2020-2021學(xué)年新人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)綜合十七（含解析）

綜合十七-【新教材】人教A版(2019)

高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)(含解析)

一、單選題

1.設(shè)全集U=R，集合A={y|y=log2%,久>2},B=［x\y=Vx-1}>則()

A.4UBB.AVB=AC.4cB=0D.4n(幾8)芋0

2.已知函數(shù)f(x)=品，下列關(guān)于/(x)的性質(zhì)，推斷正確的有)

①函數(shù)的定義域?yàn)镽②函數(shù)是偶函數(shù)③函數(shù)f(x)與f(x-2)的值域相同

④/(x)在(0,1)上遞增⑤f(x)在［1,2］上有最大值1

A.2B.3C.4D.5

3.已知函數(shù)/'(x)=cos(2x—§—2sin(x+?)cos(x+9，%GR1給出下列四個(gè)命

題：

①函數(shù)f(x)的最小正周期為2兀；

②函數(shù)f(x)的最大值為1；

③函數(shù)/(X)在卜"］上單調(diào)遞增；

④將函數(shù)f(x)的圖象向左平移工個(gè)單位長度，得到的函數(shù)解析式為g(x)=Sin2x.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

4.已知平面向量五是，不滿足對(duì)任意久eR都有|五一xB||BI,|a—xc|>|a—

有成立，|五一角=|萬一角=1，|a-K|=V3(則|磯的值為()

A.1B.V3C.2D.V7

5.已知復(fù)數(shù)2=言，則下列說法正確的是()

A.z的虛部為4iB.z的共筑復(fù)數(shù)為l-4i

C.|z|=5D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

6.在棱長為1的正方體ABCD-4B1GD1中，ACnBD=0,E是線段&C(含端點(diǎn))上

的一動(dòng)點(diǎn)，

①OE1BQ;

②。。/面4?。;

③點(diǎn)E到平面4BD的距離為定值;

④0E與AG所成的最大角為90。.

上述命題中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

7.為了解本市居民的生活成本，兩名同學(xué)利用假期分別對(duì)甲乙兩個(gè)社區(qū)進(jìn)行了“家庭

每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（

如圖所示）.下列結(jié)論中正確的是（）

A.甲社區(qū)家庭月消費(fèi)不超過2000元的比例小于乙社區(qū)

B.甲社區(qū)家庭月消費(fèi)不超過2500元的比例大于乙社區(qū)

C.甲社區(qū)家庭月消費(fèi)的平均水平高于乙社區(qū)

D.甲社區(qū)家庭月消費(fèi)的方差大于乙社區(qū)家庭月消費(fèi)的方差

第2頁，共27頁

8.下列不等式或命題一定成立的是()

①lg(/+[)》lgx(x>0)；@sinx+->2(xRkn,k€Z)；

③%2+1》2|x|(x￡R)；④y=(xeR)最小值為2.

A.①②B.②③C.①③D.②④

二、多選題

(a

x-\"—,z>()

x

9.有關(guān)函數(shù)/")=1x，下列說法正確的是()

br+—1<。

A.存在實(shí)數(shù)a,b,c,使f(x)是奇函數(shù)

B.若/(x)在(0,+8)上為單調(diào)增函數(shù)，則a<0

C.若f(%)是偶函數(shù)，貝必二-1,c=-a

D./(x)在區(qū)間弓,2如)上沒有最小值

10.下列化簡正確的是()

A.sinl5°sin30°sin75°=-B.cos2150-sin215°=—

82

3-4COS200+COS4。。=4?

c.—___=2D.tan1()

*sinlO°cosl003+4cos200+cos400

11.下列說法中錯(cuò)誤的為()

A.已知1=(1,2),方=(1,1)且君與3+4石夾角為銳角，則；16(—|,+8)

B.已知五=(2,-3),3=4,一》不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.若五與亮P行，五在方方向上的投影為|五|

