2020年初中數(shù)學(xué)中考云南八地市試題解析

云南省八地市2020年年中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題只有一個正確選項，每小題3分，滿分24分）

1.（3分）（2020年?云南）-6的絕對值是（）

A.-6B.6C.±6D.1

""6

考點：絕對值.

專題：計算題.

分析：根據(jù)絕對值的性質(zhì)，當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a,解答即可；

解答：解：根據(jù)絕對值的性質(zhì)，

I-6|=6.

故選B.

點評：本題考查了絕對值的性質(zhì)，熟記：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是

它的相反數(shù)；0的絕對值是0.

2.（3分）（2020年?云南）下列運(yùn)算，結(jié)果正確的是（）

A.m6-e-m3=m2B.3mn2?m2n=3m;,n3C.（m+n）2=m2+n2D.2mn+3mn=5m2n2

考點：單項式乘單項式；合并同類項；同底數(shù)基的除法；完全平方公式.

分析：依據(jù)同底數(shù)的基的除法、單項式的乘法以及完全平方公式，合并同類項法則即可判斷.

解答：解：A、m6-i-m3=m3＞選項錯誤；

B、正確；

C、（m+n）2=nr+2mn+n2,選項錯誤；

D、2mn+3mn=5mn,選項錯誤.

故選B.

點評：本題主要考查了合并同類項的法則，塞的乘方的性質(zhì)，單項式的乘法法則，熟練掌握

運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

3.（3分）（2020年?云南）圖為某個幾何體的三視圖，則該幾何體是（）

B.

考點：由三視圖判斷幾何體.

分析：由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀.

解答：解：由主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體，由俯視圖是正方形可判斷出這個幾何體

應(yīng)該是長方體.

故選D.

點評：考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考

查.主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形.

4.（3分）（2020年?云南）2012年中央財政安排農(nóng)村義務(wù)教育營養(yǎng)膳食補(bǔ)助資金共150.5

億元，150.5億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.505x1（）9元B.1.505x1010元C.0.1505x10”元D.15.05x1（）9元

考點：科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中i<|a|<io,n為整數(shù).確定n的值時，

要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對值>1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值VI時，n是負(fù)數(shù).

解答：解:將150.5億元用科學(xué)記數(shù)法表示1.505x1010元.

故選B.

點評：此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axl（）n的形式，其中i[a|

<10,n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

5.（3分）（2020年?云南）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,下列

結(jié)論正確的是（）

A.S°ABCD=4SAA0BB.AC=BD

C.AC±BDD.oABCD是軸對稱圖形

考點：平行四邊形的性質(zhì).

分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分別判斷得出答案即可.

解答：解：A、?.?平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,

.\AO=CO,DO=BO,

SAAOD=SADOC=SABOC=SAAOB,

SaABCD=4SAAOB.故此選項正確；

B、無法得到AC=BD,故此選項錯誤；

C、無法得到ACLBD,故此選項錯誤；

D、口ABCD是中心對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：A.

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，正確把握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.（3分）（2020年?云南）已知。O1的半徑是3cm,。2的半徑是2cm,OiO2=J^cm,則

兩圓的位置關(guān)系是（）

A.相離B.外切C.相交D.內(nèi)切

考點：圓與圓的位置關(guān)系；估算無理數(shù)的大小_

分析：由。Oi與。02的半徑分別為3cm、2cm,且圓心距0102=J&m,根據(jù)兩圓位置關(guān)系

與圓心距d,兩圓半徑R,r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關(guān)系.

解答：解：：。01與。02的半徑分別為3cm、2cm,且圓心距0102=J&m,

又：3+2=5>^，3-2=1<V6>

???兩圓的位置關(guān)系是相交.

故選C.

點評：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系.解題的關(guān)鍵是掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d,兩圓半

徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.

/_q

7.（3分）（2020年?云南）要使分式^一的值為0,你認(rèn)為x可取得數(shù)是（）

3x+9

A.9B.±3C.-3D.3

考點：分式的值為零的條件.

分析：根據(jù)分式的值為零的條件可以求出x的值.

解答：解：由分式的值為零的條件得x2-9=0,3x+9*0,

由x2-9=0,Wx=±3,

由3x+9w0,得xw-3,

綜上，得x=3.

