2015初中數(shù)學(xué)-幾何證明題

1、(2015福州)如圖①，在銳角△ABC中，。、E分別為AB、BC中點(diǎn)，尸為AC

上一點(diǎn)，且/AFE=/A,OM〃EF交AC于點(diǎn)M.

(1)求證：DM=DA-,

(2)點(diǎn)G在BE上，且NBCG=/C,如圖②，求證：/XDEG^/\ECF\

(3)在圖②中，取CE上一點(diǎn)H,使NCFH=NB,若8G=1,求EH的長(zhǎng).

BEC

BGEC

第25題圖①

第25題圖②

2、(2015?益陽(yáng))已知點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，且AP<PB.AP繞點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(0°<aW90°)得到AP”BP繞點(diǎn)B順時(shí)針也旋轉(zhuǎn)角a得到BP2,連

接PPi、PP2.

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時(shí),求NPiPPz的度數(shù);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)Pz在APi的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：△PBPSAPFA；

(3)如圖3,過(guò)BP的中點(diǎn)E作L_LBP,過(guò)BP2的中點(diǎn)F作kJ_BPz,L與I2交于點(diǎn)Q,

連接PQ,求證：PiP±PQ.

3、

20.(10分)(2015?荷澤)如圖，已知4tBC=90。，。是直線.18上的點(diǎn)，.iD=5C.

(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)H作/并截取WF=8Z),連接。C、DF、CF,判斷ACDF的形狀

并證明；

(2)如圖2,E是直線5c上一點(diǎn)，且CE=AD,直線WE、8相交于點(diǎn)尸，4ED的度數(shù)

是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

25.（12分）（2015?重慶）在AABC中，AB=AC,ZA=60°,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，

NEDF=120。，DE與線段AB相交于點(diǎn)E.DF與線段AC（或AC的延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)F.

（1）如圖1,若DF1AC,垂足為F,AB=4,求BE的長(zhǎng)；

（2）如圖2,將（1）中的NEDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于

點(diǎn)F.求證：BE-CFJAB；

2

（3）如圖3,將（2）中的/EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的

延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,作DN1AC于點(diǎn)N,若DN1AC于點(diǎn)N,若DN=FN,求證：BE-CF=V3

（BE-CF）.

26.(10分)(2015?常德)如圖1,在菱形ABCD中，E是CD上的一點(diǎn)，連接BE交AC

于O,連接DO并延長(zhǎng)交BC于E.

(1)求證：AFOCaAEOC.

(2)將此圖中的AD、BE分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)N,作EM//BC交CN于M,再連接FM即得到

圖2.

求證：①且萼？|②FD=FM.

CBBN

6、(10分)(2015?無(wú)錫)如圖，C為N4OB的邊。4上一點(diǎn)，OC=6,N為邊OB上異

于點(diǎn)O的一動(dòng)點(diǎn),P是線段CN上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PQ//OA交OB于點(diǎn)Q,PM"OB

交OA于點(diǎn)M.

(1)若/AOB=60。，0M=4,OQ=\,求證：CNLOB.

(2)當(dāng)點(diǎn)N在邊08上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形OMPQ始終保持為菱形.

①問(wèn)：的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請(qǐng)說(shuō)明

ONON

理由.

②設(shè)菱形。MP。的面積為S”△NOC的面積為S2,求守的取值范圍.

0,

□

25.（11分）（2015?臨沂）如圖1,在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF,

連接AF,BE.

（1）請(qǐng)判斷：AF與BE的數(shù)量關(guān)系是相等，位置關(guān)系是互相垂直;

（2）如圖2,若將條件“兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF"變?yōu)?兩個(gè)等腰三角形ADE和DCF,

且EA=ED=FD=FC",第（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予說(shuō)明；

（3）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE=DF,ED=FC,第（1）問(wèn)中的結(jié)論都能

成立嗎？請(qǐng)直接寫出你的判斷.

8,（2015丹東）

在正方形ABCD中，對(duì)角線HC與BD交于點(diǎn)。；在RtbPMN中，NUPN=90°.

（1）如圖1,若點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合且Rl/LlD、PNL.iB,分別交AD、AB于點(diǎn)E、F,請(qǐng)

直接寫出尸E與尸F(xiàn)的數(shù)量關(guān)系；

（2）將圖1中的五仙日"繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a（0。＜0：＜45。）.

。如圖2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

。如圖2,在旎轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，連接E尸，若正方形的邊長(zhǎng)為2,請(qǐng)直接

寫出線段EF的長(zhǎng)；

。如圖3,旋轉(zhuǎn)后，若RtbP'N的頂點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)（不與點(diǎn)。、B重合），當(dāng)

尸時(shí)，猜想此時(shí)尸E與4?的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)5。=狂5尸時(shí)，請(qǐng)直接

寫出尸E與尸F(xiàn)的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

23.（12分）（2015?濰坊）如圖1,點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OD

到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG,連

接AG,DE.

