版小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)經(jīng)典30講

五年級(jí)奧數(shù)經(jīng)典30講第1講數(shù)字迷〔一〕第2講數(shù)字謎(二)第3講定義新運(yùn)算(一)第4講定義新運(yùn)算(二)第5講數(shù)的整除性(一)第6講數(shù)的整除性(二)第7講奇偶性〔一〕第8講奇偶性〔二〕第9講奇偶性〔三〕第10講質(zhì)數(shù)與合數(shù)第11講分解質(zhì)因數(shù)第12講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)〔一〕第13講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)〔二〕第14講余數(shù)問題第15講孫子問題與逐步約束法第16講巧算第17講位置原那么第18講最大最小第19講圖形的分割與拼接第20講多邊形的面積第21講用等量代換求面積第22講用割補(bǔ)法求面積第23講列方程解應(yīng)用題第24講行程問題〔一〕第25講行程問題〔二〕第26講行程問題〔三〕第27講邏輯問題〔一〕第28講邏輯問題〔二〕第29講抽屜原理(一)第30講抽屜原理(二)

第1講數(shù)字謎〔一〕數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級(jí)和四年級(jí)都講過，同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜測(cè)、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉與的知識(shí)多，思考性強(qiáng)，所以很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復(fù)習(xí)穩(wěn)固學(xué)過的知識(shí)外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法與小數(shù)的除法豎式問題。例1把+，-，×，÷四個(gè)運(yùn)算符號(hào)，分別填入下面等式的○內(nèi)，使等式成立〔每個(gè)運(yùn)算符號(hào)只準(zhǔn)使用一次〕：〔5○13○7〕○〔17○9〕=12。分析與解：因?yàn)檫\(yùn)算結(jié)果是整數(shù)，在四那么運(yùn)算中只有除法運(yùn)算可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，所以應(yīng)首先確定“÷〞的位置。當(dāng)“÷〞在第一個(gè)○內(nèi)時(shí)，因?yàn)槌龜?shù)是13，要想得到整數(shù)，只有第二個(gè)括號(hào)內(nèi)是13的倍數(shù)，此時(shí)只有下面一種填法，不合題意?！?÷13-7〕×〔17+9〕。當(dāng)“÷〞在第二或第四個(gè)○內(nèi)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果不可能是整數(shù)。當(dāng)“÷〞在第三個(gè)○內(nèi)時(shí)，可得下面的填法：〔5+13×7〕÷〔17-9〕=12。例2將1～9這九個(gè)數(shù)字分別填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。解：將5568質(zhì)因數(shù)分解為5568=26×3×29。由此容易知道，將5568分解為兩個(gè)兩位數(shù)的乘積有兩種：58×96和64×87，分解為一個(gè)兩位數(shù)與一個(gè)三位數(shù)的乘積有六種：12×464，16×348，24×232，29×192，32×174，48×116。顯然，符合題意的只有下面一種填法：174×32=58×96=5568。例3在443后面添上一個(gè)三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。分析與解：先用443000除以573，通過所得的余數(shù)，可以求出應(yīng)添的三位數(shù)。由443000÷573=773……71推知，443000+〔573-71〕=443502一定能被573整除，所以應(yīng)添502。例4六位數(shù)33□□44是89的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。分析與解：因?yàn)槲粗臄?shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先從右邊做除法。由被除數(shù)的個(gè)位是4，推知商的個(gè)位是6；由左下式知，十位相減后的差是1，所以商的十位是9。這時(shí)，雖然89×96=8544，但不能認(rèn)為六位數(shù)中間的兩個(gè)□內(nèi)是85，因?yàn)檫€沒有考慮前面兩位數(shù)。再?gòu)淖筮呑龀?。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。由左、右兩邊做除法的商，得到商是3796或3896。由3796×89=337844，3896×89=346744知，商是3796，所求六位數(shù)是337844。例5在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，一樣的字母代表一樣的數(shù)字，請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使加法豎式成立。分析與解：先看豎式的個(gè)位。由Y+N+N=Y或Y+10，推知N要么是0，要么是5。如果N=5，那么要向上進(jìn)位，由豎式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等號(hào)兩邊的奇偶性不同，所以N≠5，N=0。此時(shí)，由豎式的十位加法T+E+E=T或T+10，E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。豎式千位、萬位的字母與加數(shù)的千位、萬位上的字母不同，說明百位、千位加法都要向上進(jìn)位。因?yàn)镹=0，所以I≠0，推知I=1，O=9，說明百位加法向千位進(jìn)2。再看豎式的百位加法。因?yàn)槭患臃ㄏ虬傥贿M(jìn)1，百位加法向千位進(jìn)2，且X≠0或1，所以R+T+T+1≥22，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。假設(shè)T=7，那么R=8，X=3，這時(shí)只剩下數(shù)字2，4，6沒有用過，而S只比F大1，S，F(xiàn)不可能是2，4，6中的數(shù)，矛盾。假設(shè)T=8，那么R只能取6或7。R=6時(shí)，X=3，這時(shí)只剩下2，4，7，同上理由，出現(xiàn)矛盾；R=7時(shí)，X=4，剩下數(shù)字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。所求豎式見上頁右式。解這類題目，往往要找準(zhǔn)突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個(gè)數(shù)。這個(gè)題目是美國(guó)數(shù)學(xué)月刊上登載的趣題，豎式中從上到下的四個(gè)詞分別是40，10，10，60，而40+10+10正好是60，真是巧極了！例6在左下方的減法算式中，每個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請(qǐng)你填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使豎式成立。分析與解：按減法豎式分析，看來比擬難。同學(xué)們都知道，加、減法互為逆運(yùn)算，是否可以把減法變成加法來研究呢〔見右上式〕？不妨試試看。因?yàn)榘傥患臃ㄖ荒芟蚯贿M(jìn)1，所以E=9，A=1，B=0。如果個(gè)位加法不向上進(jìn)位，那么由十位加法1+F=10，得F=9，與E=9矛盾，所以個(gè)位加法向上進(jìn)1，由1+F+1=10，得到F=8，這時(shí)C=7。余下的數(shù)字有2，3，4，5，6，由個(gè)位加法知，G比D大2，所以G，D分別可取4，2或5，3或6，4。所求豎式是解這道題啟發(fā)我們，如果做題時(shí)遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)概念、法那么、定律把原題加以變換，將不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}。另外，做題時(shí)要考慮解的情況，是否有多個(gè)解。

練習(xí)11.在一個(gè)四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是621819，求原來的四位數(shù)。2.在以下豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，一樣的字母代表一樣的數(shù)字。請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立：3.在下面的算式中填上括號(hào)，使得計(jì)算結(jié)果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。4.在下面的算式中填上假設(shè)干個(gè)〔〕，使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。5.將1～9分別填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634。6.六位數(shù)391□□□是789的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。7.六位數(shù)7□□888是83的倍數(shù)，求這個(gè)六位數(shù)。第2講數(shù)字謎〔二〕

這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法與小數(shù)的除法豎式問題。例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，一樣的字母代表相分析與解：這道題可以從個(gè)位開場(chǎng)，比擬等式兩邊的數(shù)，逐個(gè)確定各個(gè)〔100000+x〕×3=10x+1，300000+3x=10x+1，7x=299999，x=42857。這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡(jiǎn)潔。我們?cè)倏磶讉€(gè)例子。例2在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。求豎式。例3左下方的除法豎式中只有一個(gè)8，請(qǐng)?jiān)凇鮾?nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使除法豎式成立。解：豎式中除數(shù)與8的積是三位數(shù)，而與商的百位和個(gè)位的積都是四位數(shù)，所以x=112，被除數(shù)為989×112=110768。右上式為所求豎式。代數(shù)解法雖然簡(jiǎn)潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。例4在□內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使下頁左上方的小數(shù)除法豎式成立。分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式〔見下頁右上方豎式〕?？梢钥闯觯龜?shù)與商的后三位數(shù)的乘積是1000=23×53的倍數(shù)，即除數(shù)和商的后三位數(shù)一個(gè)是23=8的倍數(shù)，另一個(gè)是53=125的奇數(shù)倍，因?yàn)槌龜?shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是8的倍數(shù)。又由豎式特點(diǎn)知a=9，從而除數(shù)應(yīng)是96的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有96，48，32，24和16。因?yàn)?，c=5，5與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是16，進(jìn)而推知b=6。因?yàn)樯痰暮笕粩?shù)是125的奇數(shù)倍，只能是125，375，625和875之一，經(jīng)試驗(yàn)只能取375。至此，已求出除數(shù)為16，商為6.375，故被除數(shù)為6.375×16=102。右式即為所求豎式。