故選D.

點評：本題考查了分式的值為零的條件，若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子

為0；（2）分母不為0.這兩個條件缺一不可.

8.（3分）（2020年?云南）若ab>0,則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)丫=生在同一坐標(biāo)系

數(shù)中的大致圖象是

考點：反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象.

分析：根據(jù)ab>0,可得a、b同號，結(jié)合一次函數(shù)及反比例函數(shù)的特點進(jìn)行判斷即可.

解答：解：A、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a>0,b>0,根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab>0,故符合題

意，本選項正確；

B、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a<0,b<0,根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab<0,故不符合題意,

本選項錯誤；

C、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a<0,b>0,根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab>0,故不符合題意,

本選項錯誤；

D、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a>0,b>0,根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab<0,故不符合題意,

本選項錯誤；

故選A.

點評：本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才

能靈活解題.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）

9.（3分）（2020年?云南）25的算術(shù)平方根是5.

考點：算術(shù)平方根.

分析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果.

解答：解：???52=25,

A25的算術(shù)平方根是5.

故填5.

點評：易錯點：算術(shù)平方根的概念易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯誤.規(guī)律總結(jié)：弄清概念

是解決本題的關(guān)鍵.

10.（3分）（2020年?云南）分解因式：-4x=x（x+2）（x-2）.

考點：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

分析：應(yīng)先提取公因式x,再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解.

解答：解：X3-4X,

=x（x2-4）,

=x（x+2）（x-2）.

點評：本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行二次因

式分解，分解因式一定要徹底，直到不能再分解為止.

II.（3分）（2020年?云南）在函數(shù)y=立正中，自變量x的取值范圍是x2-1且xM.

考點：函數(shù)自變量的取值范圍；分式有意義的條件：二次根式有意義的條件.

分析：本題主要考查自變量的取值范圍，函數(shù)關(guān)系中主要有二次根式和分式兩部分.根據(jù)二

次根式的意義，被開方數(shù)x+120,根據(jù)分式有意義的條件，xwO.就可以求出自變量x

的取值范圍.

解答：解：根據(jù)題意得：x+120且xwO

解得：x2-1且x#0.

故答案為：x2-1且XHO

點評：函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：

（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

12.（3分）（2020年?云南）已知扇形的面積為2n,半徑為3,則該扇形的弧長為（結(jié)

一3一

果保留n）.

考點：扇形面積的計算；弧長的計算

分析：利用扇形的面積公式S扇彩=』R（其中1為扇形的弧長，R為扇形所在圓的半徑）求解

2

即可.

解答：解：設(shè)扇形的弧長為1,

由題意，得工以3=2兀，

2

解得i=12L.

3

故答案為&.

3

點評：本題主要考查了扇形的面積公式，計算扇形的面積有2個公式：S扇彩=皿針或S扇彩

360

=」R（其中n為圓心角的度數(shù)，R為扇形所在圓的半徑，1為扇形的弧長），需根據(jù)條

2

件靈活選擇公式.

13.（3分）（2020年?云南）如圖，已知AB〃CD,AB=AC,ZABC=68%則NACD=44°

考點：等腰三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

分析：根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出NBAC,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答.

解答：解：VAB=AC,NABC=68。，

二ZBAC=180°-2x68°=44。，

：AB〃CD,

；./ACD=NBAC=44。.

故答案為：44°.

點評：本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記各性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

14.（3分）（2020年?云南）下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：1,3,A,JL,...那么第n

471219

個數(shù)是.2n-1

n2+3

考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

專題：規(guī)律型.

分析：觀察不難發(fā)現(xiàn)，分子是連續(xù)的奇數(shù)，分母減去3都是平方數(shù)，根據(jù)此規(guī)律寫出第n個

數(shù)的表達(dá)式即可.

解答:解：?.?分子分別為1、3、5、7...

.?.第n個數(shù)的分子是2n-1,

?.?4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,

二第n個數(shù)的分母為M+3,

...第n個數(shù)是里二.

n2+3

故答案為：空2n廠—1L

n+3

點評：本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，從分子與分母兩個方面考慮求解是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共9個小題，滿分58分）

15.（4分）（2020年?云南）計算：sin30°+（&-1）0+（1）-2-1.

