2025屆江蘇省部分學(xué)校新高三暑期效果聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省部分學(xué)校2025屆新高三暑期效果聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得.故選：D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C.3.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題，所以.故選：A.4.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，，，而，所以.故選：D.5.在等差數(shù)列中，，，（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，在等差數(shù)列中，，仍為等差數(shù)列，所以，所以．故選：C．6.已知函數(shù)，則（

）A.有三個極值點 B.有三個零點C.點是曲線對稱中心 D.直線是曲線的切線〖答案〗C〖解析〗對于A，由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A不正確；對應(yīng)B，因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；對于C，令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；對于D，令，可得，又，當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：C7.若的展開式中二項式系數(shù)和為64，則（）A3 B.4 C.5 D.6〖答案〗D〖解析〗在二項式展開式中，二項式系數(shù)的和為，所以.故選：D.8.已知正三棱錐的側(cè)棱與底面邊長的比值為，則三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，為等邊三角形，為中點，作面垂足為，設(shè)，則，根據(jù)正棱錐性質(zhì)，則，根據(jù)線面角的定義，三棱錐的側(cè)棱與底面所成角為，則.故選：B二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.如圖，在棱長為1的正方體中，點為線段上的動點（含端點），下列四個結(jié)論中，正確的有（）A.存在點，使得直線與直線所成的角為B.存在點，使得直線與直線所成的角為C.存在點，使得三棱錐的體積為D.存在點，使得平面〖答案〗CD〖解析〗在棱長為1的正方體中，建立以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，設(shè)，即點，且，對于AB，，則，即，因此不存在點，使得直線與直線所成的角為或，AB錯誤；對于C，假設(shè)存在點，使得三棱錐的體積為，而，且點到平面的距離為，則，解得，當(dāng)點為線段的靠近的三等分點，即時，三棱錐的體積為，C正確；對于D，假設(shè)存在點，使得平面，而，則，解得，當(dāng)點為線段的中點，即時，使得平面，D正確.故選：CD.10.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，，則下列說法正確的有（）A. B.為偶函數(shù)C.的周期為4 D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A：，故A正確；對于B：根據(jù)及得，令，，可得，且，可得，令，則，則，即，可知為偶函數(shù)，故B正確；對于C：令，則，可知，，可得，則，所以，可知周期為6，故C錯誤；對于D：因為，且，，令，，可得，所以，則，，，，所以，又周期為6，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知圓，則（）A.圓與直線必有兩個交點B.圓上存在4個點到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.動點在直線上，過點向圓引兩條切線，為切點，則四邊形面積最小值為2〖答案〗AC〖解析〗對于A，將直線整理得，由，知，所以直線過定點，因為，所以該定點在圓內(nèi)，故A正確；對于B，圓的圓心到直線的距離為，所以過圓心且與直線平行的直線與圓相交有兩個點到直線的距離為1，與直線平行且與圓相切，并且與直線在圓心同側(cè)的直線到的距離為1，所以只有三個點滿足題意，故B錯誤；對于C，將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，因為兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，所以，解得，故C正確；對于D，連接，因為為切點，所以，所以，且當(dāng)最小時，最小，所以當(dāng)與直線垂直時，，又因為半徑為2，所以，所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.某同學(xué)參加學(xué)校組織的數(shù)學(xué)知識競賽，在4道四選一的單選題中，有3道有思路，有1道完全沒有思路，有思路的題每道做對的概率均為，沒有思路的題只好任意猜一個〖答案〗．若從這4道題中任選2題作答，則該同學(xué)2道題都做對的概率為________．〖答案〗〖解析〗設(shè)事件A表示“兩道題全做對”，若兩個題目都有思路，則；若兩個題目中一個有思路一個沒有思路，則；故.13.在中，，點D在線段上，，，，點M是外接圓上任意一點，則最大值為_______.〖答案〗〖解析〗由題意可得：，，所以，解得，則，設(shè)的外心為，外接圓的半徑為，由正弦定理得：，解得，可得．由平面向量的線性運算知，，所以，由圖可知：．當(dāng)且同向時，，所以最大值為．14.O為坐標(biāo)原點，雙曲線的左焦點為，點P在E上，直線與直線相交于點M，若，則E的離心率為____________．〖答案〗〖解析〗由題意得為雙曲線的一條漸近線，設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，因為，所以，故，，由雙曲線定義得，即，故，設(shè)，則，解得，這里取，則，，則，又，故，化簡得，故.