求解此類小數(shù)除法豎式題，應(yīng)先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾出現(xiàn)n個(gè)0，那么在除數(shù)和商中，一個(gè)含有因子2n〔不含因子5〕，另一個(gè)含有因子5n〔不含因子2〕，以此為突破口即可求解。例5一個(gè)五位數(shù)被一個(gè)一位數(shù)除得到下頁的豎式〔1〕，這個(gè)五位數(shù)被另一個(gè)一位數(shù)除得到下頁的豎式〔2〕，求這個(gè)五位數(shù)。分析與解：由豎式〔1〕可以看出被除數(shù)為10**0〔見豎式〔1〕'〕，豎式〔1〕的除數(shù)為3或9。在豎式〔2〕中，被除數(shù)的前兩位數(shù)10不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是2或5，而被除數(shù)的后兩位數(shù)*0能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是4，6或8。當(dāng)豎式〔1〕的除數(shù)為3時(shí)，由豎式〔1〕'知，a=1或2，所以被除數(shù)為100*0或101*0，再由豎式〔2〕中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，可得豎式〔2〕的除數(shù)為4，被除數(shù)為10020；當(dāng)豎式〔1〕的除數(shù)為9時(shí)，由能被9整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十位數(shù)字之和應(yīng)為8。因?yàn)樨Q式〔2〕的除數(shù)只能是4，6，8，由豎式〔2〕知被除數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有10080，10260，10440和10620四種可能，最后由豎式〔2〕中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，且十位數(shù)不能被除數(shù)整除，可得豎式〔2〕的除數(shù)為8，被除數(shù)為10440。所以這個(gè)五位數(shù)是10020或10440。

練習(xí)21.下面各算式中，一樣的字母代表一樣的數(shù)字，不同的字母代表不同的2.用代數(shù)方法求解以下豎式：3.在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使以下小數(shù)除法豎式成立：第3講定義新運(yùn)算〔一〕我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運(yùn)算，這些運(yùn)算，即四那么運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最根本的運(yùn)算，它們的意義、符號(hào)與運(yùn)算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會(huì)有什么別的運(yùn)算嗎？這兩講我們就來研究這個(gè)問題。這些新的運(yùn)算與其符號(hào)，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義與運(yùn)算符號(hào)，但學(xué)習(xí)討論這些新運(yùn)算，對(duì)于開拓思路與今后的學(xué)習(xí)都大有益處。例1對(duì)于任意數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*〞：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運(yùn)算要求，直接代入后用四那么運(yùn)算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。根據(jù)以上的規(guī)定，求10△6的值。3，x>=2，求x的值。分析與解：按照定義的運(yùn)算，<1，2，3，x>=2，x=6。由上面三例看出，定義新運(yùn)算通常是用某些特殊符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。新運(yùn)算使用的符號(hào)應(yīng)防止使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號(hào)，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運(yùn)算的運(yùn)算意義局部，應(yīng)使用通常的四那么運(yùn)算符號(hào)。如例1中，a*b=a×b-a-b，新運(yùn)算符號(hào)使用“*〞，而等號(hào)右邊新運(yùn)算的意義那么用四那么運(yùn)算來表示。分析與解：按新運(yùn)算的定義，符號(hào)“⊙〞表示求兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。四那么運(yùn)算中的意義一樣，即先進(jìn)展小括號(hào)中的運(yùn)算，再進(jìn)展小括號(hào)外面的運(yùn)算。按通常的規(guī)那么從左至右進(jìn)展運(yùn)算。分析與解：從的三式來看，運(yùn)算“〞表示幾個(gè)數(shù)相加，每個(gè)加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號(hào)前面的那個(gè)數(shù)，而符號(hào)后面的數(shù)是幾，就表示幾個(gè)數(shù)之和，其中第1個(gè)數(shù)是1位數(shù)，第2個(gè)數(shù)是2位數(shù)，第3個(gè)數(shù)是3位數(shù)……按此規(guī)定，得35=3+33+333+3333+33333=37035。從例5知，有時(shí)新運(yùn)算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進(jìn)展運(yùn)算。例6對(duì)于任意自然數(shù)，定義：n！=1×2×…×n。例如4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的個(gè)位數(shù)字是幾？分析與解：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24，5！=1×2×3×4×5=120，6！=1×2×3×4×5×6=720，……由此可推知，從5！開場(chǎng)，以后6！，7！，8！，…，100！的末位數(shù)字都是0。所以，要求1！+2！+3！+…+100！的個(gè)位數(shù)字，只要把1！至4！的個(gè)位數(shù)字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的個(gè)位數(shù)字是3。例7如果m，n表示兩個(gè)數(shù)，那么規(guī)定：m¤n=4n-〔m+n〕÷2。求3¤〔4¤6〕¤12的值。解：3¤〔4¤6〕¤12=3¤[4×6-〔4+6〕÷2]¤12=3¤19¤12=[4×19-〔3+19〕÷2]¤12=65¤12=4×12-〔65+12〕÷2=9.5。練習(xí)31.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。2.ab表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求134的值。3.ab表示〔a-b〕÷〔a+b〕，試計(jì)算：〔53〕〔106〕。4.規(guī)定a◎b表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求8◎2的值。5.假定m

n表示m的3倍減去n的2倍，即m

n=3m-2n?！?〕x

〔4

1〕=7，求x的值。7.對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)P，Q，規(guī)定P☆Q=〔P×Q〕÷4。例如：2☆8=〔2×8〕÷4。x☆〔8☆5〕=10，求x的值。8.定義：a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。計(jì)算：〔4△3〕△〔2b〕。9.：23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，……求〔44〕÷〔33〕的值。

第4講定義新運(yùn)算〔二〕例1a※b=〔a+b〕-〔a-b〕，求9※2的值。分析與解：這是一道很簡(jiǎn)單的題，把a(bǔ)=9，b=2代入新運(yùn)算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四那么運(yùn)算的法那么，我們可以先把新運(yùn)算“※〞化簡(jiǎn)，再求結(jié)果。a※b=〔a+b〕-〔a-b〕=a+b-a+b=2b。所以，9※2=2×2=4。由例1可知，如果定義的新運(yùn)算是用四那么混合運(yùn)算表示，那么在符合四那么混合運(yùn)算的性質(zhì)、法那么的前提下，不妨先化簡(jiǎn)表示式。這樣，可以既減少運(yùn)算量，又提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度。例2定義運(yùn)算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個(gè)數(shù)，k為常數(shù)。比方：2⊙7=3×2+5×2×7+7k?！?〕5⊙2=73。問：8⊙5與5⊙8的值相等嗎？〔2〕當(dāng)k取什么值時(shí)，對(duì)于任何不同的數(shù)a，b，都有a⊙b=b⊙a(bǔ)，即新運(yùn)算“⊙〞符合交換律？分析與解：〔1〕首先應(yīng)當(dāng)確定新運(yùn)算中的常數(shù)k。因?yàn)?⊙2=3×5+5×5×2+k×2=65+2k，所以由5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=〔73-65〕÷2=4。定義的新運(yùn)算是：a⊙b=3a+5ab+4b。8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。因?yàn)?44≠247，所以8⊙5≠5⊙8。〔2〕要使a⊙b=b⊙a(bǔ)，由新運(yùn)算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。對(duì)于兩個(gè)任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。當(dāng)新運(yùn)算是a⊙b=3a+5ab+3b時(shí)，具有交換律，即a⊙b=b⊙a(bǔ)。例3對(duì)兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a☆b，即a☆b=[a，b]-〔a，b〕。比方，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么10☆14=70-2=68?！?〕求12☆21的值；〔2〕6☆x=27，求x的值。分析與解：〔1〕12☆21=[12，21]-〔12，21〕=84-3=81；〔2〕因?yàn)槎x的新運(yùn)算“☆〞沒有四那么運(yùn)算表達(dá)式，所以不能直接把數(shù)代入表達(dá)式求x，只能用推理的方法。因?yàn)?☆x=[6，x]-〔6，x〕=27，而6與x的最大公約數(shù)〔6，x〕只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)[6，x]只能是28，29，30，33。這四個(gè)數(shù)中只有30是6的倍數(shù)，所以6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因?yàn)閍×b=[a，b]×〔a，b〕，所以6×x=30×3，由此求得x=15。例4a表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，b表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，c表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，d表示不轉(zhuǎn)。定義運(yùn)算“◎〞表示“接著做〞。求：a◎b；b◎c；c◎a。分析與解：a◎b表示先順時(shí)針轉(zhuǎn)90°，再順時(shí)針轉(zhuǎn)180°，等于順時(shí)針轉(zhuǎn)270°，也等于逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°，所以a◎b=c。b◎c表示先順時(shí)針轉(zhuǎn)180°，再逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°，等于順時(shí)針轉(zhuǎn)90°，所以b◎c=a。