2020-2021學(xué)年江蘇省南京某中學(xué)高三（上）學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（12月份）

2020-2021學(xué)年江蘇省南京第五高級中學(xué)高三（上）學(xué)情調(diào)研數(shù)

學(xué)試卷（12月份）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)是符合題目要求）

1.（5分）已知全集為R,集合A={x|（；）\,1},8={X|X2_6X+&,0},則AC&8）=（

）

A.{x|西,0}B.{x|2i+4}C.{x[0,,x<2或x>4}D.{x|0<%,2或

x.4}

2.（5分）已知。是實(shí)數(shù)，上0是純虛數(shù)，則”=（）

1+/

A.1B.-1C.V2D.-41

3.（5分）“a」”是“對任意的正數(shù)x,2x+±.l的”（）

8x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（5分）將5名志愿者分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場館參加接待工作，每個(gè)場館至少分配一名

志愿者的方案種數(shù)為（）

A.540B.300C.180D.150

3-

5.(5分)設(shè)a=(j)2,b=，則Q,b,c的大小順序是（）

A.c<a<hB.c<b<aC.a<c<hD.b<c<a

6.（5分）古希臘時(shí)期，人們把寬與長之比為當(dāng)」（與^^0.618）的矩形稱為黃金矩形，

把這個(gè)比值叵【稱為黃金分割比例.如圖為希臘的一古建筑，其中圖中的矩形MCZ）,

2

EBCF,FGHC,FGJ1,LGJK,M70K均為黃金矩形，若用與K間的距離超過1.7m，C

與F間的距離小于12m，則該古建筑中A與8間的距離可能是（）

(參考數(shù)據(jù)：0.6182?0.382，0.6183?0.236，0.6184?0.146,0.6185?0.090，0.6186?0.056，

0.6187?0.034)

A.286B.29.2mC.30.8mD.32.5m

7.（5分）函數(shù)/（x）=sin（5+0）3;>0,|夕|<馬的圖象如圖所示，為了得到g（x）=sin（3x-工）

24

的圖象，只需將/（幻的圖象（）

B.向左平移工個(gè)單位長度

66

C.向右平移出個(gè)單位長度D.向左平移工個(gè)單位長度

22

-----7，不，0

x—\

8.（5分）已知函數(shù)/（一）=<，若關(guān)于1的方程/（幻=工+。無實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取

Inx八

—，龍〉0

x

值范圍為（）

A.y,0)U(-,1)B.(-1,0)

e

c.(0,-)D.(0,1)

e

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對得5分，部分選對得3

分，不選或有錯選的得0分.

9.（5分）如圖是2010-2020年這11年我國考研人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，則關(guān)于這11年考研人數(shù)下列

說法錯誤的是（）

20162020年我國考研人改統(tǒng)計(jì)圖

450.00-?

400.00%

350.00%

300.00%

250.00°.

200.00%

150.00%

100.00%

50.00%

00.00%

?50.00%

A.2010年以來我國考研報(bào)名人數(shù)逐年增多

B.這11年來考研報(bào)名人數(shù)的極差超過260萬人

C.2015年是這11年來報(bào)考人數(shù)最少的一年

D.2015年的報(bào)錄比最低

10.（5分）若〃=《二+《"，下列結(jié)論正確的是（）

A.H=10B.n=11C.a=466D.a=233

11.（5分）設(shè)awR,關(guān)于工的方程/g（x—l）+/g（3—x）=/g（〃—x）,下列結(jié)論正確的是（

）

A.當(dāng)。=3時(shí)方程有唯一解

B.當(dāng)a="時(shí)方程有唯一解

4

c.當(dāng)“＜白時(shí)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

4

D.當(dāng)q,l時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)解

12.（5分）A4BC中，ZA,ZB,NC所對的邊分別是a,b,c依次成等差數(shù)列，則（

）

兀

A.8w（0,T

3

B.Beg,1）

C.cos2A+cos2C—4cos2B—4sinAsinC是常數(shù)

D.cosA4-cosC=2—2cosB

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.（5分）若曲線/。）=人山不在無=5處的切線與直線0￥-丁+1=0平行,則實(shí)數(shù)。=.

