高考數(shù)學(xué)（北師大版文）講義第四章　三角函數(shù)解三角形45　兩角和與差及二倍角的三角函數(shù)第1課時(shí)

§4.5三角恒等變形最新考綱考情考向分析1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．3.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶).三角恒等變換是三角變換的工具，主要考查利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡與求值，重在考查化簡、求值，公式的正用、逆用以及變式運(yùn)用，可單獨(dú)考查，也可與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、向量等知識(shí)綜合考查，加強(qiáng)轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識(shí)．選擇、填空、解答題均有可能出現(xiàn)，中低檔難度.1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

知識(shí)拓展1．降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2．升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)對(duì)任意角α都有1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2.(√)(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(4)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且對(duì)任意角α，β都成立．(×)題組二教材改編2．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．－eq\f(\r(2),10)B.eq\f(\r(2),10)C．－eq\f(7\r(2),10)D.eq\f(7\r(2),10)答案C解析∵α是第三象限角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).3．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.答案eq\f(\r(2),2)解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).4．tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝.答案eq\r(3)解析∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°)，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝eq\r(3)－eq\r(3)tan20°tan40°，∴原式＝eq\r(3)－eq\r(3)tan20°tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝eq\r(3).題組三易錯(cuò)自糾5．化簡：eq\f(cos40°,cos25°·\r(1－sin40°))＝.答案eq\r(2)解析原式＝eq\f(cos40°,cos25°\r(1－cos50°))＝eq\f(cos40°,cos25°·\r(2)sin25°)＝eq\f(cos40°,\f(\r(2),2)sin50°)＝eq\r(2).6．已知α是第二象限角，且sin(π－α)＝eq\f(3,5)，則sin2α的值為．答案－eq\f(24,25)解析由已知得sinα＝eq\f(3,5)，又α在第二象限，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(24,25).7．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，則tan2α＝.答案－eq\f(4,3)解析由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)知，cosα＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝－eq\f(1,2)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－1,1－\f(1,4))＝－eq\f(4,3).