D.若非零落3滿足|a|=|K|=|a-K|則五與五+石的夾角是60。

12.如圖，矩形A8CO中，AB=2AD=2,E是邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線。E翻

折成△&DEQ41至平面ABCD),若M為線段41c的中點(diǎn)，則在△力DE翻折過程中,

下列結(jié)論正確的是()

Ai

A.恒有BM〃平面40E

B.B與M兩點(diǎn)間的距離恒為定值

C.三棱錐4-DEM的體積的最大值為出

12

D.存在某個(gè)位置，使得平面4DE，平面4CD

三、填空題

13.已知函數(shù)外外=1-券為奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值為

14.已知cos(x-^)=p則cos(2x+今+sin2(^-x)的值為

15.給出下列命題:

①函數(shù)y=2,與y=log?》互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

②已知函數(shù)/(x-1)=x2-2x+1,則/(5)=26；

③當(dāng)a>0且a豐1時(shí)，函數(shù)f。)=ax-2-3的圖像必過定點(diǎn)(2,-2)；

④用二分法求函數(shù)/'(x)=111%+2%-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點(diǎn)近似值，至少經(jīng)過3次

二分后精確度達(dá)到0.1;

⑤函數(shù)/(x)=2X-/的零點(diǎn)有2個(gè)。

其中所有氐聊命踵的序號(hào)是

16.如圖，菱形ABCQ的邊長為3,對(duì)角線AC與8。相交于

。點(diǎn)，為BC邊(包含端點(diǎn))上一點(diǎn)，則向?

的取值范圍是,邑.石力的最小值為.

17.如圖，在四棱錐S-4BCD中,SAJ_平面ABCQ,底面ABCQ

是菱形，且4D4B=60°,SA^AB=1,則異面直線SD

與BC所成角的余弦值為,直線8c到平面SAO的

距離為.

四、解答題

18.已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2+2V3cos2x—V3

(1)求它的單調(diào)遞增區(qū)間；

第4頁，共27頁

(2)若％e(05)，求此函數(shù)的值域.

19.已知向量出在向量加=(1,百)方向上的投影為2,(a-2b)la.

(1)求向量五與B的夾角：

(2)求|2可一石|的值;

(3)若向量工=3五一43,d=ma+b>c//d，求〃?的值.

20.某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨(dú)立地從A,

B,C,。四所高校中選2所.

(1)求甲、乙、丙三名同學(xué)都選。高校的概率.

(2)若已知甲同學(xué)特別喜歡A高校，他必選A高校，另在8,C,。三校中再隨機(jī)選

1所;而同學(xué)乙和丙對(duì)四所高校沒有偏愛，因此他們每人在四所高校中隨機(jī)選2所.

(國)求甲同學(xué)選。高校且乙、丙都未選D高校的概率；

(回)求甲、乙、丙三名同學(xué)中選。高校的人數(shù)正好為2人的概率.

21.為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所

示的四邊形ABCD.其中48=3百米，AD=遍百米，且△8C。是以。為直角頂點(diǎn)的

等腰直角三角形.擬修建兩條小路AC,BD(路的寬度忽略不計(jì))，設(shè)484。=氏

(1)當(dāng)cos。=一?時(shí)，求小路AC的長度；

(2)當(dāng)草坪ABCD的面積最大時(shí)，求此時(shí)小路BD的長度.

22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD//BC,AADC=^PAB=90°,BC=CD=\AD.E

為棱A。的中點(diǎn)，異面直線PA與C￡＞所成的角為90。.

第6頁，共27頁

(1)在平面P4B內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM〃平面P8E,并說明理由；

(2)若二面角P-CD-A的大小為45。，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查集合的概念，集合的包含關(guān)系，以及集合的交集與并集，解答本題的關(guān)鍵是先

確定集合的范圍.

首先求出集合A,B,然后判斷選項(xiàng)，得出結(jié)果.