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知正項數(shù)列中，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2），證明：.（1）解：由，，得，又，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，.（2）證明：因為，所以.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處切線方程.（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，所以,，，所以曲線在點處的切線方程為，即；（2），由得，的圖象有2個交點，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，且時，，，所以時，，所以的大致圖象如下，所以若函數(shù)有兩個零點，則，所以實數(shù)的取值范圍為.17.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面平面ABCD，，點P是棱的中點，點Q在棱BC上．（1）若，證明：平面；（2）若二面角的正切值為5，求BQ的長．（1）證明：取的中點M，連接MP，MB，如圖，在四棱臺中，四邊形是梯形，，又點M，P分別是棱的中點，所以，且．在正方形ABCD中，，又，所以．從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．又因為平面，平面，所以平面；（2）解：在平面中，作于O．因為平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD．在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點N，則．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．因為四邊形是等腰梯形，，所以又，所以．易得，所以．設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，令，可得，另取平面DCQ的一個法向量為．設(shè)二面角平面角為，由題意得．又，所以，解得（舍負(fù)），因此．所以當(dāng)二面角的正切值為5時，BQ的長為1．18.為了研究美國人用餐消費與小費支出的關(guān)系，隨機抽取了7位用餐顧客進(jìn)行調(diào)查，得樣本數(shù)據(jù)如下：消費（單元：美元）3240508663100133小費（單位：美元）56798912相關(guān)公式：，．參考數(shù)據(jù)：，．（1）求小費（單位：美元）關(guān)于消費（單位：美元）的線性回歸方程（其中的值精確到0.001）；（2）試用（1）中的回歸方程估計當(dāng)消費200美元時，要付多少美元的小費（結(jié)果精確到整數(shù)）？解：（1）依題意可得，，，；，，關(guān)于的線性回歸方程為；（2）由（1）可得當(dāng)時，；估計消費200美元時，要付美元的小費．19.已知拋物線：，圓：，為坐標(biāo)原點.（1）若直線：分別與拋物線相交于點A，（在B的左側(cè)）、與圓相交于點S，（S在的左側(cè)），且與的面積相等，求出的取值范圍；（2）已知，，是拋物線上的三個點，且任意兩點連線斜率都存在.其中，均與圓相切，請判斷此時圓心到直線的距離是否為定值，如果是定值，請求出定值；若不是定值，請說明理由.解：（1）因為與的面積相等，且與的高均為原點到直線的距離，所以，則，設(shè)，，，，則，即，直線：代入拋物線，得，因為直線與拋物線交于，兩點，所以，則，直線：代入圓：，得，因為直線與圓于S，T兩點，所以，即，即，所以，由，得，又，則，將其代入得，解得；將其代入得，解得.綜上，的取值范圍為.（2）由題，易知直線，，斜率一定存在，設(shè)，，，則，則直線的方程為：，即，即，因為圓：的圓心為，半徑為，因為直線與圓相切，則，平方化簡得：，看成關(guān)于，為變量的式子得：，同理得直線與圓C相切，化簡式子后得：，所以可以同構(gòu)出直線的方程為：，所以圓心到直線的距離為：，此時圓心到直線的距離為定值，定值為.江蘇省部分學(xué)校2025屆新高三暑期效果聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得.故選：D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C.3.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題，所以.故選：A.4.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，，，而，所以.故選：D.5.在等差數(shù)列中，，，（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，在等差數(shù)列中，，仍為等差數(shù)列，所以，所以．故選：C．6.已知函數(shù)，則（

）A.有三個極值點 B.有三個零點C.點是曲線對稱中心 D.直線是曲線的切線〖答案〗C〖解析〗對于A，由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A不正確；對應(yīng)B，因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；對于C，令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；對于D，令，可得，又，當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：C7.若的展開式中二項式系數(shù)和為64，則（）A3 B.4 C.5 D.6〖答案〗D〖解析〗在二項式展開式中，二項式系數(shù)的和為，所以.故選：D.8.已知正三棱錐的側(cè)棱與底面邊長的比值為，則三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，為等邊三角形，為中點，作面垂足為，設(shè)，則，根據(jù)正棱錐性質(zhì)，則，根據(jù)線面角的定義，三棱錐的側(cè)棱與底面所成角為，則.