（1）求證：DEJAGS

（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（CT<a<360。）得到正

方形OE'F'G',如圖2.

邂旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)④AG'是直角時(shí)，求a的度數(shù)；

密正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求AF'長(zhǎng)的最大值和此時(shí)a的度數(shù)，直接寫

出結(jié)果不必說(shuō)明理由.

1、（2015福州）

解：（1）證明：'JDM//EF,

：.NAMD=ZAFE.

'：NAFE=NA,；.NAMD=ZA.

：.DM=DA.

（2）證明：VZDGB=1800-ZB-ZBDG,

ZA=180°-ZB-ZC,

NBDG=NC,

；.NDGB=NA.

'：NA=NAFE,

，ZDGB=ZAFE.

'：ZDGE^\SQ°-ZDGB,

ZEFC=\80°-ZAFE,

：.4DGE=ZEFC.

又：DE是中位線，：.DE//AC.：.4DEB=/C.

:./\DEGs/\ECF.

（3）提示：如答圖，

由tXBDGsABED,得BD2=BGBE,

由△EFHs/\ECF,得EF2=EH-EC.

由8￡>=O4=r>M=ER且BE=EC,

得EH=BG=\.

2、(12分)(2015?益陽(yáng))已知點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，且AP<PB.AP

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(0°VaW90°)得到AP”BP繞點(diǎn)B順時(shí)針也旋轉(zhuǎn)角a得

到BPz,連接PP”

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時(shí),求NPFPz的度數(shù);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P?在APi的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：△PPPs/kBPA；

(3)如圖3,過(guò)BP的中點(diǎn)E作1」BP,過(guò)BP?的中點(diǎn)F作k_LBP2,L與L交于點(diǎn)Q,

連接PQ,求證：P,P±PQ.

考點(diǎn)：幾何變換綜合題.

分析：(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形得出NAPP尸/BPPL45。，進(jìn)而得出答

案；

(2)根據(jù)題意得出APAPi和△PBP?均為頂角為a的等腰三角形，進(jìn)而得出

ZPiPP2=ZPAP2=a,求出△PBPs^PzPA；

(3)首先連結(jié)QB,得出RtAQBE^RtAQBF,利用NPFQ=180°-ZAPPi-ZQPB

求出即可.

解答:⑴解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP=AP,.BP=BP2.

,/a=90°,

.?.△PAPi和△PBPz均為等腰直角三角形，

...NAPP尸NBPPz=45°,

...NPFPz=180°-NAPPi-NBPPz=90°；

(2)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知APAPi和△PBP?均為頂角為a的等腰三角形，

ZAPP1=ZBPP2=90°--,

2

"o

..ZPlPP2=180-(ZAPP^ZBPh)=180°-2(90°-工)=a,

2

在△PPF/naP2PA中，ZPiPP2=ZPAP2=a,

又；NPP2P產(chǎn)NAPzP,

...△PzPiPs/XPzPA.

(3)證明：如圖,連接QB.

h分別為PB,PaB的中垂線,

.?.EB=1BP,FB=1BP.

222

又

BP=BP2,

.\EB=FB.

在RtZXQBE和RtZXQBF中，

[EB=FB,

lQB=QB，

.".RtAQBE^RtAQBF,

ZQBE=ZQBF=AzPBP2=—,

22

由中垂線性質(zhì)得：QP=QB,

，/QPB=NQBE=工，

2

由（2）知/APPi=90°-―,

2

,NPFQ=180°-ZAPP）-ZQPB=180°（90°-工）--21=90°,

22

即PiP±PQ.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了幾何變換綜合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定與性

質(zhì)等知識(shí)，得出RtaQBEgRt^QBF是解題關(guān)鍵.

28.(10分)(2015?無(wú)錫)如圖，C為NAOB的邊。4上一點(diǎn)，OC=6,N為邊。8上異

于點(diǎn)。的一動(dòng)點(diǎn),P是線段CN上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PQ〃OA交OB于點(diǎn)Q、PM〃OB

交OA于點(diǎn)M.

(1)若/4。8=60。，OM=4,02=1,求證：CNJLOB.

(2)當(dāng)點(diǎn)N在邊OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形。例PQ始終保持為菱形.

①問(wèn)：的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請(qǐng)說(shuō)明

ONON

理由.

S.

②設(shè)菱形0Mp。的面積為Si，的面積為S2，求的取值范圍.

解答：解：(1)過(guò)戶作PE_LOA于E,

'：PQ//OA,PM//OB,

四邊形OMPQ為平行四邊形，

，PM=OQ=I,ZPME=NA08=60°,

PE=PM”i〃60o=叵ME=1,

22

：.CE=OC-OM-ME=1,

2

.*.3""=里近，

CE3

ZPCE=30°,

：.ZCPM=90°,

又,：PM〃OB,

：.ZCNO=ZCPM=90°,