【解答】

解：,??設(shè)全集1/=R,集合.A{i/Lylog^r.-r>2},

vx>2,對(duì)于函數(shù)y=log2%單調(diào)遞增，

???y>1,

二集合4={y}y>1],

B=（x\y=yjx—1},x-1>0,

???集合8=（x\x>1}

A.AcB,故A正確，

B.AUB=B,故B錯(cuò)誤；

C.AnBR0,故C錯(cuò)誤；

D.AnCuB=0,故力錯(cuò)誤.

故選A.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了函數(shù)的定義域與值域，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的對(duì)稱性等知識(shí)點(diǎn)，屬于

中檔題.

根據(jù)解析式求得定義域，利用基本不等式可求得;"（X）的最值，利用特殊值可判定圖象不

關(guān)于直線X=1對(duì)稱，利用特殊值判斷/（X）在口,+8）上不是增函數(shù).

【解答】

解：：函數(shù)/0）=^^,二定義域是（一8,+8）,故①正確；

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/(-乃=昂n=一品=-f(x),故函數(shù)為奇函數(shù)，②不正確；

當(dāng)％=0時(shí)，/(%)=0,當(dāng)XH0時(shí)，/(x)=金，

X

2

令g(%)=x+-,

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：90)=刀+|的值域?yàn)?_8,-2近]U[2V2,+OO)

V2V21

4'4卜

令t=x-2,則/?)=去，同上得值域?yàn)椴樊?dāng)，用，故③正確；

g(無)=%+白在(0,1)上單調(diào)遞減，則f(x)=在(°」)上單調(diào)遞增，故④正確；

由基本不等式當(dāng)X=&時(shí)，f(X)max=^=號(hào)，故⑤錯(cuò)誤；

綜上，①③④正確.

故選8.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了正弦型函數(shù)的最小正周期、最值、單調(diào)性、圖象的平移等知識(shí)，屬于中檔

題.

先由三角恒等變換得〃上)：siu(2」?-1)，所以其周期、最值、單調(diào)性、平移情況皆可

判斷.

【解答】

解：依題意，

f(x)=<XJS(2X-；)-2sin(x+-)+7r)

?J14

=；cos2x+sin2x-sin(2z+

=sin2x--=sin(2x——)，

226,

所以/(%)的最小正周期為T：7T，①錯(cuò)誤；

/(久)最大值為1,②正確；

El|"+2klt42%—%(—~~F2kji

得，:+ATTW/W0n+krr,(kEZ),

36

所以當(dāng)k=-l時(shí)，/"(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為［一藪,］,與區(qū)間［一?,?］有重

合，則函數(shù)/(x)在［-?,十］上不是單調(diào)遞增的，故③錯(cuò)誤；

將函數(shù)/(%)的圖象向左平移］；個(gè)單位長度，得到的函數(shù)解析式為g(x)=sin［2(%+

J-%］=sin2x,故④正確.

故選：B.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查平面向量的加減運(yùn)算及正余弦定理的應(yīng)用，同時(shí)考查平面向量的幾何表示，屬

于較難題.

由已知得方1(方-3),工_10-？)，然后畫出圖形，結(jié)合已知和正余弦定理求解即可.

【解答】

解：如下圖，

因?yàn)槿我鈞GR都有|方—>\a-b\<

所以由圖知B1(a-by

同理Hl(方一？),

記三=函石=而1=歷，

則8,C都在以0A為直徑的圓上，如下圖,

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B

因?yàn)閨百一。=|1一下|=1，|五一=6,

所以|4C|=\BC\=1,\AB\=V3,

uui、idAa+占TKI+℃”~+.AC「AB=1+1-31

所以由余弦理有(xzN.AC'/3-ci"C1ACI-n1=-X?

213clx|.4C|2x1x12

又0<Z.ACB<兀,

所以N.ACG："

所以由正弦定理有1^1=|O?|=27?=14fL

ahiZ.ACB

故選C.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念，共舸復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示

及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得z,逐項(xiàng)分析求解即可.