22

考點：實數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)累；負(fù)整數(shù)指數(shù)累；特殊角的三角函數(shù)值.

分析：分別進(jìn)行零指數(shù)基、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算，然后代入特殊角的三角函數(shù)值即可.

解答：解：原式=1+1+4-1=5.

22

點評：本題考查了實數(shù)的運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是掌握零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算法則,

熟記特殊角的三角函數(shù)值.

16.（5分）（2020年?云南）如圖，點B在AE上，點D在AC上，AB=AD.請你添加一個

適當(dāng)?shù)臈l件，使aABC之4ADE（只能添加一個）.

（1）你添加的條件是/C=/E.

（2）添加條件后，請說明AABC絲Z\ADE的理由.

考點：全等三角形的判定.

專題：開放型.

分析：（1）可以根據(jù)全等三角形的不同的判定方法選擇添加不同的條件;

（2）根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可.

解答：解：（1）VAB=AD,NA=NA,

二若利用"AAS",可以添加NC=NE,

若利用"ASA",可以添加/ABC=/ADE,或/EBC=NCDE,

若利用"SAS",可以添力口AC=AE,或BE=DC,

綜上所述，可以添加的條件為/C=/E（或ZABC=ZADE或/EBC=ZCDE或AC=AE

或BE=DC）；

故答案為：ZC=ZE；

（2）選NC=/E為條件.

ZA=ZA

理由如下：在aABC和4ADE中，.NC=/E，

AB=AD

.?.△ABCg△ADE（AAS）.

點評：本題主要考查了全等三角形的判定，開放型題目，根據(jù)不同的三角形全等的判定方法

可以選擇添加的條件也不相同.

17.（6分）（2020年?云南）如圖，下列網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,圖中"魚"的

各個頂點都在格點上.

（1）把"魚"向右平移5個單位長度，并畫出平移后的圖形.

（2）寫出A、B、C三點平移后的對應(yīng)點A'、B'、C'的坐標(biāo).

考點：利用平移設(shè)計圖案

專題：作圖題.

分析：（1）將各能代表圖形形狀的點向右平移5個單位，順次連接即可;

（2）結(jié)合坐標(biāo)系，可得出A'、B'、C'的坐標(biāo).

解答：解：（1）如圖所示：

（2）結(jié)合坐標(biāo)系可得：A'（5,2）,B'（0,6）,C（1,0）.

點評：本題考查了平移作圖的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)，注意按要求規(guī)范作

圖.

18.（7分）（2020年?云南）近年來，中學(xué)生的身體素質(zhì)普遍下降，某校為了提高本校學(xué)生

的身體素質(zhì)，落實教育部門"在校學(xué)生每天體育鍛煉時間不少于1小時”的文件精神，對部分

學(xué)生的每天體育鍛煉時間進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計.以下是本次調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.

組別ABCDE

時間t（分鐘）t<4040<t<6060<t<8080<t<100t>100

人數(shù)1230a2412

（I）求出本次被調(diào)查的學(xué)生數(shù)：

（2）請求出統(tǒng)計表中a的值；

（3）求各組人數(shù)的眾數(shù)；

（4）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請你估計該校2400名學(xué)生中每天體育鍛煉時間不少于1小時的學(xué)生人

考點：扇形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；統(tǒng)計表；眾數(shù).

分析：（1）根據(jù)A組有12人，占被調(diào)查總數(shù)的10%,據(jù)此即可求得總?cè)藬?shù)；

（2）總?cè)藬?shù)減去其它各組的人數(shù)即可求得；

（3）根據(jù)眾數(shù)的定義即可求解；

（4）利用2400乘以對應(yīng)的比例即可求解.

解答:解：（1）12+10%=120（人）；

（2）a=120-12-30-24-12=42；

（3）眾數(shù)是12人；

（4）每天體育鍛煉時間不少于1小時的學(xué)生人數(shù)是：2400*42+24+12=]560（人）.