c◎a表示先逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°，再順時(shí)針轉(zhuǎn)90°，等于沒轉(zhuǎn)動(dòng)，所以c◎a=d。對(duì)于a，b，c，d四種運(yùn)動(dòng)，可以做一個(gè)關(guān)于“◎〞的運(yùn)算表〔見下表〕。比方c◎b，由c所在的行和b所在的列，穿插處a就是c◎b的結(jié)果。因?yàn)檫\(yùn)算◎符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到一樣的結(jié)果。例5對(duì)任意的數(shù)a，b，定義：f〔a〕=2a+1，g〔b〕=b×b?！?〕求f〔5〕-g〔3〕的值；〔2〕求f〔g〔2〕〕+g〔f〔2〕〕的值；〔3〕f〔x+1〕=21，求x的值。解：〔1〕f〔5〕-g〔3〕=〔2×5+1〕-〔3×3〕=2；〔2〕f〔g〔2〕〕+g〔f〔2〕〕=f〔2×2〕+g〔2×2+1〕=f〔4〕+g〔5〕=〔2×4+1〕+〔5×5〕=34；〔3〕f〔x+1〕=2×〔x+1〕+1=2x+3，由f〔x+1〕=21，知2x+3=21，解得x=9。練習(xí)42.定義兩種運(yùn)算“※〞和“△〞如下：a※b表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，a△b表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。比方：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。計(jì)算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。4.設(shè)m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運(yùn)算m⊙n=〔A×m-n〕÷4，并且2⊙3=0.75。試確定常數(shù)A，并計(jì)算：〔5⊙7〕×〔2⊙2〕÷〔3⊙2〕。5.用a，b，c表示一個(gè)等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：a表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°，b表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，c表示不旋轉(zhuǎn)。運(yùn)算“∨〞表示“接著做〞。試以a，b，c為運(yùn)算對(duì)象做運(yùn)算表。6.對(duì)任意兩個(gè)不同的自然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為ab。比方73=1，529=4，420=0?！?〕計(jì)算：19982000，〔519〕19，5〔195〕；〔2〕11x=4，x小于20，求x的值。7.對(duì)于任意的自然數(shù)a，b，定義：f〔a〕=a×a-1，g〔b〕=b÷2+1?！?〕求f〔g〔6〕〕-g〔f〔3〕〕的值；〔2〕f〔g〔x〕〕=8，求x的值。第5講數(shù)的整除性〔一〕三、四年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5和4，8，9，6以與11整除的數(shù)的特征，也學(xué)習(xí)了一些整除的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復(fù)習(xí)一下數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問題。數(shù)的整除性質(zhì)主要有：〔1〕如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除?！?〕如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù)整除?！?〕如果一個(gè)數(shù)能分別被幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)能被這幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。〔4〕如果一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。〔5〕幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個(gè)數(shù)整除。靈活運(yùn)用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問題。例1在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)□7358□□能分別被9，25和8整除。分析與解：分別由能被9，25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個(gè)七位數(shù)。因?yàn)?，25，8兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)〔3〕知，七位數(shù)能被9×25×8=1800整除，所以七位數(shù)的個(gè)位，十位都是0；再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應(yīng)填4。這個(gè)七位數(shù)是4735800。例2由2000個(gè)1組成的數(shù)111…11能否被41和271這兩個(gè)質(zhì)數(shù)整除？分析與解：因?yàn)?1×271=11111，所以由每5個(gè)1組成的數(shù)11111能被41和271整除。按“11111〞把2000個(gè)1每五位分成一節(jié)，2000÷5=400，就有400節(jié)，因?yàn)?000個(gè)1組成的數(shù)11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)〔1〕可知，由2000個(gè)1組成的數(shù)111…11能被41和271整除。例3現(xiàn)有四個(gè)數(shù)：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被12整除？分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12分成兩數(shù)之積：12=12×1=6×2=3×4。要從的四個(gè)數(shù)中找出兩個(gè)，使其積能被12整除，有以下三種情況：〔1〕找出一個(gè)數(shù)能被12整除，這個(gè)數(shù)與其它三個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)的乘積都能被12整除；〔2〕找出一個(gè)數(shù)能被6整除，另一個(gè)數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；〔3〕找出一個(gè)數(shù)能被4整除，另一個(gè)數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個(gè)數(shù)都不能被12整除，所以第〔1〕種情況不存在。對(duì)于第〔2〕種情況，四個(gè)數(shù)中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶數(shù)，所以可以選76554和76550，76554和76552。對(duì)于第〔3〕種情況，四個(gè)數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551，76552和76554。綜合以上分析，去掉一樣的，可知兩個(gè)數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554，76552和76554，76551和76552。例4在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設(shè)的條件分析，對(duì)所求五位數(shù)有兩個(gè)要求：①各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43；②能被11整除。因?yàn)槟鼙?1整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應(yīng)選擇①為突破口。有兩種情況：〔1〕五位數(shù)由一個(gè)7和四個(gè)9組成；〔2〕五位數(shù)由兩個(gè)8和三個(gè)9組成。上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27，偶數(shù)位數(shù)字之和是16，那么差是11，就能被11整除。滿足這些要求的五位數(shù)是：97999，99979，98989。例5能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被3整除？分析與解：10個(gè)數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗(yàn)顯然行不通。我們采用反證法。假設(shè)題目的要求能實(shí)現(xiàn)。那么由題意，從前到后每?jī)蓚€(gè)數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之和都能被3整除，推知1～10的和也應(yīng)能被3整除。實(shí)際上，1～10的和等于55，不能被3整除。這個(gè)矛盾說明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實(shí)現(xiàn)。

練習(xí)51.4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？2.如果兩個(gè)數(shù)的和是64，這兩個(gè)數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個(gè)數(shù)的差是多少？3.173□是個(gè)四位數(shù)。數(shù)學(xué)教師說：“我在這個(gè)□中先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除。〞問：數(shù)學(xué)教師先后填入的3個(gè)數(shù)字之和是多少？班有多少名學(xué)生？6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被3整除？

第6講數(shù)的整除性〔二〕我們先看一個(gè)特殊的數(shù)——1001。因?yàn)?001=7×11×13，所以但凡1001的整數(shù)倍的數(shù)都能被7，11和13整除。能被7，11和13整除的數(shù)的特征：如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差〔大數(shù)減小數(shù)〕能被7或11或13整除，那么數(shù)A能被7或11或13整除。否那么，數(shù)A就不能被7或11或13整除。例2判斷306371能否被7整除？能否被13整除？解：因?yàn)?71-306=65，65是13的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以306371能被13整除，不能被7整除。例310□8971能被13整除，求□中的數(shù)。解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。上式的個(gè)位數(shù)是7，假設(shè)是13的倍數(shù)，那么必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的數(shù)是8。2位數(shù)進(jìn)展改寫。根據(jù)十進(jìn)制數(shù)的意義，有因?yàn)?00010001各數(shù)位上數(shù)字之和是3，能夠被3整除，所以這個(gè)12位數(shù)能被3整除。根據(jù)能被7〔或13〕整除的數(shù)的特征，100010001與〔100010-1=〕100009要么都能被7〔或13〕整除，要么都不能被7〔或13〕整除。同理，100009與〔100-9=〕91要么都能被7〔或13〕整除，要么都不能被7〔或13〕整除。因?yàn)?1=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知這個(gè)12位數(shù)能被7和13整除。分析與解：根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，555555與999999都能被7因?yàn)樯鲜街械忍?hào)左邊的數(shù)與等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)都能被7整除，所以等號(hào)右邊第二個(gè)數(shù)也能被7整除，推知55□99能被7整除。