14.（5分）已知AABC中，AC=1,BC=6AB=2,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則

CMCA=.

15.（5分）2020年疫情期間，某醫(yī)院30天每天因患新冠肺炎而入院就診的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)

列｛〃“｝,已知4=1,a2=2,且滿足a”*?-=1-（-1）",則該醫(yī)院30天內(nèi)因患新冠肺炎就

診的人數(shù)共有一.

16.（5分）在三棱錐尸—A8C中，側(cè)棱R4_L底面ABC,ZBAC=\20°,A8=AC=10且

PA=2BC,則該三棱錐的外接球的體積為一.

四、解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）在條件①（a+b）（sinA-sin8）=（c-b）sinC,（2）asinB=/?cos（A+—）>③

6

Ain"C=asinB中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并給出問題解答.

2

在A/WC中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c,b+c=6,a=2瓜,,求AABC

的面積.

18.（12分）已知圓方程V+y2-2x—4y+機(jī)=0.

（1）若圓與直線x+2y-4=0相交于M,N兩點(diǎn)，且OMJ_CW（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求"?的值；

（2）在（1）的條件下，求以為直徑的圓的方程.

19.（12分）記等差數(shù)列伍“｝的前”項(xiàng)和為S"，已知$5=20,%=3.

（I）求數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式；

（II）若數(shù)列｛b,,｝的通項(xiàng)公式么=2",將數(shù)列｛q｝中與也,｝的相同項(xiàng)去掉，剩下的項(xiàng)依次構(gòu)

成新數(shù)列匕,｝,設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為7；,求420.

20.（12分）如圖，在三棱柱ABC-A,8c中，AA8c是邊長為2的等邊三角形，BC1BB,,

CC（=yf2,AC〕=y/b.

（1）求證：平面A8C_L平面BBC。；

（2）M,N分別是BC,BC的中點(diǎn)，P是線段AG上的一點(diǎn)，4P=3PG,求二面角

P-MV-C的大小.

21.（12分）為了響應(yīng)綠色出行，某市推出了新能源分時(shí)租賃汽車，并對該市市民使用新能

源租賃汽車的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，得到有關(guān)數(shù)據(jù)如表1：

表1

愿意使用新能源租賃不愿意使用新能源租總計(jì)

汽車賃汽車

男性100300

女性400

總計(jì)400

其中一款新能源分時(shí)租賃汽車的每次租車費(fèi)用由行駛里程和用車時(shí)間兩部分構(gòu)成:行駛里程

按1元/公里計(jì)費(fèi)；用車時(shí)間不超過30分鐘時(shí)，按0.15元/分鐘計(jì)費(fèi)；超過30分鐘時(shí)，超

出部分按0.20元/分鐘計(jì)費(fèi)，已知張先生從家到上班地點(diǎn)15公里，每天上班租用該款汽車

一次，每次的用車時(shí)間均在20~60分鐘之間，由于堵車、紅綠燈等因素，每次的用車時(shí)間/

（分鐘）是一個(gè)隨機(jī)變量，張先生記錄了100次的上班用車時(shí)間，并統(tǒng)計(jì)出在不同時(shí)間段內(nèi)

的頻數(shù)如表2:

表2

時(shí)間r（分鐘）(20,30J(30,40J(40,50J(50,60J

頻數(shù)20403010

（1）請補(bǔ)填表1中的空缺數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為該市市民對新能源租賃汽

車的使用態(tài)度與性別有關(guān)；

（2）根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，以各時(shí)間段的區(qū)間中點(diǎn)值代表

該時(shí)間段的取值，試估計(jì)張先生租用一次該款汽車上班的平均用車時(shí)間；

（3）若張先生使用滴滴打車上班，則需要車費(fèi)27元，試問：張先生上班使用滴滴打車和租

用該款汽車，哪一種更合算？

n(ad-he)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(12分)已知函數(shù)"x)="/〃(x+D

x+\

(1)求函數(shù)y=/(x)的最大值；

(2)令g(x)=(x+l)/(x)-(a-2)x+M,若g(x)既有極大值，又有極小值，求實(shí)數(shù)。的范

圍；

(3)求證：當(dāng)“wN*時(shí)，/〃(1+1)+/〃(14—+//?(1H—+...+ln(\--p=)<2>//2.