120

點評：本題考查的是扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信

息是解決問題的關(guān)鍵.扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

19.（7分）（2020年?云南）如圖，有一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被平均分成3個扇形，分別

標(biāo)有1、2、3三個數(shù)字，小王和小李各轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤為一次游戲，當(dāng)每次轉(zhuǎn)盤停止后，指針

所指扇形內(nèi)的數(shù)為各自所得的數(shù)，一次游戲結(jié)束得到一組數(shù)（若指針指在分界線時重轉(zhuǎn)）.

（1）請你用樹狀圖或列表的方法表示出每次游戲可能出現(xiàn)的所有結(jié)果；

（2）求每次游戲結(jié)束得到的一組數(shù)恰好是方程x2-3x+2=0的解的概率.

考點：列表法與樹狀圖法；一元二次方程的解.

專題：計算題.

分析：（1）列表得出所有等可能的情況數(shù)即可；

（2）找出恰好是方程x2-3x+2=0的解的情況數(shù)，求出所求的概率即可.

解答：解：（1）列表如下：

123

1(1,1)(2,1)(3,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

（2）所有等可能的情況數(shù)為9種，其中是x2-3x+2=0的解的為（1,2）,（2,1）共

2種，

則P是方程解=2

9

點評：此題考查了列表法與樹狀圖法，以及一元二次方程的解，用到的知識點為：概率=所

求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

20.（6分）（2020年?云南）如圖，我國的一艘海監(jiān)船在釣魚島A附近沿正東方向航行，船

在B點時測得釣魚島A在船的北偏東60。方向，船以50海里/時的速度繼續(xù)航行2小時后到

達(dá)C點，此時釣魚島A在船的北偏東30。方向.請問船繼續(xù)航行多少海里與釣魚島A的距

離最近？

考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.

分析：過點A作AD1BC于D,則垂線段AD的長度為與釣魚島A最近的距離，線段CD

的長度即為所求.先由方位角的定義得出NABC=30。，ZACD=60°,由三角形外角的

性質(zhì)得出/BAC=30。，則CA=CB=100海里，然后解直角aADC,得出CD=』AC=50

2

海里.

解答：解：過點A作AD1BC于D,根據(jù)題意得

ZABC=30°,ZACD=60°,

.,?ZBAC=ZACD-ZABC=30°,

.\CA=CB.

VCB=50x2=100（海里），

.,.CA=100（海里），

在直角AADC中，ZACD=60%

ACD=lAC=lx100=50（海里）.

22

故船繼續(xù)航行50海里與釣魚島A的距離最近.

點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，難度適中.解一般三角形，求三角形

的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線.

21.（7分）（2020年?云南）已知在aABC中，AB=AC=5,BC=6,AD是BC邊上的中線,

四邊形ADBE是平行四邊形.

（1）求證：四邊形ADBE是矩形；

（2）求矩形ADBE的面積.

考點：矩形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì).

分析：（1）利用三線合一定理可以證得NADB=90。，根據(jù)矩形的定義即可證得;

（2）利用勾股定理求得BD的長，然后利用矩形的面積公式即可求解.

解答：解：（1）VAB=AC,AD是BC的邊上的中線，

AADIBC,

，NADB=90°,

四邊形ADBE是平行四邊形.

,平行四邊形ADBE是矩形；

（2）：AB=AC=5,BC=6,AD是BC的中線，

.".BD=DC=6xl=3,

2

在直角4ACD中，

AD=7AC2-DC_32=4'

AS矩形ADBE二BD?AD=3X4=12.

點評：本題考查了三線合一定理以及矩形的判定，理解三線合一定理是關(guān)鍵.

22.（7分）（2020年?云南）某中學(xué)為了綠化校園，計劃購買一批棵樹和香樟樹，經(jīng)市場調(diào)

查榕樹的單價比香樟樹少20元，購買3棵榕樹和2棵香樟樹共需340元.

（1）請問榕樹和香樟樹的單價各多少？

（2）根據(jù)學(xué)校實際情況，需購買兩種樹苗共150棵，總費(fèi)用不超過10840元，且購買香樟

樹的棵樹不少于榕樹的1.5倍，請你算算，該校本次購買榕樹和香樟樹共有哪幾種方案.

考點：一元一次不等式組的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用.