【解答】

解：??,Z=-=7^0=-=1+4l>

A.z的虛部為4,故4錯(cuò)誤；

8z的共輛復(fù)數(shù)為1—4i,故8正確；

C.\z\=Vl2+42=V17，故C錯(cuò)誤；

Dz=l+4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,4),在第一象限，故。錯(cuò)誤；

故選B.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征,考查異面直線成角、線面平行、垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，

及棱錐的體積求法，考查分析與計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題.

利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，異面直線成角及棱錐體積的計(jì)算

對(duì)4個(gè)結(jié)論逐個(gè)判斷，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：①由正方體可得：AC1BD,1平面A8C￡>,

BDnDD-i=D,BO.U平面前Oi，

二ACJ■平面BDO],BOiU平面B。。，；.4C_L

同理：BiCIBDi，

vACnBjC=C,ACB6U平面

???BD】1平面力B]C,rOEC平面，

〃平面ABC，

同理得：&。〃平面.43(',

???ArDnA1C1=,AiC,4iGu平面AiG。，

???平面4B]C〃平面4G。，

?/OEU平面AB|C,

???OE〃面41clD,正確；

③易知BiC〃A]D,平面4BD,4Du平面4BD,

〃平面&BD,

E到平面&BD的距離為定值，

第12頁，共27頁

???三棱錐&-BDE的體積等于三棱錐E的體積，底面△&BD的面積為定值，E

到平面4B0的距離為定值，

二三棱錐&-80E的體積為定值，正確；

④當(dāng)E在當(dāng)處時(shí)，0E與4cl所成的角最大，

此時(shí)，由勾股定理易得：

℃2=a0&2=|,8道2=2,

2

0C+08/=B1c2,即/Bl。。=90°,

,:AC11A、C\,

???OE與力iG所成的最大角為90。，正確.

故選D.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查頻率直方圖的應(yīng)用，涉及平均數(shù)與方差，屬于基礎(chǔ)題.

結(jié)合頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，逐項(xiàng)分析即可.

【解答】

解：對(duì)于4,甲社區(qū)家庭月消費(fèi)不超過2000元的比例為0.0004x2x500=0.4,乙社

區(qū)的比例為0.0006x500=0.3,所以A不正確；

對(duì)于S甲社區(qū)家庭月消費(fèi)不超過2500元的比例為(0.0004+0.0004+0.0006)x500=

0.7,乙社區(qū)的比例為(0.0002+0.0004+0.0008)x500=0.7,所以8不正確；

對(duì)于C,甲社區(qū)家庭月消費(fèi)的平均值為500x(0.0004x1250+0.0004x1750+

0.0006x2250+0.0004x2750+0.0002x3250)=2150,

乙社區(qū)家庭月消費(fèi)的平均值為500x(0.0002x1250+0.0004x1750+0.0008x

2250+0.0004X2750+0.0002X3250)=2250,所以C不正確；

對(duì)于力，由圖知，甲數(shù)據(jù)是單峰的每一個(gè)小長方形的差別比較小，數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)較分散，各

個(gè)段內(nèi)分布均勻，乙數(shù)據(jù)絕大部分?jǐn)?shù)字都在平均數(shù)左右，較集中，所以甲社區(qū)家庭月消

費(fèi)的方差大于乙社區(qū)家庭月消費(fèi)的方差，所以。正確.

故選D

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查基本不等式及不等式性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

利用基本不等式及不等式的性質(zhì)對(duì)各命題逐一判斷即可.

【解答】

解：①中：X2-X+^=(x-|)2>0,則/則lg(x2+；)Nlgx,故①正確；

②中：xHkn,k&Z,sinxG[—1,0)U(0,1],當(dāng)sinx<0時(shí)，sinx+—<0,故②

錯(cuò)誤；

③中：x2+l-2\x\=\x\2-2\x\+1=(|x|-l)2>0,故*2+1)2|x|(xeR),故③

正確；

(3)中：丫=寧笑=。弊=7^短+7臬22,當(dāng)且僅當(dāng)石。2=高時(shí)取等號(hào)，

JJVx2+23+23+23+2

此時(shí)/=—1,顯然不成立，故④錯(cuò)誤；

故選：C.