故選：B二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.如圖，在棱長為1的正方體中，點為線段上的動點（含端點），下列四個結(jié)論中，正確的有（）A.存在點，使得直線與直線所成的角為B.存在點，使得直線與直線所成的角為C.存在點，使得三棱錐的體積為D.存在點，使得平面〖答案〗CD〖解析〗在棱長為1的正方體中，建立以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，設(shè)，即點，且，對于AB，，則，即，因此不存在點，使得直線與直線所成的角為或，AB錯誤；對于C，假設(shè)存在點，使得三棱錐的體積為，而，且點到平面的距離為，則，解得，當(dāng)點為線段的靠近的三等分點，即時，三棱錐的體積為，C正確；對于D，假設(shè)存在點，使得平面，而，則，解得，當(dāng)點為線段的中點，即時，使得平面，D正確.故選：CD.10.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，，則下列說法正確的有（）A. B.為偶函數(shù)C.的周期為4 D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A：，故A正確；對于B：根據(jù)及得，令，，可得，且，可得，令，則，則，即，可知為偶函數(shù)，故B正確；對于C：令，則，可知，，可得，則，所以，可知周期為6，故C錯誤；對于D：因為，且，，令，，可得，所以，則，，，，所以，又周期為6，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知圓，則（）A.圓與直線必有兩個交點B.圓上存在4個點到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.動點在直線上，過點向圓引兩條切線，為切點，則四邊形面積最小值為2〖答案〗AC〖解析〗對于A，將直線整理得，由，知，所以直線過定點，因為，所以該定點在圓內(nèi)，故A正確；對于B，圓的圓心到直線的距離為，所以過圓心且與直線平行的直線與圓相交有兩個點到直線的距離為1，與直線平行且與圓相切，并且與直線在圓心同側(cè)的直線到的距離為1，所以只有三個點滿足題意，故B錯誤；對于C，將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，因為兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，所以，解得，故C正確；對于D，連接，因為為切點，所以，所以，且當(dāng)最小時，最小，所以當(dāng)與直線垂直時，，又因為半徑為2，所以，所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.某同學(xué)參加學(xué)校組織的數(shù)學(xué)知識競賽，在4道四選一的單選題中，有3道有思路，有1道完全沒有思路，有思路的題每道做對的概率均為，沒有思路的題只好任意猜一個〖答案〗．若從這4道題中任選2題作答，則該同學(xué)2道題都做對的概率為________．〖答案〗〖解析〗設(shè)事件A表示“兩道題全做對”，若兩個題目都有思路，則；若兩個題目中一個有思路一個沒有思路，則；故.13.在中，，點D在線段上，，，，點M是外接圓上任意一點，則最大值為_______.〖答案〗〖解析〗由題意可得：，，所以，解得，則，設(shè)的外心為，外接圓的半徑為，由正弦定理得：，解得，可得．由平面向量的線性運算知，，所以，由圖可知：．當(dāng)且同向時，，所以最大值為．14.O為坐標(biāo)原點，雙曲線的左焦點為，點P在E上，直線與直線相交于點M，若，則E的離心率為____________．〖答案〗〖解析〗由題意得為雙曲線的一條漸近線，設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，因為，所以，故，，由雙曲線定義得，即，故，設(shè)，則，解得，這里取，則，，則，又，故，化簡得，故.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知正項數(shù)列中，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2），證明：.（1）解：由，，得，又，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，.（2）證明：因為，所以.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處切線方程.（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，所以,，，所以曲線在點處的切線方程為，即；（2），由得，的圖象有2個交點，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，且時，，，所以時，，所以的大致圖象如下，所以若函數(shù)有兩個零點，則，所以實數(shù)的取值范圍為.17.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面平面ABCD，，點P是棱的中點，點Q在棱BC上．（1）若，證明：平面；（2）若二面角的正切值為5，求BQ的長．（1）證明：取的中點M，連接MP，MB，如圖，在四棱臺中，四邊形是梯形，，又點M，P分別是棱的中點，所以，且．在正方形ABCD中，，又，所以．從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．又因為平面，平面，所以平面；（2）解：在平面中，作于O．因為平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD．在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點N，則．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．因為四邊形是等腰梯形，，所以又，所以．易得，所以．設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，令，可得，另取平面DCQ的一個法向量為．設(shè)二面角平面角為，由題意得．又，所以，