2020-2021學(xué)年江蘇省南京第五高級中學(xué)高三(上)學(xué)情調(diào)研數(shù)

學(xué)試卷(12月份)

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)是符合題目要求)

1.(5分)已知全集為R,集合A={x|(；)\,1},fi={x|x2-6x+8,,0},則AC@B)=(

)

A.{x|x,0}B.{x|//4}C.{x[0,,x<2或x>4}D.{x|0<%,2或

x.A]

【解答】解:(',,1=(;)。，

x.0,

/.A={x|x.O)；

XX2-6X+O?U-2)(X-4)0,

二刎4.

：.B={x\^4},

二，8={》“<2或》>4},

AdKB={x10?x<2x>4},

故選：C.

2.(5分)已知。是實(shí)數(shù)，區(qū)I是純虛數(shù)，則a=()

1+4

A.1B.-1C.y/2D.-72

【解答】解：由佇1=(-)=佇1_竺是純虛數(shù),

1+Z(1+/)(1-/)22

則—■--=0且———X0,故q=]

22

故選：A.

3.(5分)“a=!”是“對任意的正數(shù)x,2》+色.」的”()

8x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：當(dāng)”時(shí)，由基本不等式可得：

8

“對任意的正數(shù)x,2X+2.1”一定成立，

X

即“a=!"n"對任意的正數(shù)x,2X+W.1”為真命題；

8x

而“對任意的正數(shù)X,2*+色..1的”時(shí)，可得“a」”

x8

即“對任意的正數(shù)X,2X+-..1"n"a=L'為假命題；

x8

故"〃=■!■”是“對任意的正數(shù)x,2X+0..1的”充分不必要條件

8x

故選：A.

4.（5分）將5名志愿者分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場館參加接待工作，每個(gè)場館至少分配一名

志愿者的方案種數(shù)為（）

A.540B.300C.180D.150

【解答】解：將5個(gè)人分成滿足題意的3組有1,1,3與2,2,1兩種，

分成1、1、3時(shí)，有種分法，

分成2、2、1時(shí)，有種分法,

4

所以共有C；K+學(xué)閥=150種方案,

&

故選：D.

31

5.(5分)設(shè)a=(j)2,b=，則a,h,c的大小順序是（)

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

【解答】解：＜1,

4-

b=（-y＞1,

3

c=（芋吟匕；

2Q1

且0＜最＜尚＜1,函數(shù)y=x4在（0,”o）上是單調(diào)增函數(shù),

Q1Q1

所以（一尸〈（一）3

2716

所以；

綜上知，cvavb.

故選：A.

