理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考幫試題第13章第2講古典概型與幾何概型（考題幫數(shù)學(xué)理）

第二講古典概型與幾何概型題組1求古典概型的概率1.[2017全國卷Ⅱ,11,5分]從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.110 B.15 C.32.[2016全國卷Ⅰ,3,5分]為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.13 B.12 C.233.[2015新課標(biāo)全國Ⅰ,4,5分]如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.310 B.15 C.110 4.[2014湖北,5,5分]隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為p1,點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則()A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p25.[2016四川,16,5分]從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是.

6.[2016山東,16,12分]某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖1321所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī)則如下:圖1321①若xy≤3,則獎勵玩具一個;②若xy≥8,則獎勵水杯一個;③其余情況獎勵飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動.(Ⅰ)求小亮獲得玩具的概率;(Ⅱ)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.題組2幾何概型的概率計算7.[2016全國卷Ⅰ,4,5分][理]某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A.13 B.12 C.238.[2016全國卷Ⅱ,10,5分][理]從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.4nm B.2nm C.9.[2015福建,8,5分]如圖1322,矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)=x+1,x≥0,-12x圖1322A.16 B.14 C.3810.[2017江蘇,7,5分][理]記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[4,5]上隨機(jī)取一個數(shù)x,則x∈11.[2016山東,14,5分][理]在[1,1]上隨機(jī)地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為.

12.[2015重慶,15,5分]在區(qū)間[0,5]上隨機(jī)地選擇一個數(shù)p,則方程x2+2px+3p2=0有兩個負(fù)根的概率為.

13.[2014重慶,15,5分]某校早上8:00開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:30~7:50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為.(用數(shù)字作答)

A組基礎(chǔ)題1.[2018益陽市、湘潭市高三調(diào)考,2]已知a∈{2,0,1,2,3},b∈{3,5},則函數(shù)f(x)=(a22)ex+b為減函數(shù)的概率是()A.310 B.35 C.252.[2018益陽市、湘潭市高三調(diào)考,4]若正方形ABCD的邊長為4,E為四邊上任意一點(diǎn),則AE的長度大于5的概率等于()A.132 B.78 C.383.[2018廣東七校聯(lián)考,9]在如圖1323所示的圓形圖案中有12片樹葉,構(gòu)成樹葉的圓弧均相同且所對的圓心角為π3()圖1323A.233π B.463π C.14.[2018惠州市一調(diào),9][數(shù)學(xué)文化題]我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書中給出了勾股定理的絕妙證明.如圖1324是趙爽的弦圖.弦圖是一個以勾股形(即直角三角形)之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成朱(紅)色及黃色,其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí),利用2×勾×股+(股勾)2=4×朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)=弦2,化簡得:勾2+股2=弦2.設(shè)勾股形中勾股比為1∶3,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()圖1324A.866 B.500 C.300 D.1345.[2018陜西省部分學(xué)校摸底檢測,14]連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,若向量a=(m,n)與向量b=(1,2)的夾角為θ,則θ為銳角的概率是.

6.[2018遼寧五校聯(lián)考,15]在區(qū)間[1,1]上隨機(jī)取一個數(shù)k,則直線y=k(x+2)與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)的概率為.

7.[2017沈陽市三模,13]在區(qū)間(0,2)中隨機(jī)地取出兩個數(shù),則兩數(shù)之和小于1的概率是.