分析：（1）設(shè)榕樹的單價為x元/棵，香樟樹的單價是y元/棵，然后根據(jù)單價之間的關(guān)系和

340元兩個等量關(guān)系列出二元一次方程組，求解即可；

（2）設(shè)購買榕樹a棵，表示出香樟樹為（150-a）棵，然后根據(jù)總費(fèi)用和兩種樹的

棵數(shù)關(guān)系列出不等式組，求出a的取值范圍，在根據(jù)a是正整數(shù)確定出購買方案.

解答：解：（1）設(shè)榕樹的單價為x元/棵，香樟樹的單價是y元/棵，

根據(jù)題意得，J’,

3x+2y=340

解得產(chǎn)60,

[y=80

答：榕樹和香樟樹的單價分別是60元/棵，80元/棵;

（2）設(shè)購買榕樹a棵，則購買香樟樹為（150-a）棵,

'60a+80(150-a)410840①

根據(jù)題意得，

150-a>1.5a②

解不等式①得，a258,

解不等式②得，aS60,

所以，不等式組的解集是58%460,

只能取正整數(shù)，

，a=58、59、60,

因此有3種購買方案：

方案一：購買榕樹58棵，香樟樹92棵,

方案二：購買榕樹59棵，香樟樹91棵,

方案三：購買榕樹60棵，香樟樹90棵.

點評：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀

懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系.

23.(9分)(2020年?云南)如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，下底AB在x軸上，點D在

y軸上，直線AC與y軸交于點E(0,1),點C的坐標(biāo)為(2,3).

(1)求A、D兩點的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過A、D、C三點的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在y軸上是否在點P,使4ACP是等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的所有點P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題

分析：(1)利用待定系數(shù)法求出直線EC的解析式，確定點A的坐標(biāo)；然后利用等腰梯形

的性質(zhì)，確定點D的坐標(biāo)；

(2)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

(3)滿足條件的點P存在，且有多個，需要分類討論：

①作線段AC的垂直平分線，與y軸的交點，即為所求：

②以點A為圓心，線段AC長為半徑畫弧，與y軸的兩個交點，即為所求；

②以點C為圓心，線段CA長為半徑畫弧，與y軸的兩個交點，即為所求.

解答：解：(1)設(shè)直線EC的解析式為y=kx+b,根據(jù)題意得：

產(chǎn)，解得”,

12k+b=3Ib=l

y=x+1,

當(dāng)y=0時,x=-1,

二點A的坐標(biāo)為(-1,0).

:四邊形ABCD是等腰梯形，C(2,3),

二點D的坐標(biāo)為(0,3).

(2)設(shè)過A(-1,0)、D(0,3)、C(2,3)三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

則有：

a-b+c=Oa=l

'c=3,解得，b=-2,

4a+2b+c=3c=3

.?.拋物線的關(guān)系式為：y=x2-2x+3.

(3)存在.

①作線段AC的垂直平分線，交y軸于點口，交AC于點F.

VOA=OE,.?.△OAE為等腰直角三角形，ZAEO=45°,

.".ZFEPi=ZAEO=45°,.,.AFEPi為等腰直角三角形.

VA(-1,0),C(2,3),點F為AC中點,

.?.等腰直角三角形4FEPi斜邊上的高為工，

2

；.EPi=l,

AP1(0,2)；

②以點A為圓心，線段AC長為半徑畫弧，交y軸于點P2,P3.

可求得圓的半徑長AP2=AC=3&.

連接AP2,則在RtZ\AOP2中，

OP222=22

^AP2-0AV(372)-l=V17>

;.P2(o,VT7).

,/點P3與點P2關(guān)于X軸對稱，；.P3(0,-舊)；

③以點C為圓心，線段CA長為半徑畫弧，交y軸于點P4,P5,則圓的半徑長

CP4=CA=3后

在RtMDP4中，CP4=3&,CD=2,

'DP4=JCP、2_CD2=J(M)2.22=VH，

OP4=OD+DP4=3+A/T^,

P4(0>3+H14);

同理，可求得：P5(0,3-V14).

綜上所述，滿足條件的點P有5個，分別為：Pi(0,2),P2(0,仍萬)，P3(0,

VT7)，P4(0,3+JH)，P5(0,3-V14).