6.（5分）古希臘時(shí)期，人們把寬與長之比為叵口（叵口”0.618）的矩形稱為黃金矩形，

22

把這個(gè)比值苴且稱為黃金分割比例.如圖為希臘的一古建筑，其中圖中的矩形ABCD,

2

EBCF,FGHC,FGJ1,LGJK,A/N/K均為黃金矩形，若M與K間的距離超過1.7機(jī)，C

與F間的距離小于12加，則該古建筑中A與3間的距離可能是（）

（參考數(shù)據(jù)：0.6182?0.382,0.6183?0.236,0.6184?0.146,0.6185?0.090,0.6186?0.056,

0.6187?0.034）

A.28〃iB.29.2mC.30.8wD.32.5m

【解答】解：根據(jù)題意及圖，可知

MKV5-1KJV5-1GJ75-1FG75-1

石一2'GJ~2'~FG~2FC-2

各項(xiàng)相乘，可得

MKKJGJFG,75-14

---------------=（------）,

KJGJFGFC2

即處=（墾1）4=0.618，，

FC2

MK1.7

FCx>----------T

0.61840.6184

又FC<n,

1.7

<FC<\2,

0.6184

FCV5-1BC75-1

HC~2AB~2

各項(xiàng)相乘，可得

FC.75-12

茄二（M）b0.61G,

FC

AB^------

0.6182

1.7

0.6186

1.712

?30.36,?31.41，

0.61860.6182

/.30.36<AB<31.41,

.??只有選項(xiàng)。符合要求.

故選：C.

7.（5分）函數(shù)/'（x）=sin3zr+0）（G>O,的圖象如圖所示，為了得到g(x)=sin(3x-—)

的圖象，只需將的圖象（）

B.向左平移個(gè)單位長度

6

C.向右平移生個(gè)單位長度D.向左平移個(gè)單位長度

2

【解答】解：由函數(shù)/（x）=sin（5+°）的圖象知,

T=5￡_￡=￡)解得T=型,

412463

242萬_

所以co=—=—=3;

T2萬

3

又sin(3x得+°)=-1,且101Vl,

所以8=7

所以fM=sin(3x+—),

4

又函數(shù)g(x)=sin(3x--)=sin[3(x--)+—]，

464

所以將函數(shù)/（X）的圖象向右平移衛(wèi)個(gè)單位即可.

6

故選：A.

—o

8.(5分)已知函數(shù)/。)=，若關(guān)于x的方程/(x)=x+〃無實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取

Inx八

—,x>0

.x

值范圍為()

A.(v,02(L1)B.(-1,0)

e

C.(0,-)D.(0,1)

e

-----j■，用,0

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)“用=，

Inx八

——,x>0

、x

關(guān)于X的方程/(x)=x+〃無實(shí)根等價(jià)于函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=x+a無交點(diǎn)，

,./17Y

設(shè)直線y=工+々與/(%)=——(x>0)切與點(diǎn)P(x,%),

x0

由小)=匕您，

廠

由已知有：上華=1,解得%=1,則尸(1,0),

X。

則切線方程為：y=x-l,

由圖知：函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x+“無交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)。的取值范圍為實(shí)數(shù)。的取值范

圍為一1<”0,

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對得5分，部分選對得3

分，不選或有錯選的得0分.

9.（5分）如圖是2010-2020年這11年我國考研人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，則關(guān)于這11年考研人數(shù)下列

說法錯誤的是（）

2OKK2O2O年我國專研人政統(tǒng)計(jì)圖

450.00,.

400.00%

350.00,.

300.00%

250.00%

200.00%

150.00?i

100.00%

$0.00*.

00.00%

-50.0Wo

A.2010年以來我國考研報(bào)名人數(shù)逐年增多

B.這11年來考研報(bào)名人數(shù)的極差超過260萬人

C.2015年是這11年來報(bào)考人數(shù)最少的一年

D.2015年的報(bào)錄比最低

【解答】解：對于A:2010年以來，我國考研人數(shù)，在2015年略微下降，故錯誤;

對于8：極差大約為320-150=170萬人，故錯誤；

對于C:2010年是這11年來報(bào)考人數(shù)最少的一年，故C錯誤；

對于￡>:2015年的報(bào)錄比最低，正確：

故選：ABC.

10.（5分）若a=下列結(jié)論正確的是（）

A.?=10B.H=11C.a=466D.a=233

【解答】解：根據(jù)題意，a=C；："+C^?,

38—n..O

…a3n..38-n八,一/口38e21…

則有《，解可得受勵—,則”=10,

3幾.042

21+〃..3〃

則aY+C；：Y+C：=466,

故選：AC.