根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，□99-55=□44也應(yīng)能被7整除。由□44能被7整除，易知□內(nèi)應(yīng)是6。下面再告訴大家兩個(gè)判斷整除性的小竅門。判斷一個(gè)數(shù)能否被27或37整除的方法：對(duì)于任何一個(gè)自然數(shù)，從個(gè)位開場(chǎng)，每三位為一節(jié)將其分成假設(shè)干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所得的和能被27〔或37〕整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被27〔或37〕整除；否那么，這個(gè)數(shù)就不能被27〔或37〕整除。例6判斷以下各數(shù)能否被27或37整除：〔1〕2673135；〔2〕8990615496。解：〔1〕2673135=2，673，135，2+673+135=810。因?yàn)?10能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。〔2〕8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。2，109大于三位數(shù)，可以再對(duì)2，109的各節(jié)求和，2+109=111。因?yàn)?11能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，進(jìn)一步推知8990615496能被37整除，不能被27整除。由上例看出，假設(shè)各節(jié)的數(shù)之和大于三位數(shù)，那么可以再連續(xù)對(duì)和的各節(jié)求和。判斷一個(gè)數(shù)能否被個(gè)位是9的數(shù)整除的方法：為了表達(dá)方便，將個(gè)位是9的數(shù)記為k9〔=10k+9〕，其中k為自然數(shù)。對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)，去掉這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)后，再加上個(gè)位數(shù)的〔k+1〕倍。連續(xù)進(jìn)展這一變換。如果最終所得的結(jié)果等于k9，那么這個(gè)數(shù)能被k9整除；否那么，這個(gè)數(shù)就不能被k9整除。例7〔1〕判斷18937能否被29整除；〔2〕判斷296416與37289能否被59整除。解：〔1〕上述變換可以表示為：由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除。一般地，每進(jìn)展一次變換，被判斷的數(shù)的位數(shù)就將減少一位。當(dāng)被判斷的數(shù)變換到小于除數(shù)時(shí)，即可停頓變換，得出不能整除的結(jié)論。

練習(xí)61.以下各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205，167128，250894，396500，675696，796842，805532，75778885。2.六位數(shù)175□62是13的倍數(shù)?！踔械臄?shù)字是幾？7.九位數(shù)8765□4321能被21整除，求中間□中的數(shù)。8.在以下各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026，1884924，2175683，2560437，11159126，131313555，266117778。9.在以下各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119，55537，62899，71258，186637，872231，5381717。第7講奇偶性〔一〕整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：〔1〕能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0，2，4，6，8，10，12，14，16，…〔2〕不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，…整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個(gè)整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因?yàn)榕紨?shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個(gè)屬性叫做這個(gè)數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：〔1〕兩個(gè)奇偶性一樣的數(shù)的和〔或差〕一定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)的和〔或差〕一定是奇數(shù)。反過來，兩個(gè)數(shù)的和〔或差〕是偶數(shù)，這兩個(gè)數(shù)奇偶性一樣；兩個(gè)數(shù)的和〔或差〕是奇數(shù)，這兩個(gè)數(shù)肯定是一奇一偶?！?〕奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和〔或差〕是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和〔或差〕是偶數(shù)。任意多個(gè)偶數(shù)的和〔或差〕是偶數(shù)?！?〕兩個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)?！?〕假設(shè)干個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果假設(shè)干個(gè)數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；如果假設(shè)干個(gè)數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)?！?〕在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除?！?〕偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。因?yàn)椤?n〕2=4n2=4×n2，所以〔2n〕2能被4整除；因?yàn)椤?n+1〕2=4n2+4n+1=4×〔n2+n〕+1，所以〔2n+1〕2除以4余1?！?〕相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)?！?〕如果一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)〔包括1和這個(gè)數(shù)本身〕，那么這個(gè)數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個(gè)整數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定不是平方數(shù)。整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題外表看來似乎與奇偶性一點(diǎn)關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想方法編上號(hào)碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+…+1997+1998。分析與解：此題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來判斷這個(gè)和的奇偶性。但如果能不計(jì)算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡(jiǎn)潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)〔2〕，和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)。1～1998中共有999個(gè)奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，此題要求的和是奇數(shù)。例2能否在下式的□中填上“+〞或“-〞，使得等式成立？1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。分析與解：等號(hào)左端共有9個(gè)數(shù)參加加、減運(yùn)算，其中有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)。5個(gè)奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因?yàn)椤捌鏀?shù)+偶數(shù)=奇數(shù)〞，所以題目的要求做不到。例3任意給出一個(gè)五位數(shù)，將組成這個(gè)五位數(shù)的5個(gè)數(shù)碼的順序任意改變，得到一個(gè)新的五位數(shù)。那么，這兩個(gè)五位數(shù)的和能不能等于99999？分析與解：假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于99999，那么有下式：其中組成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全一樣。因?yàn)閮蓚€(gè)個(gè)位數(shù)相加，和不會(huì)大于9+9=18，豎式中和的個(gè)位數(shù)是9，所以個(gè)位相加沒有向上進(jìn)位，即兩個(gè)個(gè)位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個(gè)加數(shù)的10個(gè)數(shù)碼之和等于9+9+9+9+9=45，是奇數(shù)。另一方面，因?yàn)榻M成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全一樣，所以組成兩個(gè)加數(shù)的10個(gè)數(shù)碼之和，等于組成第一個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。奇數(shù)≠偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于99999，所以假設(shè)不成立，即這兩個(gè)數(shù)的和不能等于99999。例4在一次校友聚會(huì)上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請(qǐng)問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請(qǐng)說明理由。分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對(duì)于甲是握手1次，對(duì)于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不管人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。把聚會(huì)的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因?yàn)樗腥宋帐值目偞螖?shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。握奇數(shù)次手的那局部人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因?yàn)椤捌鏀?shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)〞，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結(jié)論矛盾，所以B類人即握過奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。例5五〔2〕班局部學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每張?jiān)嚲碛?0道試題。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯(cuò)一道扣1分。試問：這局部學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析與解：此題要求出這局部學(xué)生的總成績(jī)是不可能的，所以應(yīng)從每個(gè)人得分的情況入手分析。