高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2應(yīng)用舉例三限時(shí)練新人教A版必修5

1.2應(yīng)用舉例(三)一、選擇題1．臺(tái)風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東40km處，則B城市處于危急區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h2．甲騎電動(dòng)車(chē)以24km/h的速度沿著正北方向的馬路行駛，在點(diǎn)A處望見(jiàn)電視塔S在電動(dòng)車(chē)的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)B處望見(jiàn)電視塔在電動(dòng)車(chē)的北偏東75°方向上，則電動(dòng)車(chē)在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是()A．6km B．3eq\r(3)kmC．3eq\r(2)km D．3km3．在△ABC中，已知面積S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，則角C的度數(shù)為()A．135°B．45°C．60°D．120°4．已知三角形的三邊分別為a，b，c，面積S＝a2－(b－c)2，則cosA等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,5)C.eq\f(12,13)D.eq\f(15,17)5．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，則△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),4)C.eq\f(15\r(3),2)D.eq\f(15\r(3),4)6．在△ABC中，若cosB＝eq\f(1,4)，eq\f(sinC,sinA)＝2，S△ABC＝eq\f(\r(15),4)，則b等于()A．4B．3C．2D．1二、填空題7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，則sinB＝________.8．某海島四周38海里有暗礁，一輪船由西向東航行，初測(cè)此島在北偏東60°方向，航行30海里后，測(cè)得此島在東北方向，若不變更航向，則此船________觸礁的危急．(填“有”或“沒(méi)有”)9．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°處，A，B兩船間的距離為3km，則B船到燈塔C的距離為_(kāi)___________km.三、解答題10．已知△ABC的面積為1，tanB＝eq\f(1,2)，tanC＝－2，求△ABC的各邊長(zhǎng)以及△ABC外接圓的面積．11.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心馬上把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線(xiàn)CB前往B處救援，求cosθ的值．12．某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼叫信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，馬上測(cè)出該漁船在方位角為45°，距離為10海里的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向，以10海里/小時(shí)的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇馬上以10eq\r(3)海里/小時(shí)的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間．

答案精析1．B2.C3.B4．D[S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bccosA＋2bc，∵S＝eq\f(1,2)bcsinA，∴eq\f(1,2)bcsinA＝2bc－2bccosA.即4－4cosA＝sinA.平方得17cos2A－32cosA＋15＝0.即(17cosA－15)(cosA－1)＝0.得cosA＝1(舍)或cosA＝eq\f(15,17).]5．D6.C7.eq\f(3\r(3),14)8.沒(méi)有9.eq\r(6)－110．解∵tanB＝eq\f(1,2)>0，∴B為銳角，∴sinB＝eq\f(\r(5),5)，cosB＝eq\f(2\r(5),5).∵tanC＝－2<0，∴C為鈍角，∴sinC＝eq\f(2\r(5),5)，cosC＝－eq\f(\r(5),5)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3,5).∵S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝2R2sinAsinBsinC＝2R2×eq\f(3,5)×eq\f(\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝1.∴R2＝eq\f(25,12)，R＝eq\f(5\r(3),6).∴πR2＝eq\f(25,12)π，即外接圓的面積為eq\f(25,12)π.∴a＝2RsinA＝eq\r(3)，b＝2RsinB＝eq\f(\r(15),3)，c＝2RsinC＝eq\f(2\r(15),3).綜上，a＝eq\r(3)，b＝eq\f(\r(15),3)，c＝eq\f(2\r(15),3)，△ABC外接圓的面積為eq\f(25,12)π.11．解在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos120°＝2800，所以BC＝20eq\r(7).由正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，得sin∠ACB＝eq\f(ABsin∠BAC,BC)＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(2\r(7),7)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(21),14).12.解如圖所示，設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，則AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，∠ACB＝120°.在△ABC中，依據(jù)余弦定理，則有AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．即艦艇需1小時(shí)靠近漁船，此時(shí)AB＝10eq\r(3)，BC＝10，在△ABC中，由正弦