第1課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式題型一和差公式的直接應(yīng)用1．(2018·武漢模擬)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(3,7)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β))＝eq\f(2,5)，則tan(α＋β)的值為()A.eq\f(29,41) B.eq\f(1,29)C.eq\f(1,41) D．1答案D解析∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(3,7)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β))＝eq\f(2,5)，∴tan(α＋β)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β))))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β)),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))·tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β)))＝eq\f(\f(3,7)＋\f(2,5),1－\f(3,7)×\f(2,5))＝1.2．(2017·山西太原五中模擬)已知角α為銳角，若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))等于()A.eq\f(2\r(6)＋1,6) B.eq\f(3－\r(2),8)C.eq\f(3＋\r(2),8) D.eq\f(2\r(3)－1,6)答案A解析由于角α為銳角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(2\r(2),3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(6)＋1,6)，故選A.3．計(jì)算eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值為．答案eq\f(1,2)解析eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).思維升華(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征．(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值．題型二和差公式的靈活應(yīng)用命題點(diǎn)1角的變換典例(1)設(shè)α，β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，則cosβ＝.答案eq\f(2\r(5),25)解析依題意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，因?yàn)閟in(α＋β)＝eq\f(3,5)<sinα且α＋β>α，所以α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cos(α＋β)＝－eq\f(4,5).于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),25).(2)(2017·泰安模擬)已知cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，則cos(30°－2α)的值為．答案eq\f(7,9)解析cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝eq\f(1,3)，∴cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).命題點(diǎn)2三角函數(shù)式的變換典例(1)化簡：eq\f(1＋sinθ＋cosθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))(0<θ<π)；(2)求值：eq\f(1＋cos20°,2sin20°)－sin10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan5°)－tan5°)).解(1)由θ∈(0，π)，得0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，∴coseq\f(θ,2)>0，∴eq\r(2＋2cosθ)＝eq\r(4cos2\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,2).又(1＋sinθ＋cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))＝2coseq\f(θ,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(θ,2)－cos2\f(θ,2)))＝－2coseq\f(θ,2)cosθ.故原式＝eq\f(－2cos\f(θ,2)cosθ,2cos\f(θ,2))＝－cosθ.(2)原式＝eq\f(2cos210°,2×2sin10°cos10°)－sin10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos5°,sin5°)－\f(sin5°,cos5°)))＝eq\f(cos10°,2sin10°)－sin10°·eq\f(cos25°－sin25°,sin5°cos5°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)－sin10°·eq\f(cos10°,\f(1,2)sin10°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)－2cos10°＝eq\f(cos10°－2sin20°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2sin30°－10°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),2sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°,2sin10°)＝eq\f(\r(3),2).引申探究化簡：eq\f(1＋sinθ－cosθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2－2cosθ))(0<θ<π)．解∵0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，∴eq\r(2－2cosθ)＝2sineq\f(θ,2)，又1＋sinθ－cosθ＝2sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＋2sin2eq\f(θ,2)＝2sineq\f(θ,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)))∴原式＝eq\f(2sin\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),2sin\f(θ,2))＝－cosθ.思維升華(1)解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系．(2)常見的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等．跟蹤訓(xùn)練(1)(2018·廣州質(zhì)檢)eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)等于()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析原式＝eq\f(sin30°＋17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).(2)已知sin(α－45°)＝－eq\f(\r(2),10)，0°<α<90°，則cosα＝.答案eq\f(4,5)解析∵0°<α<90°，∴－45°<α－45°<45°，∴cos(α－45°)＝eq\r(1－sin2α－45°)＝eq\f(7\r(2),10)，∴cosα＝cos[(α－45°)＋45°]＝cos(α－45°)cos45°－sin(α－45°)sin45°＝eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),10)))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(16,20)＝eq\f(4,5).用聯(lián)系的觀點(diǎn)進(jìn)行三角變形典例(1)設(shè)α為銳角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值為．(2)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值為．(3)已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則eq\f(cos2α,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝.思想方法指導(dǎo)三角變形的關(guān)鍵是找到條件和結(jié)論中的角和式子結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系．變形中可以通過適當(dāng)?shù)夭鸾?、湊角或?qū)κ阶诱w變形達(dá)到目的．解析(1)∵α為銳角且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)>0，∴α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,4)))＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\f(π,4)－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sineq\f(π,4)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1))＝eq\r(2)×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1))＝eq\f(12\r(2),25)－eq\f(7\r(2),50)＝eq\f(17\r(2),50).(2)原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.(3)eq\f(cos2α,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinα＋\f(\r(2),2)cosα)))＝cosα－sinα，∵sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴原式＝－eq\f(7,5).答案(1)eq\f(17\r(2),50)(2)2(3)－eq\f(7,5)1．(2017·山西五校聯(lián)考)若cosθ＝eq\f(2,3)，θ為第四象限角，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))的值為()A.eq\f(\r(2)＋\r(10),6) B.eq\f(2\r(2)＋\r(10),6)C.eq\f(\r(2)－\r(10),6) D.eq\f(2\r(2)－\r(10),6)答案B解析由cosθ＝eq\f(2,3)，θ為第四象限角，得sinθ＝－eq\f(\r(5),3)，故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(cosθ－sinθ)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(\r(5),3)))＝eq\f(2\r(2)＋\r(10),6).故選B.2．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A．－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案D解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq\f(1,2).3．(2017·西安檢測)已知α是第二象限角，且tanα＝－eq\f(1,3)，則sin2α等于()A．－eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(3\r(10),10)C．－eq\f(3,5) D.eq\f(3,5)答案C解析因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，且tanα＝－eq\f(1,3)，所以sinα＝eq\f(\r(10),10)，cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＝－eq\f(3,5)，故選C.4．(2017·河南六市聯(lián)考)設(shè)a＝eq\f(1,2)cos2°－eq\f(\r(3),2)sin2°，b＝eq\f(2tan14°,1－tan214°)，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，則有()A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b答案D解析由題意可知，a＝sin28°，b＝tan28°，c＝sin25°，∴c<a<b.5．已知sinα＝eq\f(3,5)且α為第二象限角，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))等于()A．－eq\f(19,5)B．－eq\f(5,19)C．－eq\f(31,17)D．－eq\f(17,31)答案D解析由題意得cosα＝－eq\f(4,5)，則sin2α＝－eq\f(24,25)，cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(7,25).∴tan2α＝－eq\f(24,7)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(tan2α＋tan\f(π,4),1－tan2αtan\f(π,4))＝eq\f(－\f(24,7)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,7)))×1)＝－eq\f(17,31).6．已知sin2α＝eq\f(2,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案A解析因?yàn)閏os2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2)＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1－sin2α,2)，所以cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1－\f(2,3),2)＝eq\f(1,6)，故選A.7.eq\f(2sin235°－1,cos10°－\r(3)sin10°)的值為()A．1B．－1C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案D解析原式＝eq\f(2sin235°－1,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)))＝eq\f(－cos70°,2sin20°)＝－eq\f(1,2).8．已知銳角α，β滿足sinα－cosα＝eq\f(1,6)，tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，則α，β的大小關(guān)系是()A．α<eq\f(π,4)<β B．β<eq\f(π,4)<αC.eq\f(π,4)<α<β D.eq\f(π,4)<β<α答案B解析∵α為銳角，sinα－cosα＝eq\f(1,6)>0，∴eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2).又tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，∴α＋β＝eq\f(π,3)，又α>eq\f(π,4)，∴β<eq\f(π,4)<α.9．若sin2α＝－sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則tan2α＝.答案eq\r(3)解析∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα≠0，∴cosα＝－eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－2\r(3),1－－\r(3)2)＝eq\r(3).10.eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝.答案eq\f(1,2)解析eq\f(sin250°,1＋sin10°)＝eq\f(1－cos100°,21＋sin10°)＝eq\f(1－cos90°＋10°,21＋sin10°)＝eq\f(1＋sin10°,21＋sin10°)＝eq\f(1,2).11．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，則sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝.答案eq\f(17,18)解析由sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，兩邊平方得1＋sin2α＝eq\f(1,9)，解得sin2α＝－eq\f(8,9)，所以sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α)),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1＋\f(8,9),2)＝eq\f(17,18).12．(2018·吉林模擬)已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f(3,5)，β是第三象限角，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,4)))＝.答案eq\f(7\r(2),10)解析依題意可將已知條件變形為sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝eq\f(3,5)，sinβ＝－eq\f(3,5).又β是第三象限角，所以cosβ＝－eq\f(4,5).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(5π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝－sinβcoseq\f(π,4)－cosβsineq\f(π,4)＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),10).13．(2017·河北衡水中學(xué)調(diào)研)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，則sin2α的值為()A．－eq\f(1,18)B.eq\f(1,18)C．－eq\f(17,18)D.eq\f(17,18)答案C解析由3cos2α＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))可得3(cos2α－sin2α)＝eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)，又由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2),2)，所以1＋2sinα·cosα＝eq\f(1,18)，故sin2α＝－eq\f(17,18).故選C.14．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(1,4)，則sin4θ＋cos4θ的值為．答案eq\f(5,8)解析因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ－\f(\r(2),2)sinθ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ＋\f(\r(2),2)sinθ))＝eq\f(1,2)(cos2θ－sin2θ)＝eq\f(1,2)cos2θ＝eq\f