9.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性及函數(shù)y=x+?(a>0)的性質(zhì)，屬于中檔

題.

解題關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)y=x+a/x(a>0的圖像與性質(zhì)即可判斷得出.

【解答】

對(duì)于4:當(dāng)a=b=c=1時(shí)/(x)是奇函數(shù)，故4正確；

對(duì)于B:若/(x)在(0,+8)上為單調(diào)增函數(shù)，貝iJa40,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C:.若f(x)是偶函數(shù)，則/(-工)=〃工)恒成立,

即工+士=一心-￡恒成立，

XX

(1A-C

則(b+1)工+----=(M亙成立，

X

：1=、，助『二一1故c正確；

la+c=0ic=-a

對(duì)于D:a>0時(shí)，

/(工)=工+￡在區(qū)間(0,旅)單調(diào)遞減，在區(qū)間(西.+8)單調(diào)遞增.

X

第14頁，共27頁

/(x)在區(qū)間(等,2病上有最小值/(病，故。錯(cuò)誤；

故選：AC.

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，涉及了同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差的三角函

數(shù)公式以及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

利用正弦的二倍角公式以及誘導(dǎo)公式可判斷選項(xiàng)4,利用余弦的二倍角公式可判斷選項(xiàng)

B,利用輔助角公式以及二倍角公式可判斷選項(xiàng)C,二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系

可判斷選項(xiàng)D.

【解答】

解：sinl50sin30°sin75°=-sinl50cosl50=-sin300=故選項(xiàng)A正確；

248

cos215°—sin215°=cos30°=—,故選項(xiàng)B正確；

2

sinlO°coslO0—sinlO°coslO°--sin20°一，故選)、°鉗誤；

2

3—4cos200+cos40°

3+4cos20°+cos40°

3—4cos200+2COS220°-1

3+4cos20°+2cos220°-1

COS220°—2cos200+1

cos220°+2cos200+1

(cos20。-l)2

(cos20。+l)2

_4sgHo。

4cos,IO。

=tan410°,故選項(xiàng)。正確；

故選：ABD.

11.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查平面向量基本定理及向量的數(shù)量積，向量的夾角等知識(shí)，對(duì)知識(shí)廣度及準(zhǔn)確度

要求比較高，屬于較難的題.

由向量的數(shù)量積、向量的投影、基本定理與向量的夾角等基本知識(shí)，逐個(gè)判斷即可求解.

【解答】

解：對(duì)于A,???五=(1,2)石=(1,1)區(qū)與Z+4石的夾角為銳角，

a-(a+AK)=(1,2)-(1+2,2+2)

—1+入+4+2A=3a+5>0,

且4H0（/1=0時(shí)方與方+高的夾角為0）,

所以4>一|且；IH0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8.?.?向量1=（2,-3）=4孔即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，B

正確；

對(duì)于C.若則五在方方向上的投影為土叵|，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D.因?yàn)閨不=一至兩邊平方得，

|K|2=2a-b，

則亦Q+E)=I五方=||引2,

\a+b\=J(a+b)=|a|2+2a-K+|b|2=V3|ap

故cos（五區(qū)+方>=豁也那=近,

|a|V3|a|一

而向量的夾角范圍為［0°,180。］,

得五與五+E的夾角為30。，故。項(xiàng)錯(cuò)誤.

故錯(cuò)誤的選項(xiàng)為ACD

故選ACD.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題主要考查了線面平行的判定定理，面面平行的判定定理和性質(zhì)，以及線面垂直和面

面垂直的性質(zhì)，涉及余弦定理，同時(shí)考查了空間中的距離，三棱錐的體積，屬于較難題.

根據(jù)空間中線面，面面間的位置關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)依次分析求解即可.