因?yàn)槊康李}無論答對(duì)、不答或答錯(cuò)，得分或扣分都是奇數(shù)，共有50道題，50個(gè)奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)，所以每個(gè)人的得分都是偶數(shù)。因?yàn)槿我鈧€(gè)偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這局部學(xué)生的總分必是偶數(shù)。練習(xí)71.能否從四個(gè)3、三個(gè)5、兩個(gè)7中選出5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和等于22？2.任意交換一個(gè)三位數(shù)的數(shù)字，得一個(gè)新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學(xué)的計(jì)算有沒有錯(cuò)？3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個(gè)整數(shù)〔允許有一樣數(shù)〕，甲將這七個(gè)整數(shù)以任意的順序填在以下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個(gè)整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計(jì)算出所有同一列的兩個(gè)數(shù)的差〔大數(shù)減小數(shù)〕，再將這七個(gè)差相乘。游戲規(guī)那么是：假設(shè)積是偶數(shù)，那么甲勝；假設(shè)積是奇數(shù)，那么乙勝。請(qǐng)說明誰將獲勝。4.某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每?jī)扇碎g的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.A市舉辦五年級(jí)小學(xué)生“春暉杯〞數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對(duì)一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯(cuò)一道扣1分。如果有333名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.把以下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。7.紅星影院有1999個(gè)座位，上、下午各放映一場(chǎng)電影。有兩所學(xué)校各有1999名學(xué)生包場(chǎng)看這兩場(chǎng)電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個(gè)座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？第8講奇偶性〔二〕例1用0～9這十個(gè)數(shù)碼組成五個(gè)兩位數(shù)，每個(gè)數(shù)字只用一次，要求它們的和是奇數(shù)，那么這五個(gè)兩位數(shù)的和最大是多少？分析與解：有時(shí)題目的要求比擬多，可先考慮滿足局部要求，然后再調(diào)整，使最后結(jié)果到達(dá)全部要求。這道題的幾個(gè)要求中，滿足“和最大〞是最容易的。暫時(shí)不考慮這五個(gè)數(shù)的和是奇數(shù)的要求。要使組成的五個(gè)兩位數(shù)的和最大，應(yīng)該把十個(gè)數(shù)碼中最大的五個(gè)分別放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而個(gè)位上放0，1，2，3，4。根據(jù)奇數(shù)的定義，這樣組成的五個(gè)兩位數(shù)中，有兩個(gè)是奇數(shù)，即個(gè)位是1和3的兩個(gè)兩位數(shù)。要滿足這五個(gè)兩位數(shù)的和是奇數(shù)，根據(jù)奇、偶數(shù)相加減的運(yùn)算規(guī)律，這五個(gè)數(shù)中應(yīng)有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)?，F(xiàn)有兩個(gè)奇數(shù)，即個(gè)位數(shù)是1，3的兩位數(shù)。所以五個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)，不合要求，必須調(diào)整。調(diào)整的方法是交換十位與個(gè)位上的數(shù)字。要使五個(gè)數(shù)有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，并且五個(gè)數(shù)的和盡可能最大，只要將個(gè)位和十位上的一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)交換，并且交換的兩個(gè)的數(shù)碼之差盡可能小，由此得到交換5與4的位置。滿足題設(shè)要求的五個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼是4，6，7，8，9，個(gè)位上的數(shù)碼是0，1，2，3，5，所求這五個(gè)數(shù)的和是〔4+6+7+8+9〕×10+〔0+1+2+3+5〕=351。例27只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。能否經(jīng)過假設(shè)干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？分析與解：盲目的試驗(yàn)，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上的杯子數(shù)的奇偶性，就會(huì)發(fā)現(xiàn)問題所在。一開場(chǎng)杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉(zhuǎn)后，杯口朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，因?yàn)橹荒芊D(zhuǎn)兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。例3有m〔m≥2〕只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的〔m-1〕只杯子。經(jīng)過假設(shè)干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？分析與解：當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，〔m-1〕是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子，那么無論經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上〔下〕的杯子數(shù)的奇偶性不會(huì)改變。一開場(chǎng)m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)〔m-1〕即偶數(shù)只杯子。無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可能全部朝上。當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，〔m-1〕是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m=4的情形入手觀察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn)3只杯子，保持不動(dòng)的杯子用*號(hào)標(biāo)記。翻轉(zhuǎn)情況如下：由上表看出，只要翻轉(zhuǎn)4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不動(dòng)，就可到達(dá)要求。一般來說，對(duì)于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對(duì)于m只杯子，當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，因?yàn)椤瞞-1〕是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉(zhuǎn)〔m-1〕次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點(diǎn)，只需要翻轉(zhuǎn)m次，并且依次保持第1，2，…，m只杯子不動(dòng)，這樣在m次翻轉(zhuǎn)中，每只杯子都有一次沒有翻轉(zhuǎn)，即都翻轉(zhuǎn)了〔m-1〕次。綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)〔m-1〕只。當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，無論翻轉(zhuǎn)多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，翻轉(zhuǎn)m次，可以使m只杯子全部改變初始狀態(tài)。例4一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別是1，2，3，…，15頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊(cè)，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數(shù)頁碼的最多有幾篇？分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章頁數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的規(guī)律。一篇有奇數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是一樣的，即排版奇數(shù)頁的文章，第一面是奇數(shù)頁碼，最后一面也是奇數(shù)頁碼，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數(shù)頁碼上。一篇有偶數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相異的，即排版偶數(shù)頁的文章，第一面是奇〔偶〕數(shù)頁碼，最后一面應(yīng)是偶〔奇〕數(shù)頁碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇〔偶〕數(shù)頁碼上。以上說明此題的解答主要是根據(jù)奇偶特點(diǎn)來處理。題目要求第一面排在奇數(shù)頁碼的文章盡量多。首先考慮有偶數(shù)頁的文章，只要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上〔如第1頁〕，那么接著每一篇有偶數(shù)頁的文章都會(huì)是第一面排在奇數(shù)頁碼上，共有7篇這樣的文章。然后考慮有奇數(shù)頁的文章，第一篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，第二篇的第一面就會(huì)排在偶數(shù)頁碼上，第三篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，如此等等。在8篇奇數(shù)頁的文章中，有4篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上。因此最多有7+4=11〔篇〕文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上。例5有大、小兩個(gè)盒子，其中大盒內(nèi)裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內(nèi)裝有足夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子，假設(shè)摸出的兩枚棋子同色，那么從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)；假設(shè)摸出的兩枚棋子異色，那么把其中白棋子放回大盒內(nèi)。問：從大盒內(nèi)摸了1999次棋子后，大盒內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？分析與解：大盒內(nèi)裝有黑、白棋子共1001+1000=2001〔枚〕。因?yàn)槊看味际敲?枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，還剩2001-1999=2〔枚〕棋子。從大盒內(nèi)每次摸2枚棋子有以下兩種情況：〔1〕所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時(shí)從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)。當(dāng)所摸兩枚棋子同是黑色，這時(shí)大盒內(nèi)少了一枚黑棋子；當(dāng)所摸兩枚棋子同是白色，這時(shí)大盒內(nèi)多了一枚黑棋子?！?〕所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時(shí)要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內(nèi)少了一枚黑棋子。綜合〔1〕〔2〕，每摸一次，大盒內(nèi)的黑棋子總數(shù)不是少一枚就是多一枚，即改變了黑棋子數(shù)的奇偶性。原來大盒內(nèi)有1000枚即偶數(shù)枚黑棋子，摸了1999次，即改變了1999次奇偶性后，還剩奇數(shù)枚黑棋子。因?yàn)榇蠛袃?nèi)只剩下2枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。例6一串?dāng)?shù)排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…到這串?dāng)?shù)的第1000個(gè)數(shù)為止，共有多少個(gè)偶數(shù)？分析與解：首先分析這串?dāng)?shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)情況。1+1=2，2+3=5，3+5=8，5+8=13，…這串?dāng)?shù)的規(guī)律是，從第三項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)等于前兩個(gè)數(shù)的和。根據(jù)奇偶數(shù)的加法性質(zhì)，可以得出這串?dāng)?shù)的奇偶性：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……容易看出，這串?dāng)?shù)是按“奇，奇，偶〞每三個(gè)數(shù)為一組周期變化的。1000÷3=333……1，這串?dāng)?shù)的前1000個(gè)數(shù)有333組又1個(gè)數(shù)，每組的三個(gè)數(shù)中有1個(gè)偶數(shù)，并且是第3個(gè)數(shù)，所以這串?dāng)?shù)到第1000個(gè)數(shù)時(shí)，共有333個(gè)偶數(shù)。練習(xí)81.在11，111，1111，11111，…這些數(shù)中，任何一個(gè)數(shù)都不會(huì)是某一個(gè)自然數(shù)的平方。這樣說對(duì)嗎？2.一本書由17個(gè)故事組成，各個(gè)故事的篇幅分別是1，2，3，…，17頁。這17個(gè)故事有各種編排法，但無論怎樣編排，故事正文都從第1頁開場(chǎng)，以后每一個(gè)故事都從新一頁碼開場(chǎng)。如果要求安排在奇數(shù)頁碼開場(chǎng)的故事盡量少，那么最少有多少個(gè)故事是從奇數(shù)頁碼開場(chǎng)的？3.桌子上放著6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉(zhuǎn)5只杯子，那么至少翻轉(zhuǎn)多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？4.70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊的兩個(gè)數(shù)的和，這一行數(shù)的最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，…問：最右邊的一個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.學(xué)校組織運(yùn)動(dòng)會(huì)，小明領(lǐng)回自己的運(yùn)發(fā)動(dòng)號(hào)碼后，小玲問他：“今天發(fā)放的運(yùn)發(fā)動(dòng)號(hào)碼加起來是奇數(shù)還是偶數(shù)？〞小明說：“除開我的號(hào)碼，把今天發(fā)的其它號(hào)碼加起來，再減去我的號(hào)碼，恰好是100。〞今天發(fā)放的運(yùn)發(fā)動(dòng)號(hào)碼加起來，到底是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.在黑板上寫出三個(gè)整數(shù)，然后擦去一個(gè)換成所剩兩數(shù)之和，這樣繼續(xù)操作下去，最后得到88，66，99。問：原來寫的三個(gè)整數(shù)能否是1，3，5？7.將888件禮品分給假設(shè)干個(gè)小朋友。問：分到奇數(shù)件禮品的小朋友是奇數(shù)還是偶數(shù)？

第9講奇偶性〔三〕利用奇、偶數(shù)的性質(zhì)，上兩講已經(jīng)解決了許多有關(guān)奇偶性的問題。本講將繼續(xù)利用奇偶性研究一些外表上似乎與奇偶性無關(guān)的問題。例1在7×7的正方形的方格表中，以左上角與右下角所連對(duì)角線為軸對(duì)稱地放置棋子，要求每個(gè)方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，那么在這條對(duì)角線上的格子里至少放有一枚棋子，這是為什么？分析與解：題目說在指定的這條對(duì)角線上的格子里必定至少放有一枚棋子，假設(shè)這個(gè)說法不對(duì)，即對(duì)角線上沒放棋子。如以下圖所示，因?yàn)轭}目要求擺放的棋子以MN為對(duì)稱軸，所以對(duì)于MN左下方的任意一格A，總有MN右上方的一格A＇，A與A＇關(guān)于MN對(duì)稱，所以A與A＇要么都放有棋子，要么都沒放棋子。由此推知方格表中放置棋子的總枚數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。而題設(shè)每行放3枚棋子，7行共放棋子3×7=21〔枚〕，21是奇數(shù)，與上面的推論矛盾。所以假設(shè)不成立，即在指定的對(duì)角線上的格子中必定至少有一枚棋子。例2對(duì)于左下表，每次使其中的任意兩個(gè)數(shù)減去或加上同一個(gè)數(shù)，能否經(jīng)過假設(shè)干次后〔各次減去或加上的數(shù)可以不同〕，變?yōu)橛蚁卤?？為什么？分析與解：因?yàn)槊看斡袃蓚€(gè)數(shù)同時(shí)被加上或減去同一個(gè)數(shù)，所以表中九個(gè)數(shù)碼的總和經(jīng)過變化后，等于原來的總和加上或減去那個(gè)數(shù)的2倍，因此總和的奇偶性沒有改變。原來九個(gè)數(shù)的總和為1+2+…+9=45，是奇數(shù)，經(jīng)過假設(shè)干次變化后，總和仍應(yīng)是奇數(shù)，與右上表九個(gè)數(shù)的總和是4矛盾。所以不可能變成右上表。例3左以下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個(gè)房間都有通向任何一個(gè)鄰室的門。有人想從某個(gè)房間開場(chǎng)，依次不重復(fù)地走遍每一個(gè)房間，他的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？分析與解：如右上圖所示，將相鄰的房間黑、白相間染色。無論從哪個(gè)房間開場(chǎng)走，因?yàn)榭偸呛诎紫嚅g地走過各房間，所以走過的黑、白房間數(shù)最多相差1。而右上圖有7黑5白，所以不可能不重復(fù)地走遍每一個(gè)房間。例4左以下圖是由14個(gè)大小一樣的方格組成的圖形。試問能不能剪裁成7個(gè)由相鄰兩方格組成的長(zhǎng)方形？分析與解：將這14個(gè)小方格黑白相間染色〔見右上圖〕，有8個(gè)黑格，6個(gè)白格。相鄰兩個(gè)方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7個(gè)小長(zhǎng)方形，那么14個(gè)格應(yīng)當(dāng)是黑、白各7個(gè)，與實(shí)際情況不符，所以不能剪裁成7個(gè)由相鄰兩個(gè)方格組成的長(zhǎng)方形。例5在右圖的每個(gè)○中填入一個(gè)自然數(shù)〔可以一樣〕，使得任意兩個(gè)相鄰的○中的數(shù)字之差〔大數(shù)減小數(shù)〕恰好等于它們之間所標(biāo)的數(shù)字。能否辦到？為什么？分析與解：假定圖中5與1之間的○中的數(shù)是奇數(shù)，按順時(shí)針加上或減去標(biāo)出的數(shù)字，依次得到各個(gè)○中的數(shù)的奇偶性如下：因?yàn)樯蠄D兩端是同一個(gè)○中的數(shù)，不可能既是奇數(shù)又是偶數(shù)，所以5與1之間的○中的數(shù)不是奇數(shù)。同理，假定5與1之間的○中的數(shù)是偶數(shù)，也將推出矛盾。所以，題目的要求辦不到。例6下頁上圖是半張中國(guó)象棋盤，棋盤上已放有一只馬。眾所周知，馬是走“日〞字的。請(qǐng)問：這只馬能否不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每一個(gè)點(diǎn)，然后回到出發(fā)點(diǎn)？分析與解：馬走“日〞字，在中國(guó)象棋盤上走有什么規(guī)律呢？為方便研究規(guī)律，如以下圖所示，先在棋盤各交點(diǎn)處相間標(biāo)上○和●，圖中共有22個(gè)○和23個(gè)●。因?yàn)轳R走“日〞字，每步只能從○跳到●，或由●跳到○，所以馬從某點(diǎn)跳到同色的點(diǎn)〔指○或●〕，要跳偶數(shù)步；跳到不同色的點(diǎn)，要跳奇數(shù)步?，F(xiàn)在馬在○點(diǎn)，要跳回這一點(diǎn)，應(yīng)跳偶數(shù)步，可是棋盤上共有23+22=45〔個(gè)〕點(diǎn)，不可能做到不重復(fù)地走遍所有的點(diǎn)后回到出發(fā)點(diǎn)。討論：如果馬的出發(fā)點(diǎn)不是在○點(diǎn)上而是在●點(diǎn)上，那么這只馬能不能不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每個(gè)點(diǎn)，最后回到出發(fā)點(diǎn)上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的。但是如果放棄“回到出發(fā)點(diǎn)〞的要求，那么情況就不一樣了。從某點(diǎn)出發(fā)，跳遍半張棋盤上除起點(diǎn)以外的其它44點(diǎn)，要跳44步，44是偶數(shù)，所以起點(diǎn)和終點(diǎn)應(yīng)是同色的點(diǎn)〔指○或●〕。因?yàn)?4步跳過的點(diǎn)○與點(diǎn)●各22個(gè)，所以起點(diǎn)必是●，終點(diǎn)也是●。也就說是，當(dāng)不要求回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，只要從●出發(fā)，就可以不重復(fù)地走遍半張棋盤上的所有點(diǎn)。練習(xí)91.教室里有5排椅子，每排5張，每張椅子上坐一個(gè)學(xué)生。一周后，每個(gè)學(xué)生都必須和他相鄰〔前、后、左、右〕的某一同學(xué)交換座位。問：能不能換成？為什么？2.房間里有5盞燈，全部關(guān)著。每次拉兩盞燈的開關(guān)，這樣做假設(shè)干次后，有沒有可能使5盞燈全部是亮的？3.左以下圖是由40個(gè)小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個(gè)一樣的長(zhǎng)方形？4.一個(gè)正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列〔見右上圖〕。守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過每一棵樹，不重復(fù)也不遺漏〔不許斜走〕，最后又回到小屋。可以做到嗎？5.紅光小學(xué)五年級(jí)一次乒乓球賽，共有男女學(xué)生17人報(bào)名參加。為節(jié)省時(shí)間不打循環(huán)賽，而采取以下方式：每人只打5場(chǎng)比賽，每?jī)扇酥g用抽簽的方法決定只打一場(chǎng)或不賽。然后根據(jù)每人得分決定出前5名。這種比賽方式是否可行？6.如以下圖所示，將1～12順次排成一圈。如果報(bào)出一個(gè)數(shù)a〔在1～12之間〕，那么就從數(shù)a的位置順時(shí)針走a個(gè)數(shù)的位置。