B組提升題8.[2018成都市高三摸底測試,9]小明在花店定了一束鮮花,花店承諾將在第二天早上7:30~8:30之間將鮮花送到小明家.若小明第二天離開家去公司上班的時間在早上8:00~9:00之間,則小明在離開家之前收到這束鮮花的概率是()A.18 B.14 C.349.[2018陜西省部分學(xué)校摸底檢測,9]在球O內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P在球O的內(nèi)接正四面體中的概率是()A.112π B.312π C.2310.[2018石家莊市重點(diǎn)高中高三摸底考試,10]一個三位數(shù),個位、十位、百位上的數(shù)字依次為x,y,z,當(dāng)且僅當(dāng)y>x,y>z時,稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243),現(xiàn)從集合{1,2,3,4}中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù),則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為()A.23 B.13 C.16 圖132511.[2018湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三起點(diǎn)考試,6]某商場對某一商品搞活動,已知該商品每一個的進(jìn)價為3元,售價為8元,每天銷售的第20個及之后的商品按半價出售,該商場統(tǒng)計了近10天這種商品的銷售量,如圖1325所示.設(shè)x為這種商品每天的銷售量,y為該商場每天銷售這種商品的利潤.從日利潤不少于96元的幾天里任選2天,則選出的這2天日利潤都是97元的概率為()A.19 B.110 C.1512.[2018長春市高三第一次質(zhì)量監(jiān)測,18]長春市的“名師云課”活動自開展以來獲得廣大家長和學(xué)生的高度贊譽(yù),在第二季“名師云課”中,數(shù)學(xué)學(xué)科共計推出36節(jié)云課,為了更好地將課程內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生,現(xiàn)對某一時段云課的點(diǎn)擊量進(jìn)行統(tǒng)計:點(diǎn)擊量[0,1000](1000,3000](3000,+∞)節(jié)數(shù)61812(1)現(xiàn)從36節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6節(jié),求選出的點(diǎn)擊量超過3000的節(jié)數(shù);(2)為了更好地搭建云課平臺,現(xiàn)將云課進(jìn)行剪輯,若點(diǎn)擊量在區(qū)間[0,1000]內(nèi),則需要花費(fèi)40分鐘進(jìn)行剪輯,若點(diǎn)擊量在區(qū)間(1000,3000]內(nèi),則需要花費(fèi)20分鐘進(jìn)行剪輯,點(diǎn)擊量超過3000,則不需要剪輯,現(xiàn)從(1)中選出的6節(jié)課中任意選出2節(jié)課進(jìn)行剪輯,求剪輯時間為40分鐘的概率.答案1.D依題意,記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a,b,則一共有25個不同的數(shù)組(a,b),其中滿足a>b的數(shù)組共有10個,分別為(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率為1025=252.C從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,共有6種選法.紅色和紫色的花不在同一花壇的有4種選法,根據(jù)古典概型的概率計算公式,所求的概率為46=23.3.C從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),有{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},共10個基本事件,其中這3個數(shù)能構(gòu)成一組勾股數(shù)的只有{3,4,5},所以所求概率為110,故選C4.C總的基本事件個數(shù)為36,向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10個,則向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率p1=1036=518;向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率p2=1518=1318;向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)與向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的個數(shù)相等,故向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率p3=12.即p1<p5.16從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字,(a,b)的所有可能結(jié)果有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12種,其中l(wèi)og28=3,log39=2為整數(shù),所以logab為整數(shù)的概率為16.用數(shù)對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng).因?yàn)镾中元素的個數(shù)是4×4=16,所以基本事件總數(shù)n=16.(Ⅰ)記“xy≤3”為事件A,則事件A包含的基本事件共5個,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮獲得玩具的概率為5(Ⅱ)記“xy≥8”為事件B,“3<xy<8”為事件C.則事件B包含的基本事件共6個,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)=616=3事件C包含的基本事件共5個,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=516因?yàn)?8>5167.B由題意得圖D1322,圖D1322由圖得等車時間不超過10分鐘的概率為128.C設(shè)由0≤xn≤1,0≤yn≤1構(gòu)成的正方形的面積為S,xn2+yn2<1構(gòu)成的圖形的面積為9.B依題意得,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2),所以S矩形ABCD=3×2=6,S陰影=12×3×1=32,根據(jù)幾何概型的概率求解公式,得所求的概率P=S陰影S矩形ABCD10.59由6+xx2≥0,解得2≤x≤3,則D=[2,3],則所求概率為3-(-211.34圓(x5)2+y2=9的圓心為C(5,0),半徑r=3,故由直線與圓相交可得|5k-0|k2+1<r,即|5k|k2+1<3,整理得12.23設(shè)方程x2+2px+3p2=0的兩個根分別為x1,x2,由題意,得Δ=4p2-4(3p-2)≥013.932圖D1323設(shè)小張與小王的到校時間分別為7:00后第x分鐘,第y分鐘,根據(jù)題意可畫出圖形,如圖D1323所示,則總事件所占的面積為(5030)2=400.記小張比小王至少早5分鐘到校為事件A,則A={(x,y)|yx≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},如圖D1323中陰影部分所示,陰影部分所占的面積為12×15×15=2252,所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A)=2252A組基礎(chǔ)題1.C函數(shù)f(x)=(a22)ex+b為減函數(shù),則a22<0,又a∈{2,0,1,2,3},故只有a=0,a=1滿足題意,又b∈{3,5},所以函數(shù)f(x)=(a22)ex+b為減函數(shù)的概率P=2×25×2=25.2.D設(shè)M,N分別為BC,CD靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn),則當(dāng)E在線段CM,CN(不包括M,N)上時,AE的長度大于5,因?yàn)檎叫蔚闹荛L為16,CM+CN=2,所以AE的長度大于5的概率為216=183.B設(shè)圓的半徑為r,根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式得陰影部分的面積S=24(16πr234r2)=4πr263r2,圓的面積S'=πr2,所以此點(diǎn)取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率為SS'=4.D設(shè)勾為a,則股為3a,所以弦為2a,小正方形的邊長為3aa,所以題圖中大正方形的面積為4a2,小正方形的面積為(31)2a2,所以小正方形與大正方形的面積比為(3-1)24=135.16因?yàn)橄蛄縜,b的夾角為銳角,所以a·b>0且a,b不共線,所以m2n>0且n≠2m.由題意得向量a一共有36個,其中滿足m2n>0且n≠2m(6,1),(6,2),所以θ為銳角的概率是166.33因?yàn)橹本€y=k(x+2)與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),所以2|k|1+k2≤1,解得33≤7.18設(shè)在區(qū)間(0,2)中隨機(jī)取出的兩個數(shù)為x,y,根據(jù)題意可畫出圖形,如圖D1324,則總事件所占的面積為2×2=4.記兩數(shù)之和小于1為事件A,則A={(x,y)|x+y<1,0<x<2,0<y<2},如圖D1324中陰影部分所示,陰影部分所占的面積為12×1×1=12,所以兩數(shù)之和小于1的概率為P(A)=1圖D1324B組提升題8.D如圖D1325,設(shè)送花人到達(dá)小明家的時間為x,小明離家去上班的時間為y,記小明離家前能收到鮮花為事件A.(x,y)可以看成平面中的點(diǎn),試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣?{(x,y)|7.5≤x≤8.5,8≤y≤9},這是一個正方形區(qū)域,面積為SΩ=1×1=1,事件A所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳={(x,y)|y≥x,7.5≤x≤8.5,8≤y≤9},即圖中的陰影部分,面積為SA=112×12×12=78.這是一個幾何概型,所以P(A)=圖D13259.C設(shè)球O的半徑為R,球O的內(nèi)接正四面體的棱長為2a,所以正四面體的高為233a,所以R2=(63a)2+(23a3R)2,即3a=2R,所以正四面體的棱長為26R3,底面面積為12×26R3×2R=233R2,高為4R3,所以正四面體的體積為13×23R23×10.B從集合{1,2,3,4}中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù)共有24個結(jié)果:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432,其中是“凸數(shù)”的是13