【解答】

解：對(duì)于A,取CQ的中點(diǎn)F,連接MF,BF,

易知MF〃&D,FB//ED,

???MF仁平面力［DE,AXDu平面AiCE,

MF〃平面&DE,

同理可得FB〃平面&DE,

第16頁，共27頁

又MFCFB=F,MF,FBu平面MBF,

二平面MBF〃平面40E,

又BMu平面MBF,

???恒有〃平面&DE,故A正確；

對(duì)于8,在矩形ABC。中,AB=2AD=2,E為AB的中點(diǎn)，所以AE=AD=1，DE=

取CO的中點(diǎn)凡連接MF,BF,則MF〃力iD,且“尸=之4山=5

BF//DE,BF=DE=V2,/.A^DE=/.ADE=乙MFB=45°,

在三角形MBF中，由余弦定理得A/3=，。產(chǎn)+一2BF.MFCSNMFB=—,

故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)锽M〃平面&DE,所以M到平面力WE的距離等于B到平面&DE的距離，

BE=1為定值，SfME=：為定值，

當(dāng)平面&DE_L平面4BCO時(shí)，B到平面&DE的距離最大，三棱錐&-DEM的體積取

最大值，

V=XX=,

此時(shí),At-DEM=^-DEB32^12故0正確;

對(duì)于。，取CQ的中點(diǎn)尸，連接EF,ArF,

假設(shè)存在某個(gè)位置，使得平面40E_L平面&CD,平面&DEn平面&C0=&。，AXE1

&D,&Eu平面&DE,

???A1EJ"平面"iCD,

???&Cu平面&皿ArE1ArC,

vArE=1,CE=V2，-**ArC=1,此時(shí)必與尸重合，不符合題意，故假設(shè)錯(cuò)誤，故D

錯(cuò)誤.

故選ABC.

13.【答案】|

【解析】

【分析】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)的定義域，進(jìn)而根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)，圖象必過原

點(diǎn)，構(gòu)造方程，解方程可得“的值，再利用單調(diào)性求最值.

【解答】

解：???函數(shù)/(x)=1-的定義域?yàn)镽,

且函數(shù)f(x)=1-差為奇函數(shù)，

故/(。)=1-Wi=l-晟=0，

解得771=2,經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，

所以f(x)=l-/，

又函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值為/(I)=1一島=|,

故答案為|.

14.【答案】1

【解析】

【分析】

本題主要考查了運(yùn)用二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)求值,

屬于中檔題.

根據(jù)-，得到siMQ-x）的值，再把cos（2x+用sin2c-x）表示出來,

最后求和計(jì)算即可.

【解答】

解：

M

2血2（工一令=1-3I=1-A）血2G-1），

又OOS（2H++疝/（￡一工）=2coi2（1++疝/4-1）-1

33\（＞/＜）

o/7T7T\.,/7T\.,/7T\8.5

=2sin2——x——J+-xJ—\=381nz—l=3x-—1=-,

故答案為：|.

15.【答案】①③

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題考查命題真假的判定，涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二分法求函數(shù)的近似值，函數(shù)的零

第18頁，共27頁

點(diǎn)，屬于中檔題.

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷可得.

【解答】

解：對(duì)于①，根據(jù)反函數(shù)的定義可得，互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故①正

確；

對(duì)于②，已知函數(shù)/'(x-l)=x2-2x+l,則/(5)=/(6-1)=62-2x6+1=25,

故②錯(cuò)；

對(duì)于③，,?,當(dāng)x=2時(shí)，/(x)=ax~2-3=a0-3=-2,即圖像必過定點(diǎn)(2,-2),故③

正確；

對(duì)于④，區(qū)間(2,3)的長度為1,每經(jīng)過一次操作區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過"次操

作后，區(qū)間長度為表，

故聯(lián)(0.1,即2"》10,n》4,故至少經(jīng)過4次二分后精確度達(dá)到0.1,故④錯(cuò)；

對(duì)于⑤，函數(shù)y=2X—/的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,x<0時(shí)有一個(gè)，還有x=2,%=4,故⑤錯(cuò)

故答案為①③.