例如a=3，就從3的位置順時(shí)針走3個(gè)數(shù)的位置到達(dá)6的位置；a=11，就從11的位置順時(shí)針走11個(gè)數(shù)的位置到達(dá)10的位置。問：a是多少時(shí)，可以走到7的位置？第10講質(zhì)數(shù)與合數(shù)自然數(shù)按照能被多少個(gè)不同的自然數(shù)整除可以分為三類：第一類：只能被一個(gè)自然數(shù)整除的自然數(shù)，這類數(shù)只有一個(gè)，就是1。第二類：只能被兩個(gè)不同的自然數(shù)整除的自然數(shù)。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)都能被1和它本身整除，所以這類自然數(shù)的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。這類自然數(shù)叫質(zhì)數(shù)〔或素?cái)?shù)〕。例如，2，3，5，7，…第三類：能被兩個(gè)以上的自然數(shù)整除的自然數(shù)。這類自然數(shù)的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，還能被其它一些自然數(shù)整除。這類自然數(shù)叫合數(shù)。例如，4，6，8，9，15，…上面的分類方法將自然數(shù)分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。例11～100這100個(gè)自然數(shù)中有哪些是質(zhì)數(shù)？分析與解：先把前100個(gè)自然數(shù)寫出來，得下表：1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。2是質(zhì)數(shù)，留下來，后面凡能被2整除的數(shù)都是合數(shù)，都劃去；3是質(zhì)數(shù)，留下來，后面凡能被3整除的數(shù)都是合數(shù)，都劃去；類似地，把5留下來，后面但凡5的倍數(shù)的數(shù)都劃去；把7留下來，后面但凡7的倍數(shù)的數(shù)都劃去。經(jīng)過以上的篩選，劃去的都是合數(shù)，余下26個(gè)數(shù)，除1外，剩下的25個(gè)都是質(zhì)數(shù)。這樣，我們便得到了100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。這些質(zhì)數(shù)同學(xué)們應(yīng)當(dāng)熟記！細(xì)心的同學(xué)可能會(huì)注意到，以上只劃到7的倍數(shù)，為什么不繼續(xù)劃去11，13，…的倍數(shù)呢？事實(shí)上，這些倍數(shù)已包含在已劃去的倍數(shù)中。例如，100以內(nèi)11的倍數(shù)應(yīng)該是11×A≤100〔其中A為整數(shù)〕，顯然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因?yàn)?=22，6=2×3，8=23，9=32，所以A必是2，3，5，7之一的倍數(shù)。由此推知，11的倍數(shù)已全部包含在2，3，5，7的倍數(shù)中，已在前面劃去了。要判斷一個(gè)數(shù)N是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，根據(jù)合數(shù)的定義，只要用從小到大的自然數(shù)2，3，4，5，6，7，8，…，N-1去除N，其中只要有一個(gè)自然數(shù)能整除N，N就是合數(shù)，否那么就是質(zhì)數(shù)。但這樣太麻煩，因?yàn)槌龜?shù)太多。能不能使試除的數(shù)少一點(diǎn)呢？由例1知，只要用從小到大的質(zhì)數(shù)去除N就可以了。例2給出的判別方法，可以使試除的數(shù)進(jìn)一步減少。例2判斷269，437兩個(gè)數(shù)是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)。分析與解：對(duì)于一個(gè)不太大的數(shù)N，要判斷它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，可以先找出一個(gè)大于N且最接近N的平方數(shù)K2，再寫出K以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。如果這些質(zhì)數(shù)都不能整除N，那么N是質(zhì)數(shù)；如果這些質(zhì)數(shù)中有一個(gè)能整除N，那么N是合數(shù)。因?yàn)?69＜172=289。17以內(nèi)質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13。根據(jù)能被某些數(shù)整除的數(shù)的特征，個(gè)位數(shù)是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。經(jīng)逐一判斷或試除知，這6個(gè)質(zhì)數(shù)都不能整除269，所以269是質(zhì)數(shù)。因?yàn)?37＜212=441。21以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判斷437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19試除437，得到437÷19=23，所以437是合數(shù)。比照一下幾種判別質(zhì)數(shù)與合數(shù)的方法，可以看出例2的方法的優(yōu)越性。判別269，用2～268中所有的數(shù)試除，要除267個(gè)數(shù)；用2～268中的質(zhì)數(shù)試除，要除41個(gè)數(shù)；而用例2的方法，只要除6個(gè)數(shù)。例3判斷數(shù)1111112111111是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？分析與解：按照例2的方法判別這個(gè)13位數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，當(dāng)然是很麻煩的事，能不能想出別的方法呢？根據(jù)合數(shù)的意義，如果一個(gè)數(shù)能夠?qū)懗蓛蓚€(gè)大于1的整數(shù)的乘積，那么這個(gè)數(shù)是合數(shù)。根據(jù)整數(shù)的意義，這個(gè)13位數(shù)可以寫成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111×〔1000000+1〕=1111111×1000001。由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合數(shù)。這道例題又給我們提供了一種判別一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的方法。例4判定298+1和298+3是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？分析與解：這道題要判別的數(shù)很大，不能直接用例1、例2的方法。我們?cè)谒哪昙?jí)學(xué)過an的個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律，以與an除以某自然數(shù)的余數(shù)的變化規(guī)律。2n的個(gè)位數(shù)隨著n的從小到大，按照2，4，8，6每4個(gè)一組循環(huán)出現(xiàn)，98÷4=24……2，所以298的個(gè)位數(shù)是4，〔298+1〕的個(gè)位數(shù)是5，能被5整除，說明〔298+1〕是合數(shù)?！?98+3〕是奇數(shù)，不能被2整除；298不能被3整除，所以〔298+3〕也不能被3整除；〔298+1〕能被5整除，〔298+3〕比〔298+1〕大2，所以〔298+3〕不能被5整除。再判斷〔298+3〕能否被7整除。首先看看2n÷7的余數(shù)的變化規(guī)律：因?yàn)?8÷3的余數(shù)是2，從上表可知298除以7的余數(shù)是4，〔298+3〕除以7的余數(shù)是4+3=7，7能被7整除，即〔298+3〕能被7整除，所以〔298+3〕是合數(shù)。例5A是質(zhì)數(shù)，〔A+10〕和〔A+14〕也是質(zhì)數(shù)，求質(zhì)數(shù)A。分析與解：從最小的質(zhì)數(shù)開場(chǎng)試算。A=2時(shí)，A+10=12，12是合數(shù)不是質(zhì)數(shù)，所以A≠2。A=3時(shí)，A+10=13，是質(zhì)數(shù)；A+14=17也是質(zhì)數(shù)，所以A等于3是所求的質(zhì)數(shù)。A除了等于3外，還可以是別的質(zhì)數(shù)嗎？因?yàn)橘|(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)，所以不可能一一去試，必須采用其它方法。A，〔A+1〕，〔A+2〕除以3的余數(shù)各不一樣，而〔A+1〕與〔A+10〕除以3的余數(shù)一樣，〔A+2〕與〔A+14〕除以3的余數(shù)一樣，所以A，〔A+10〕，〔A+14〕除以3的余數(shù)各不一樣。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)除以3只有整除、余1、余2三種情況，所以在A，〔A+10〕，〔A+14〕中必有一個(gè)能被3整除。能被3整除的質(zhì)數(shù)只有3，因?yàn)椤睞+10〕，〔A+14〕都大于3，所以A=3。也就是說，此題唯一的解是A=3。練習(xí)101.現(xiàn)有1，3，5，7四個(gè)數(shù)字?！?〕用它們可以組成哪些兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)〔數(shù)字可以重復(fù)使用〕？〔2〕用它們可以組成哪些各位數(shù)字不一樣的三位質(zhì)數(shù)？2.a，b，c都是質(zhì)數(shù)，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。3.A是一個(gè)質(zhì)數(shù)，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足要求的質(zhì)數(shù)A。5.試說明：兩個(gè)以上的連續(xù)自然數(shù)之和必是合數(shù)。6.判斷266+388是不是質(zhì)數(shù)。7.把一個(gè)一位數(shù)的質(zhì)數(shù)a寫在另一個(gè)兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)b后邊，得到一個(gè)三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)是a的87倍，求a和b。第11講分解質(zhì)因數(shù)自然數(shù)中任何一個(gè)合數(shù)都可以表示成假設(shè)干個(gè)質(zhì)因數(shù)乘積的形式，如果不考慮因數(shù)的順序，那么這個(gè)表示形式是唯一的。把合數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)乘積的形式叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如，60=22×3×5，1998=2×33×37。例1一個(gè)正方體的體積是13824厘米3，它的外表積是多少？分析與解：正方體的體積是“棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)〞，現(xiàn)在正方體的體積是13824厘米3，假設(shè)能把13824寫成三個(gè)一樣的數(shù)相乘，那么可求出棱長(zhǎng)。為此，我們先將13824分解質(zhì)因數(shù)：把這些因數(shù)分成三組，使每組因數(shù)之積相等，得13824=〔23×3〕×〔23×3〕×〔23×3〕，于是，得到棱長(zhǎng)是23×3=24〔厘米〕。所求外表積是24×24×6=3456〔厘米2〕。例2學(xué)區(qū)舉行團(tuán)體操表演，有1430名學(xué)生參加，分成人數(shù)相等的假設(shè)干隊(duì)，要求每隊(duì)人數(shù)在100至200之間，共有幾種分法？分析與解：按題意，每隊(duì)人數(shù)×隊(duì)數(shù)=1430，每隊(duì)人數(shù)在100至200之間，所以問題相當(dāng)于求1430有多少個(gè)在100至200之間的約數(shù)。為此，先把1430分解質(zhì)因數(shù)，得1430＝2×5×11×13。從這四個(gè)質(zhì)數(shù)中選假設(shè)干個(gè)，使其乘積在100到200之間，這是每隊(duì)人數(shù)，其余的質(zhì)因數(shù)之積便是隊(duì)數(shù)。