11.（5分）設(shè)aeR,關(guān)于x的方程/g（x-l）+/g（3-x）=/g（a-x）,下列結(jié)論正確的是（

)

A.當(dāng)〃=3時(shí)方程有唯一解

B.當(dāng)。="時(shí)方程有唯一解

4

C.當(dāng)?！大脮r(shí)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

4

D.當(dāng)41時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)解

【解答】解：由題意*一1>0且3—%>0,所以lvxv3,

又lg(x-V)+lg(3-x)=lg(x-l)(3-x)=lg(a-x)，

^(x-\)(3-x)=a-x,xe(l,3),

問題轉(zhuǎn)化為判斷x2-5x+a+3=0在(1,3)上的實(shí)根的個(gè)數(shù),

則a=-x2+5x-3,xw(l,3),

fM=-x2+5x-3,XG(1,3)?/(x)圖象如下：

當(dāng)lv@3,或〃="IQ時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根，

4

當(dāng)3<。<"1Q時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根，

4

當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根，

4

故選：ABD.

12.(5分)AA8C中，NA,NB,NC所對的邊分別是。，b,c依次成等差數(shù)列，貝U(

)

71

A.Be(O,y]

B.BG[—,7T)

3

C.cos2A+cos2C-4cos2B-4sinAsinC是常數(shù)

D.cosA+cosC=2-2cosB

【解答】解：〃，b,C,依次成等差數(shù)列，則加=4+C,

2222231

a+c-b"+入；(4+°)21(a+c)-lac

—ac——ac1

/.cosB=---------------=------------------------=--------------------2.2=-，當(dāng)且僅當(dāng)

2cle2ac2ac2ac2

a=c時(shí)取等號，

BG(O,y],故A正確，3錯誤；

根據(jù)正弦定理可得2sin3=sinA+sinC,

/.cos2A+cos2C-4cos2B-4sinAsinC=1-2sin2A+l-2sin2C-4+8sin2B-4sinAsinC,

=2-2sin2A-2sin2C-44-2(sinA4-sinC)2-4sinAsinC=-2,故。正確；

2b=a+c

cosA+cosC=''+'———+"———=—!—(ab2+?c2-a3+cb2+ere-c3)=-!—[b2(a+c)+ac{a+c)—(a+c)(a2-ac+c2)J

2bc2ab2abe2abe

[22r2

=--------(a+c)[b2-(a2+c2)+2ac]=2-a+C--------=2-2cosB，故。正確.

lobeac

故選：ACD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.(5分)若曲線/(x)=xsinx在x處的切線與直線ax-y+\=0平行，則實(shí)數(shù)a=]

【解答】解：由/(x)=xsinx,Wf\x)=sinx+xcosx,

直線依-y+1=0的斜率為。,

曲線/(工)=心由"在工=]處的切線與直線0￥-丫+1=0平行,

故答案為：1.

14.(5分)已知AA8C中，AC=i,BC=6，AB=2,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則CMCA=

2—'

【解答】解：AA8c中，AC=\,BC=E,AB=2,

可得AC2+8C2=Afi2,所以C4CB=0,

點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，

則CMr4=4(C4+C8)C4=1C4：=^,

故答案為：

2

15.（5分）2020年疫情期間，某醫(yī)院30天每天因患新冠肺炎而入院就診的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)

列已知q=l,4=2,且滿足=1-（-1）",則該醫(yī)院30天內(nèi)因患新冠肺炎就

診的人數(shù)共有255.

【解答】解：當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)：%*2-%=2（常數(shù)），該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列.

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列;

15x14

所以4+4+…+%)=15xl+15x2+x2=255.

2

故答案為：255.

16.（5分）在三棱錐P—A8C中，側(cè)棱曰_L底面ABC,ZBAC=120°,A8=AC=10且

PA=2BC,則該三棱錐的外接球的體積為必史經(jīng).