16.【答案】[2&,2何；

23

4,

【解析】

【分析】

本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及平面向量坐標(biāo)表示及運(yùn)算，屬于中檔題.當(dāng)AF1

BC時(shí)AE最短，根據(jù)菱形性質(zhì)及所給數(shù)據(jù)可求得最小為2&，當(dāng)E與C重合時(shí)，AE最

長為2舊;以。為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出前.前=

|(V3m+f)2+y，其中巾6[-歷0],再結(jié)合二次函數(shù)最值求解即可.

【解答】

解：根據(jù)菱形性質(zhì)可得OC=V3，則B。=V6，

iD

作AF1BC,

貝必用中=2口

此時(shí)AE最短，當(dāng)E與C重合時(shí)，AE最長,

故2aWAE42痘，即|而|W[2企,2b].

根據(jù)菱形性質(zhì)可得0C=75,則8。=傷.

以0為原點(diǎn)，8。所在直線為x軸建系如圖：

則4（0,遮），8（一逐,0）,。（0,一遮），。（通,0）,

所以BC:y=—V3?

設(shè)E（TH,-Tfi-V3）finG[—y/6,0],

則瓦？-YD=（一科2A/3+學(xué)TH）.（乃

=1（V3m+Y）2+其中mG[—A/6,0],

對(duì)稱軸為zn=—^6[—V6,0]>

當(dāng)根=一且時(shí)瓦J.前最小，最小值為十.

故答案為：[2企,2b];

17.【答案】r

2

V3

T

第20頁，共27頁

【解析】

【分析】

本題考查了線面垂直的判定以及異面直線所成角，屬于中檔題.

(1)由4D〃BC,可得銳角NSZM即為異面直線S。與8c所成的角，即可得出.

(2)由題意可得CMJL平面SAO,即可求解距離.

【解答】

解：如圖，

???底面ABCD是菱形，BCHAD,

則異面直線SO與BC所成的角等于直線與AO所成的角，

vSAJL平面ABCD,ADu平面ABCD,

SA1AD.

又???5力=48=1,底面4BCO是菱形，

S/1=AD,：■ASDA=45°,

???cos/SDA=—,

2

故異面直線SO與8c所成角的余弦值為坦；

2

過點(diǎn)C向直線AC作垂線，垂足為點(diǎn)M,

vSA1平面ABCD,CMu平面ABCD,SA1CM.

???S2J.CM,AD1CM,A￡＞與SA相交于點(diǎn)4,又AD,SA都在平面SAO內(nèi)，

???CM1平面SAD,故CM的長等于點(diǎn)C到平面SAD的距離，CM=AC?sin30。=阻

2

.?.點(diǎn)C到平面的距離為立，

2

vBCHADf

???直線BC到平面SAD的距離等于點(diǎn)C到平面SAD的距離，

???直線BC到平面SAD的距離為3.

2

故答案為叱；立.

22

18.【答案】解：(1)/(%)=14-sin2x4-V3(2cos2x—1)

=14-sin2x+V3cos2x

=14-2sin(2x+“,

由-1+2kli<2x+；工1+2kn,

得一患+kuWxWV+kir?kEZ.

故此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-患+k*+kn](keZ).

(2)由0<x<W，得g<2x+g<當(dāng)

y=sin(2x+g)的值域?yàn)?-更,1],

32

f(x)=1+2sin(2x+"的值域?yàn)?1一V3,3],

故此函數(shù)的值域?yàn)?l-g,3].

【解析】本題考查三角恒等變換，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)利用二倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)化簡/(久)，再利用三角函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

求解即可；

(2)由0<%<看得m<2x+g<g,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域即可.

