D1EF的距離為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析.（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）以為坐標原點，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由面面角的空間向量求解方法可得答案.【小問1詳解】證明：長方體中，平面，又平面，又平面，又平面同理可證，而平面，平面【小問2詳解】解：以為坐標原點，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.從而，，，由（1）知，為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則，，則，從而，令，則，得平面的一個法向量為由圖示得平面與平面所成的角為銳角，平面與平面所成的角的余弦值為18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問2詳解】建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點坐標，，設(shè)平面的法向量則，令，則，即，設(shè)平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.19、（1）0（2）f（x）在（0，π）上有且只有一個零點，理由見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）由，可得，令，，，，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【小問1詳解】解：，所以k=f′（0）=-a=0，所以a=0；【小問2詳解】由，可得，令，，所以，①當時，sinx＋cosx≥1，ex＞1，所以g′（x）＞0，所以g（x）在上單調(diào)遞增，又因為g（0）=0，所以g（x）在上無零點；②當時，令，所以h′（x）=2cosxex＜0，即h（x）在上單調(diào)遞減，又因為，h（π）=-eπ-1＜0，所以存在，，所以g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，g（π）=-π＜0，所以g（x）在上且只有一個零點；綜上所述：f（x）在（0，π）上有且只有一個零點20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）以為原點,為軸,為軸，為軸,建立空間直角坐標系，設(shè),,，求出，，，，0，，，，，從而，由此能證明共面（2）求出，0，，，，，由，能證明【詳解】證明：如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，，，則0，，0，，2b，，2b，，0，，為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），【點睛】本題考查三個向量共面的證明,考查兩直線垂直的證明,是基礎(chǔ)題21、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，由可得，即，解得，，故.【小問2詳解】解：，因此，.22、（1）（2）1【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)