一3一

【解答】解：如圖所示，在AABC中，由余弦定理，可得

BC=yjAC2+AB2-2ABACCOS120°=10^,

所以，AABC外接圓的直徑2r=-^-=竺￡=20,

sin120°上

T

即r=10.

由R4J?底面ABC,且PA=28C=20G，

所以三棱錐P-ABC的外接球直徑為2R=JAP2+（2r『=40；

解得R=2O,

320004

所以該三棱錐外接球的體積為％=g〃R3=^x203=

3

32000萬

故答案為:

3

四、解答題（共6小題，滿分70分）

17.(10分)在條件①(a+b)(sinA-sinB)=(c-6)sinC,@asinB=bcos(A+—)>③

6

bsin空C=asinB中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并給出問題解答.

2

在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b+c=6,a=2前,,求AABC

的面積.

【解答】解：若選①:

由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c，即b2+c2-a2=he，

b1+c2-a2he_1

所以cosA=

2bc2bc~2

因?yàn)锳c(0,7),

所以A=工，

3

222

又。2=iy+c-be=(b+c)-3bc,

a=2A/6,〃+c=6,所以。c=4,

所以=g〃csinA=gx4xsin?=6.

若選②：

由正弦定理得：sinAsinB=sinBcos(A+—).

因?yàn)镺vBv萬，

所以sin8w0,sinA=cos(A+—),

化簡得sinA=—^cosA-」sinA,

22

即tanA=避，因?yàn)?<A<萬，所以A=工.

2

又因?yàn)?=6+C-2/7CCOS—，

6

（b4-c）2-a2

所以〃c=6~一（2歹,GP^=24-12A/3,

2+62+6

所以%8c=gbcsinA=；x（24—125/5）xg=6-3g.

若選③：

由正弦定理得sinBsinO±C=sinAsinB,

2

因?yàn)镺vBv/r,所以sin3wO,

所以sin"+'=sinA，又因?yàn)?+。=萬一/4,

2

所以cos4=2sin2cos4,

222

因?yàn)镺VAVTT,O<—<—,所以cos^wO,

222

,A1A7T

sin—=—，—,

2226

所以A=L

3

又a2=b?+c1—be=（b+（:丫—3bc,a=2^6,h+c=6.

所以歷=4,

所以SMBC=sinA=X4Xsiny=V3.

18.（12分）已知圓方程f+,2一21一4,+加=。.

（1）若圓與直線x+2y-4=0相交于M,N兩點(diǎn)，且QM，QN（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）求團(tuán)的值;

（2）在（1）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.

【解答】解：（1）由尤2+y2-2工一4），+〃2=0得（]一1y十（y—2了=5-〃？

由5—m>0,可得〃2<5…（2分）

于是由題意廣：2）；4=0

[x+y-2x-4y+in=0

x=4—2y代入X?+J_2x—4y+m=0,得5y~-16y+8+〃7=0（3分）

設(shè)M（%，y）,N（x?,y2）,則y+%=￡，XM=與'…（4分）

OMLON,

/.xix2+y%=°…（5分）

-8(y+y2)+16=0

m=~,滿足題意…（8分）

5

42

（2）設(shè)圓心為（4,6）,則。=《，.（9分）

半徑r=g/1+（-2）2也考…⑴分）

.?.圓的方程（X-§2+（y-|）2=J^…（13分）

19.（12分）記等差數(shù)列｛為｝的前a項(xiàng)和為5“,已知$5=20,4=3.

（I）求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

（H）若數(shù)列｛仇｝的通項(xiàng)公式〃=2",將數(shù)列｛4｝中與｛"｝的相同項(xiàng)去掉，剩下的項(xiàng)依次構(gòu)

成新數(shù)列｛%｝,設(shè)數(shù)列｛<;,｝的前"項(xiàng)和為7；,求刀020.

【解答】解：（I）依題意，$5=（4+產(chǎn)5=5%=20,解得：囚=4，

又〃2=3,故d=l,q=2,

所以4=4+5-1）d=〃+1.