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰三角形的

判定、勾股定理等知識點.難點在于第(3)問，符合條件的點P有多個，需要分類

討論，避免漏解；其次注意解答中確定等腰三角形的方法，即作垂直平分線、作圓來

確定等腰三角形.

1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.

(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母

的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，

是否符合實際，檢驗后寫出答案.

2.和差倍分問題：增長量=原有量義增長率現(xiàn)在量

=原有量+增長量

3.等積變形問題：常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積義高=S?h=；rr2h

②長方體的體積V=長義寬X高=2n

4.數(shù)字問題

一般可設(shè)個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.十位數(shù)

可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場經(jīng)濟(jì)問題

（1）商品利潤=商品售價一商品成本價（2）商品利潤率=

商品利潤X100%

商品成本價

（3）商品銷售額=商品銷售價X商品銷售量

（4）商品的銷售利潤=（銷售價一成本價）X銷售量

（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售，如商品打

8折出售，即按原標(biāo)價的80%出售.

6.行程問題：路程=速度X時間時間=路程+速度速度=路

程4■時間

（1）相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）

速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）

速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點考

慮相等關(guān)系.

7.工程問題：工作量=工作效率X工作時間

完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

8.儲蓄問題

利潤=每個期裝的利息x100%利息=本金X利率X期數(shù)

本金

實際問題與二元一次方程組題型歸納(練習(xí)題答案)

類型一：列二元一次方程組解決——行程問題

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，

那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)

3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？

解：設(shè)甲，乙速度分別為x,y千米/時，依題意得：

(2.5+2)x+2.5y=36

3x+(3+2)y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時，乙的速度是3.6千米/每小時。

【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流

用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。

解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時，則水流速度y千米/小時，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得：x=17,y=3

答：這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時、水流速度3千米/小時，

類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2

萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若

只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說

明理由.

解：

設(shè)甲、乙兩公司每周完成工程的X和y,則

11X=—

￡得，10故1+工=10（周）11+工=15周

［4“x+n9『=,ly=—11015

即甲、乙完成這項工程分別需10周，15周

又設(shè)需付甲、乙每周的工錢分別為3元，b萬元則

_3

6a+6b=5.2a~5,（10a=6（萬元）

得/B，此D時！_

4a+9b=488_41158=4②兀）

比較知，從節(jié)約開支角度考慮，選乙公司劃算

類型三：列二元一次方程組解決——商品銷售利潤問題

【變式1］（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，

共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元,

李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝

【變式2］某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價和售價

如下表：

AB

進(jìn)價（元/件）12001000

售價（元/件）13801200

（注：獲利=售價一進(jìn)價）求該商場購進(jìn)A、B兩種商品各多少件;

解：設(shè)購進(jìn)A的數(shù)量為x件、購進(jìn)B的數(shù)量為y件，依據(jù)題意列方程組

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

類型四：列二元一次方程組解決——銀行儲蓄問題

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時用兩種方式共

存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相

同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀

行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元（不計利息稅），問小敏的

爸爸兩種存款各存入了多少元？

解：設(shè)x為第一種存款的方式，丫第二種方式存款，則

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500o

答：略。

類型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問題

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與

兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成

一批完整的盒子？

解：設(shè)x張做盒身，y張做盒底，則有盒身8x個，盒底22y個

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110張做盒身，80張做盒底

【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品,

每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺

母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解：設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為x人,生產(chǎn)螺母的工人為v人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【變式3】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做

桌面50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多

少張方桌？

解：設(shè)用X立方米做桌面，用丫立方米做桌腿

X+Y=5.........................⑴

50X：300Y=1：4.......................⑵

解得：丫=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

類型六：列二元一次方程組解決——增長率問題

【變式2］某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人

口增加1.1%,這樣全市人口增加1%,求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬人，農(nóng)村人口有y萬人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解這個方程組，得：x=14,y=28

答：該市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有14萬人，農(nóng)村人口有28萬人。

類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題

【變式1】略

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。

如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽

比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

解：設(shè)：男有X人，女有丫人，則

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

類型八：列二元一次方程組解決一一數(shù)字問題

【變式1］一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以

它的各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1,這個兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)這個兩位數(shù)十位數(shù)是X,個位數(shù)是y,則這個數(shù)是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1⑵