19.【答案】解：(1)因?yàn)閎=(1,V3),

所以同=Jl2+(V3)2=2，

因?yàn)橄蛄课逶谙蛄糠椒较蛏系耐队盀?,

設(shè)向量行與B的夾角為。，

所以同cos。=2,

所以方?b=|a||h|cos0=2x2=4,

v(a—2K)1a，

A(a-26)-a=0,

a2—2a-h=0，

/.a2=8，貝力團(tuán)=2企，

則cos"品=今

又「0€[0.7r',

?響量五與方的夾角為:；

第22頁，共27頁

(2)由向量模的計(jì)算公式同=后五得：|2五-同=J(2a-K)2=

J4a2-4a-h+62=V32-16+4=275'

⑶??"2，

-c=Ad，

3a-4b=A(m方+K),

???五、杯共線，

.(3=Am

..(-4=，

解得m=-f.

4

【解析】本題考查向量的數(shù)量積，向量的夾角以及向量的模的求法，向量垂直與平行的

判定，向量的投影的求解，屬于中檔題.

(1)先求出同，再利用向量五在向量方方向上的投影為2,求出值),由位一25上日得到

|a|=2V2.再利用夾角公式求出兩向量1與1的夾角；

(2)利用向量模的平方等于向量的平方可求得向量的模；

(3)由則存在實(shí)數(shù)4,使得不=43成立，由此利用向量相等可得參數(shù)值.

20.【答案】解：(1)甲從A,B,C,。四所高校中選2所，共有A8,AC,AD,BC,

BD,CD六種方法，

甲同學(xué)選。高校，共有A。，BD,C。三種方法，則甲同學(xué)選力高校的概率為：=

OZ

因此乙、丙同學(xué)選。高校的概率皆為點(diǎn)

因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立，所以甲、乙、丙三名同學(xué)都選。高校的概率為弓)3="

No

(2)(助甲同學(xué)必選A高校且選。高校的概率為J,乙未選。高校的概率為：=j丙未選

JOL

。高校的概率為:=3因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立，所以甲同學(xué)選。高校且乙、丙都未選。

oN

高校的概率為=

（團(tuán)）甲、乙、丙三名同學(xué)中選O高校的人數(shù)正好為2人的概率P=；x：x：+Jx：x：+

366366

23341

-X—X-=—=—.

366123

【解析】本題考查了古典概型的計(jì)算與應(yīng)用，相互獨(dú)立概率計(jì)算公式，互斥事件概率計(jì)

算公式，分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

（1）設(shè)甲、乙、丙三名同學(xué)分別選。高校的概率為PW=1,2,3）,可得％=P2=P3=^,

再利用相互獨(dú)立概率計(jì)算公式即可得結(jié)果；

（2）（回）甲同學(xué)必選A高校且選。高校的概率為:，乙未選。高校的概率為：=丙未選

362

。高校的概率為:=3利用相互獨(dú)立概率計(jì)算公式，即可得出甲同學(xué)選。高校且乙、

oN

丙都未選力高校的概率；

（團(tuán)）由甲、乙、丙三名同學(xué)中選。高校的人數(shù)正好為2人求出概率即可.

21.【答案】解：（1）在△4B0中，AB=3,AD=星，cos。=一，.

由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosd=14-675cos0=14+6=20，

所以BD=2V5.

因?yàn)?eC，7i),

所以sin。-V1—cos20-Jl——管,

由正弦定理得一^=一端，即禁=/焉,

SinzBXDs\nz.ADB—sin乙

5

解得sin乙4DB=

因?yàn)椤鰾CD是以。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,

所以ZTDB=］且CD=BD=2V5,

所以coszJDC=cos(乙4DB+])=-sin^ADB=-|.

在△ACD中，由余弦定理得，AC2=AD2+DC2-2AD-DCcos^ADC=(V5)2+

(2V5)2-2x

第24頁，共27頁

V5X2A/5X(-|)=37,

所以4c=V37.

(2)由(1)得，BO?=14-6V5COSO，

SAB