江西省南昌市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題2

南昌一中20232024學(xué)年度下學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試卷命題人：彭勇審題人：趙子鋒試卷總分：150分考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.曲線在點(diǎn)處的切線方程為(

)A.

B.

C.

D.

2.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，，則(

)A. B. C.10 D.123.數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是(

)

A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞增

C.在時(shí)取得極大值 D.在時(shí)取得極小值5.已知函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.6.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為(

)A. B. C. D.7.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(

)A. B. C. D.8.若，則(

)A. B.

C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列求導(dǎo)結(jié)果錯(cuò)誤的是(

)A. B.

C. D.10.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是(

)A.若，則是等差數(shù)列

B.若是等比數(shù)列，且，，則

C.若是等差數(shù)列，則

D.若，則是等比數(shù)列11.將個(gè)數(shù)排成n行n列的一個(gè)數(shù)陣，如右圖：

該數(shù)陣第一列的n個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列其中已知，，記這個(gè)數(shù)的和為下列結(jié)論正確的有(

)A. B.

C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在等比數(shù)列中，，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則__________13.函數(shù)的極值為_(kāi)_________.14.對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權(quán)和”，已知某數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為_(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題13分已知函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式；求函數(shù)的值域．16.本小題15分為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求，并求的最小值.17.本小題15分

已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng)數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為

求q的值；

求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18.本小題17分已知函數(shù)，函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時(shí)，若與的圖象在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍．19.本小題17分已知函數(shù)若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；證明：答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．

先求出導(dǎo)數(shù)，然后求出切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程．【解答】

解：由題知，，，

切線方程為，即，

故選2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，可得，即可得解．【解答】

解：為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，

設(shè)公差為d，

，

可得，

故選：3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查充分條件和必要條件及等比數(shù)列的知識(shí)，屬一般題.

根據(jù)等比數(shù)列的知識(shí)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.【解答】

解：因?yàn)?/p>

，則或

當(dāng)且時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；

當(dāng)且，數(shù)列單調(diào)遞增；

當(dāng)且，數(shù)列不單調(diào).

而若數(shù)列遞增，則且或且，可以得到，

故“”是“數(shù)列遞增”的必要而不充分條件.

故選4.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查了導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值，屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)圖象判斷的單調(diào)性，由此求得的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定正確選項(xiàng).【解答】解：觀察的圖象可知：

在區(qū)間上，

則在上單調(diào)遞減；

在區(qū)間上，

則在上單調(diào)遞增.

所以不是的極值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn).

所以ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.

故選5.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

求出導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為：，，從而求出a的范圍.【解答】

解：，

若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，

則在上恒成立，

，

而，則

，

故選6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，數(shù)列求和以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，得到，然后利用裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和即可．【解答】

解：函數(shù)，

可得：，

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，

可得：

，

則數(shù)列

的前n項(xiàng)的和為：

故選7.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特征，是基礎(chǔ)題.

由數(shù)列為遞減數(shù)列，則，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，本題可解.【解答】

解：因?yàn)椋?/p>

由數(shù)列為遞減數(shù)列知，對(duì)任意N，，

所以對(duì)任意N恒成立，

所以

故選8.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)比較大小，屬于中檔題.

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷在上的單調(diào)性，從而可判斷選項(xiàng)A、B；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷在上單調(diào)遞減，從而可判斷選項(xiàng)C、【解答】解：由題意，設(shè)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，

且，，所以存在，使，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上不是單調(diào)函數(shù)，無(wú)法判斷與的大小，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，又，所以，即，

所以，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選9.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【解答】

解：，故A錯(cuò)誤；

，故B錯(cuò)誤；

，故C正確；

，故D錯(cuò)誤.

故選10.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查等比、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及等比、等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案．【解答】

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，若，則，

當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，也滿足上式，

所以，則易得是等差數(shù)列，A正確，

對(duì)于B，若是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則，B錯(cuò)誤，

對(duì)于C，是等差數(shù)列，則，C正確，

對(duì)于D，若，則，

當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，也滿足上式，

所以，則是等比數(shù)列，D正確，

故選：11.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查的是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式以及基本性質(zhì)，屬于較難題.

根據(jù)條件結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【解答】

解：選項(xiàng)由題意，該數(shù)陣第一列的n個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列，且，，可得，，所以，解得或舍去，所以選項(xiàng)A是正確的；選項(xiàng)B：又由，所以選項(xiàng)B不正確；選項(xiàng)又由

，所以選項(xiàng)C是正確的；選項(xiàng)又由這個(gè)數(shù)的和為S，則………

，所以選項(xiàng)D是正確的.

故選12.【答案】2

【解析】【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

對(duì)求導(dǎo)得，可得、是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出．【解答】

解：，

，

，是函數(shù)的極值點(diǎn)，

、是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

，

，

故答案為：13.【答案】

【解析】【分析】本題考查了函數(shù)求導(dǎo)及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

先直接求出導(dǎo)函數(shù)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求得極值.【解答】解：

函數(shù)的定義域?yàn)?，且?/p>

令，得，當(dāng)x變化時(shí)，，y的變化情況如下表：x2+0+0+y↗極大值↘↗非極值↗當(dāng)時(shí)，y有極大值，為

故答案為14.【答案】

【解析】【分析】本題考查了數(shù)列的新定義問(wèn)題，等差數(shù)列的單調(diào)性和最值的判斷，屬于中檔題.

首先利用，構(gòu)造從而計(jì)算出

，進(jìn)一步得到，以及，利用等差數(shù)列的單調(diào)性即可得到答案.【解答】

解：由題意的，

，，

兩式作差得，

，，

檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，

符合題意，

所以，

，

則數(shù)列是等差數(shù)列，

若對(duì)任意的恒成立，

則，

解得

故答案為15.【答案】解：，，

，；

，

由得，，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，

；

函數(shù)的值域?yàn)?/p>

【解析】本題考查基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算，即可求導(dǎo)出；

當(dāng)時(shí)，可得出，從而得出在上是增函數(shù)，即可求出的最小值和最大值，進(jìn)而得出的值域．16.【答案】解：為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，

，

解得，，

數(shù)列的通項(xiàng)公式

時(shí)，取最小值為

【解析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的最小值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

求出從而可得時(shí)，取最小值．17.【答案】解：等比數(shù)列的公比，

且，是，的等差中項(xiàng)，

可得，

解得，

由，可得或舍去，

則q的值為2；

由及可得，

解得，故，

設(shè)，

可得時(shí)，，

時(shí)，可得，

上式對(duì)也成立，

則，

即有，

可得…

…，

…，

相減可得…

，

化簡(jiǎn)可得

【解析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)、錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力．

運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公比q；

設(shè)，運(yùn)用數(shù)列的遞推式可得，再由數(shù)列的恒等式求得…，運(yùn)用錯(cuò)位相減法，可得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18.【答案】解：由題意可得的定義域?yàn)?，且因?yàn)椋?/p>

所以①當(dāng)時(shí)，由，得；由，得

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

②當(dāng)時(shí)，由，得；由，得

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，令，得，即，

則與的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

等價(jià)于在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．

設(shè)，則

由，得；由，得

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故

因?yàn)?，，且?/p>

所以要使在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，

即k的取值范圍為

【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于較難題.

求解導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論求單調(diào)區(qū)間；

利用參變分離法，將題目條件轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性并求解最值，從而