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：這個兩位數(shù)是56

【變式2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個

位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個兩位數(shù)？

解：設(shè)個位X,十位Y,有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+丫=13

解得：X=9?Y=4

這個數(shù)就是49

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0,其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9,如果百位

數(shù)字減1,個位數(shù)字加1,則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，

求原三位數(shù)。

解：設(shè)原數(shù)百位是x,個位是y那么

x+y=9

x-y=1

兩式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原數(shù)是504

類型九：列二元一次方程組解決一一濃度問題

【變式1］要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水

各需多少？

解：設(shè)10%的X克，85%的Y克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即：X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：Y=5.6

答：略

【變式2)一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%

的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

解：800千克1.75%的農(nóng)藥中含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800x1.75%=14千克

含14千克純農(nóng)藥的35%的農(nóng)藥質(zhì)量為14+35%=40千克

由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為800-40=760千克

答：用40千克濃度為35%的農(nóng)藥添加760千克的水，才能配成濃度為1.75%的農(nóng)藥

800千克。

類型十：列二元一次方程組解決——幾何問題

【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長

邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形

的面積比矩形面積大多少？

解：設(shè)長方形的長寬分別為x和y厘米，則

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得：x=15,y=9

正方形的面積比矩形面積大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答：略

【變式2]一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m,它的周長是132m,則長和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長為xn:，寬為ym，則

142

_132

x-v......-“一-3

"2解得.

_56

2j+10=xy

3

所以寬和長分別為苧m、142

類型十一：列二元一次方程組解決一年齡問題

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后,

他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

解：設(shè)小李X歲，爺爺Y歲，則

5X=Y

3(X+12)=Y+12

兩式聯(lián)立解得：X=12Y=60

所以小李今年12歲，爺爺今年60歲。

類型十二：列二元一次方程組解決一一優(yōu)化方案問題:

【變式】某商場計劃撥款9萬元從廠家購進(jìn)50臺電視機(jī)，已知廠家生產(chǎn)三種不同

型號的電視機(jī)，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元。

(1)若商場同時購進(jìn)其中兩種不同型號的電視機(jī)50臺，用去9萬元，請你研究一下商

場的進(jìn)貨方案；

(2)若商場銷售一臺甲、乙、丙電視機(jī)分別可獲利150元、200元、250元，在以上的

方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進(jìn)貨方案？

解：Q)分情況計算：設(shè)購進(jìn)甲種電視機(jī)*臺，乙種電視機(jī)y臺，丙種電視機(jī)z臺.

x+j=50,r=25,

15OOx+2100y=90000懈得‘

（I）購進(jìn)甲、乙兩種電視機(jī)y=25.

Jx+z=50,r=35,

15OOx+25OOy=90000.解得“

（H）購進(jìn)甲、丙兩種電視機(jī)y=15.

Jy+z=50,X=87J5,

【2100"2500z=90000.解得=-375（不合實際，舍去）

（HI）購進(jìn)乙、丙兩種電視機(jī)

故商場進(jìn)貨方案為購進(jìn)甲種25臺和乙種25臺；或購進(jìn)甲種35臺和丙種15臺.

（2）按方案（I），獲利150x25+200x25=8750（元）;

按方案（U），獲利150x35+250xl5=9000（元）.

二選擇購進(jìn)甲種35臺和丙種15臺.

三、列方程解應(yīng)用題

1.將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先

做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？

2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍?

3.將一個裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的

水，倒入一個內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到

0.1毫米，乃、3.14）.

4.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋

需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長.

5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5,這種三色冰淇淋

中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克？

6.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個.在這16名工人中,

一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.已知每加工一個甲種零件可獲利16元,

每加工一個乙種零件可獲利24元.若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個工人加

工甲種零件.

7.某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過

部分按基本電價的70%收費(fèi).

(1)某戶八月份用電84千瓦時，共交電費(fèi)30.72元，求a.

(2)若該用戶九月份的平均電費(fèi)為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？應(yīng)交電費(fèi)是

多少元？

8.某家電商場計劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺電視機(jī).已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號

的電視機(jī)，出廠價分別為A