2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。所以共有三種分法，即分成13隊(duì)，每隊(duì)110人；分成11隊(duì)，每隊(duì)130人；分成10隊(duì)，每隊(duì)143人。例31×2×3×…×40能否被90909整除？分析與解：首先將90909分解質(zhì)因數(shù)，得90909=33×7×13×37。因?yàn)?3〔=27〕，7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能被90909整除。例4求72有多少個(gè)不同的約數(shù)。分析與解：將72分解質(zhì)因數(shù)得到72=23×32。根據(jù)72的約數(shù)含有2和3的個(gè)數(shù)，可將72的約數(shù)列表如下：上表中，第三、四行的數(shù)字分別是第二行對(duì)應(yīng)數(shù)字乘以3和32，第三、四、五列的數(shù)字分別是第二列對(duì)應(yīng)數(shù)字乘以2，22和23。比照72=23×32，72的任何一個(gè)約數(shù)至多有兩個(gè)不同質(zhì)因數(shù)：2和3。因?yàn)?2有3個(gè)質(zhì)因數(shù)2，所以在某一個(gè)約數(shù)的質(zhì)因數(shù)中，2可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次、出現(xiàn)3次，這就有4種情況；同理，因?yàn)?2有兩個(gè)質(zhì)因數(shù)3，所以3可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次，共有3種情況。根據(jù)乘法原理，72的不同約數(shù)共有4×3=12〔個(gè)〕。從例4可以歸納出求自然數(shù)N的所有不同約數(shù)的個(gè)數(shù)的方法：一個(gè)大于1的自然數(shù)N的約數(shù)個(gè)數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)加1的連乘積。例如，2352=24×3×72，因?yàn)?352的質(zhì)因數(shù)分解式中有4個(gè)2，1個(gè)3，2個(gè)7，所以2352的不同約數(shù)有〔4+1〕×〔1+1〕×〔2+1〕=30〔個(gè)〕；又如，9450=2×33×52×7，所以9450的不同的約數(shù)有〔1+1〕×〔3+1〕×〔2+1〕×〔1+1〕=48〔個(gè)〕。例5試求不大于50的所有約數(shù)個(gè)數(shù)為6的自然數(shù)。分析與解：這是求一個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的逆問題，因此解題方法正好與例4相反。因?yàn)檫@個(gè)數(shù)有六個(gè)約數(shù)，6=5+1=〔2+1〕×〔1+1〕，所以，當(dāng)這個(gè)數(shù)只有一個(gè)質(zhì)因數(shù)a時(shí)，這個(gè)數(shù)是a5；當(dāng)這個(gè)數(shù)有兩個(gè)質(zhì)因數(shù)a和b時(shí)，這個(gè)數(shù)是a2×b。因?yàn)檫@個(gè)數(shù)不大于50，所以對(duì)于a5，只有a=2，即25=32；對(duì)于a2×b，經(jīng)試算得到，22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32×5=45，52×2=50。所以滿足題意的數(shù)有八個(gè)：32，12，20，28，44，18，45，50。練習(xí)111.一個(gè)長(zhǎng)方體，它的正面和上面的面積之和是209分米2，如果它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方分米？2.爺孫兩人今年的年齡的乘積是693，4年前他們的年齡都是質(zhì)數(shù)。爺孫兩人今年的年齡各是多少歲？3.某車間有216個(gè)零件，如果平均分成假設(shè)干份，分的份數(shù)在5至20之間，那么有多少種分法？4.小英參加小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，她說：“我得的成績(jī)和我的歲數(shù)以與我得的名次乘起來是3916，總分值是100分。〞能否知道小英的年齡、考試成績(jī)與名次？5.舉例答復(fù)下面各問題：〔1〕兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)嗎？〔2〕兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積能是質(zhì)數(shù)嗎？〔3〕兩個(gè)合數(shù)的和仍是合數(shù)嗎？〔4〕兩個(gè)合數(shù)的差〔大數(shù)減小數(shù)〕仍是合數(shù)嗎？〔5〕一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)的和是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？6.求不大于100的約數(shù)最多的自然數(shù)。7.同學(xué)們?nèi)ド浼?，?guī)定每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0〞〔脫靶〕或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙兩同學(xué)各射5箭，每人得到的總環(huán)數(shù)之積剛好都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙各自的總環(huán)數(shù)。第12講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)〔一〕如果一個(gè)自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。自然數(shù)a1，a2，…，an的最大公約數(shù)通常用符號(hào)〔a1，a2，…，an〕表示，例如，〔8，12〕=4，〔6，9，15〕=3。如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù)是這假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為這假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a1，a2，…，an的最小公倍數(shù)通常用符號(hào)[a1，a2，…，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。例1用60元錢可以買一級(jí)茶葉144克，或買二級(jí)茶葉180克，或買三級(jí)茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價(jià)格都相等，那么每袋的價(jià)格最低是多少元錢？分析與解：因?yàn)?44克一級(jí)茶葉、180克二級(jí)茶葉、240克三級(jí)茶葉都是60元，分裝后每袋的價(jià)格相等，所以144克一級(jí)茶葉、180克二級(jí)茶葉、240克三級(jí)茶葉，分裝的袋數(shù)應(yīng)一樣，即分裝的袋數(shù)應(yīng)是144，180，240的公約數(shù)。題目要求每袋的價(jià)格盡量低，所以分裝的袋數(shù)應(yīng)盡量多，應(yīng)是144，180，240的最大公約數(shù)。所以〔144，180，240〕=2×2×3=12，即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價(jià)格最低是60÷12=5〔元〕。為節(jié)約篇幅，除必要時(shí)外，在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)，將不再寫出短除式。例2用自然數(shù)a去除498，450，414，得到一樣的余數(shù)，a最大是多少？分析與解：因?yàn)?98，450，414除以a所得的余數(shù)一樣，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應(yīng)能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求數(shù)是〔48，36，84〕=12。例3現(xiàn)有三個(gè)自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？分析與解：只知道三個(gè)自然數(shù)的和，不知道三個(gè)自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大公約數(shù)。只能從唯一的條件“它們的和是1111〞入手分析。三個(gè)數(shù)的和是1111，它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)。因?yàn)?111=101×11，它的約數(shù)只能是1，11，101和1111，由于三個(gè)自然數(shù)的和是1111，所以三個(gè)自然數(shù)都小于1111，1111不可能是三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比方取三個(gè)數(shù)為101，101和909。所以所求數(shù)是101。例4在一個(gè)30×24的方格紙上畫一條對(duì)角線〔見下頁上圖〕，這條對(duì)角線除兩個(gè)端點(diǎn)外，共經(jīng)過多少個(gè)格點(diǎn)〔橫線與豎線的穿插點(diǎn)〕？分析與解：〔30，24〕=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成6×6個(gè)一樣的矩形，那么每個(gè)矩形是由〔30÷6〕×〔24÷6〕=5×4〔個(gè)〕小方格組成。在6×6的簡(jiǎn)化圖中，對(duì)角線也是它所經(jīng)過的每一個(gè)矩形的對(duì)角線，所以經(jīng)過5個(gè)格點(diǎn)〔見左以下圖〕。在對(duì)角線所經(jīng)過的每一個(gè)矩形的5×4個(gè)小方格中，對(duì)角線不經(jīng)過任何格點(diǎn)〔見右以下圖〕。所以，對(duì)角線共經(jīng)過格點(diǎn)〔30，24〕-1=5〔個(gè)〕。例5甲、乙、丙三人繞操場(chǎng)競(jìng)走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長(zhǎng)時(shí)間才能再次在起點(diǎn)相會(huì)？分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因?yàn)橐谄瘘c(diǎn)相會(huì)，即三人都要走整圈數(shù)，所以需要的時(shí)間應(yīng)是60，75，90的公倍數(shù)。所求時(shí)間為[60，75，90]=900〔秒〕=15〔分〕。例6爺爺對(duì)小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過假設(shè)干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍。〞你知道爺爺和小明現(xiàn)在的年齡嗎？分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時(shí)間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們的年齡差也是5，4，3，2，1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是6，5，4，3，2的公倍數(shù)。[6，5，4，3，2]=60，爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)倍。考慮到年齡的實(shí)際情況，爺爺與小明的年齡差應(yīng)是60歲。所以現(xiàn)在小明的年齡=60÷〔7-1〕=10〔歲〕，爺爺?shù)哪挲g=10×7=70〔歲〕。練習(xí)121.有三根鋼管，分別長(zhǎng)200厘米、240厘米、360厘米?，F(xiàn)要把這三根鋼管截成盡可能長(zhǎng)而且相等的小段，一共能截成多少段？2.兩個(gè)小于150的數(shù)的積是2028，它們的最大公約數(shù)是13，求這兩個(gè)數(shù)。3.用1～9這九個(gè)數(shù)碼可以組成362880個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，求這些數(shù)的最大公約數(shù)？4.大雪后的一天，亮亮和爸爸從同一點(diǎn)出發(fā)沿同一方向分別步測(cè)一個(gè)圓形花圃的周長(zhǎng)。亮