（II）令數(shù)列｛〃“｝的前n項(xiàng)和為An,數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Bn,

I1]（I）nJ大11q=b],a?=b?,ci-j—4，《5=,...,4023="io，"2047="11，

所以與020=4o3O一旦0，

^=（2+2031）X203Q=2063495）

=2（1-2想）=2（）46,

101-2

故7；02n=2061449.

20.（12分）如圖，在三棱柱A8C-A4cl中，AABC是邊長為2的等邊三角形，,

CC,=V2,AC1=娓.

（1）求證：平面A3C_L平面BBgC；

（2）M,N分別是BC,BQ的中點(diǎn)，P是線段4G上的一點(diǎn)，AP=3PC],求二面角

尸-MN-C的大小.

Al

【解答】解：(1)證明：在三棱柱ABC-AMG中，AABC是邊長為2的等邊三角形,

BC±BB],CG=應(yīng)，AG=向

1

BC1CC,,AC+CC；=ACf,AC±CCt,

ACBC=C,ACu平面ABC,BCu平面ABC,

CC,1平面ABC,

CC,u平面BB?C,平面ABCI平面BB?C.

(2)連接A",M,N分別是BC,BC的中點(diǎn)，

■.MA,MB,MN兩兩垂直，以M為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

產(chǎn)是線段AG上的一點(diǎn)，AP=3PG,

:.M(0,0,0),N(0,y/2,0),4(0,0,后)，G(-l,6,0),

設(shè)P(a,b,c),則由AP=3PG，得(4,b,c-6)=3(-l-a,0-b,-c),

解得…八限。邛，33君6、

4'44

手)，MC=(-1,0,0),

MN=(0,夜，0),MP=(--,36

設(shè)平面MVP的法向量〃=(x,y,z),

n-MN-=0

則..33豆G八,取X=1,得〃=(1,o,G),

n?MPD=——x+-----y+——z=0

44'4

平面MNC的法向量加=(0,0,1),

設(shè)二面角P—MN—c的大小為e.

V3

貝ljcosc0=」\-m----n\.

\m\-\n\2

二面角P-MN-C的大小為衛(wèi).

6

21.（12分）為了響應(yīng)綠色出行，某市推出了新能源分時(shí)租賃汽車，并對該市市民使用新能

源租賃汽車的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，得到有關(guān)數(shù)據(jù)如表1：

表1

愿意使用新能源租賃不愿意使用新能源租總計(jì)

汽車賃汽車

男性100300

女性400

總計(jì)400

其中一款新能源分時(shí)租賃汽車的每次租車費(fèi)用由行駛里程和用車時(shí)間兩部分構(gòu)成:行駛里程

按1元/公里計(jì)費(fèi)；用車時(shí)間不超過30分鐘時(shí)，按0.15元/分鐘計(jì)費(fèi)；超過30分鐘時(shí)，超

出部分按0.20元/分鐘計(jì)費(fèi)，已知張先生從家到上班地點(diǎn)15公里，每天上班租用該款汽車

一次，每次的用車時(shí)間均在20~60分鐘之間，由于堵車、紅綠燈等因素，每次的用車時(shí)間r

（分鐘）是一個(gè)隨機(jī)變量，張先生記錄了100次的上班用車時(shí)間，并統(tǒng)計(jì)出在不同時(shí)間段內(nèi)

的頻數(shù)如表2:

表2

時(shí)間，（分鐘）(20,30](30,40](40,50](50,601

頻數(shù)20403010

（1）請補(bǔ)填表1中的空缺數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為該市市民對新能源租賃汽

車的使用態(tài)度與性別有關(guān);

(2)根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，以各時(shí)間段的區(qū)間中點(diǎn)值代表

該時(shí)間段的取值，試估計(jì)張先生租用一次該款汽車上班的平均用車時(shí)間;

(3)若張先生使用滴滴打車上班，則需要車費(fèi)27元，試問：張先生上班使用滴滴打車和租

用該款汽車，哪一種