2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理6.2.1排列學(xué)案含解析新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE6.2排列與組合最新課標(biāo)通過實(shí)例，理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．6.2.1排列[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)排列的概念一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并依據(jù)________排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．eq\a\vs4\al(狀元隨筆)(1)排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“依據(jù)肯定的依次排列”．(2)一個(gè)排列就是完成一件事的一種方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法．(3)從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的依次也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列．元素不完全相同或元素完全相同而排列的依次不同的排列，都不是同一個(gè)排列．(4)在定義中“肯定的依次”就是說與位置有關(guān)，在實(shí)際問題中，原委何時(shí)有關(guān)，何時(shí)無關(guān)，要由詳細(xì)問題的性質(zhì)和條件來確定，這一點(diǎn)要特殊留意，這也是與后面學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)分．[基礎(chǔ)自測]1.推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)a，b，c與b，a，c是同一個(gè)排列．()(2)同一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)．()(3)在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列不發(fā)生改變．()(4)從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．()2.(多選題)下列問題中是排列問題的是()A．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參與數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組B．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參與一項(xiàng)活動C．從a，b，c，d四個(gè)字母中取出2個(gè)字母D．從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)3.李老師要給4個(gè)同學(xué)輪番心理輔導(dǎo)，每個(gè)同學(xué)1次，則有()種輪番次序．A．6B．12C．24D．484.從1，2，3中任取兩個(gè)數(shù)字組成不同的兩位數(shù)有________個(gè)．題型一排列的概念——自主完成例1推斷下列問題是不是排列問題：(1)某班共有50名學(xué)生，現(xiàn)要投票選舉正、副班長各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？(2)從2，3，5，7，9五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共有多少個(gè)不同的對數(shù)值？(3)有12個(gè)車站，共需打算多少種車票？(4)某會場有50個(gè)座位，從中任選出3個(gè)座位，共有多少種不同的選法？方法歸納推斷一個(gè)詳細(xì)問題是不是排列問題，就是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，推斷在支配這m個(gè)元素的時(shí)候是否有序，有序就是排列，無序就不是排列，而檢驗(yàn)是否有序的依據(jù)就是交換元素的“位置”，看結(jié)果是否有改變，有改變就是有序，無改變就是無序．跟蹤訓(xùn)練1(1)在各國實(shí)行的足球聯(lián)賽中，一般實(shí)行“主客場制”(即每兩個(gè)球隊(duì)之間分為主隊(duì)和客隊(duì)各賽一場).若共有12支球隊(duì)參賽，則需進(jìn)行多少場競賽．(2)在“世界杯”足球賽中，由于有東道主國家承辦，故無法實(shí)行“主客場制”，而采納“分組循環(huán)淘汰制”．若共有32支球隊(duì)參與，分為八組，每組4支球隊(duì)進(jìn)行小組循環(huán)賽，則在小組循環(huán)賽中需進(jìn)行多少場競賽．(3)在乒乓球單打競賽中，由于參賽選手較多，故常實(shí)行“抽簽組對淘汰制”決出冠軍，若共有100名選手參賽，待冠軍產(chǎn)生時(shí)，共需實(shí)行多少場競賽．在上述三個(gè)問題中，是排列問題的是________．題型二簡潔的排列問題——師生共研例2(1)某班上午要上語文、數(shù)學(xué)、體育和外語4門課，又體育老師因故不能上第一節(jié)和第四節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是()A．24B．22C．20D．12(2)寫出下列問題的全部排列：①從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個(gè)不同的兩位數(shù)．②由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，試全部列出．方法歸納利用“樹形圖”法解決簡潔排列問題的適用范圍及策略1.適用范圍：“樹形圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問題時(shí)，是一種比較有效的表示方式．2.策略：在操作中先將元素按肯定依次排出，然后以先支配哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再支配其次個(gè)元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹形圖寫出排列．跟蹤訓(xùn)練2(1)若直線Ax＋By＝0的系數(shù)A，B可以從2，3，5，7中取不同的數(shù)值，可以構(gòu)成的不同直線的條數(shù)是()A．12條B．9條C．8條D．4條(2)從0，1，2，3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，寫出其中大于200的全部三位數(shù)．易錯(cuò)辨析混淆排列問題和分步問題例36個(gè)人走進(jìn)只有3把不同椅子的屋子，若每把椅子必需且只能坐一人，共有________種不同的坐法．解析：坐在椅子上的3個(gè)人是走進(jìn)屋子的6個(gè)人中的隨意3個(gè)人，若把人看成元素，將3把不同的椅子當(dāng)成不同的位置，則原問題抽象為從6個(gè)元素中取3個(gè)元素占據(jù)3個(gè)不同的位置，明顯是從6個(gè)元素中任取3個(gè)元素的排列問題，從而，不同的坐法共有：6×5×4＝120(種).答案：120【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)緣由糾錯(cuò)心得本題簡潔錯(cuò)認(rèn)為不是排列問題，得到錯(cuò)解：6個(gè)人坐3把不同的椅子，相當(dāng)于從含6個(gè)元素的集合到含3個(gè)元素的集合的映射，故有36種不同的坐法．排列問題中元素不能重復(fù)選取，而在用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問題中，元素是可以重復(fù)選取的．eq\x(溫馨提示：請完成課時(shí)作業(yè)（二）)

6．2.1排列新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一肯定的依次[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：A是排列問題，因?yàn)閮擅瑢W(xué)參與的學(xué)習(xí)小組與依次有關(guān)；B不是排列問題，因?yàn)閮擅瑢W(xué)參與的活動與依次無關(guān)；C不是排列問題，因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)字母與依次無關(guān)；D是排列問題，因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)數(shù)字還須要按依次排成一列．故選AD.答案：AD3．解析：從4個(gè)同學(xué)中任選1個(gè)同學(xué)有4種，再從剩下的3個(gè)同學(xué)中任選1個(gè)同學(xué)有3種，再從剩下的2個(gè)同學(xué)中任選1個(gè)同學(xué)有2種，最終剩下1個(gè)同學(xué)．按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法有4×3×2×1＝24種．故選C.答案：C4．解析：12，13，21，23，31，32共6個(gè)．答案：6題型探究·課堂解透題型一例1解析：(1)是．選出的2人，擔(dān)當(dāng)正、副班長人選，與依次有關(guān)，所以是排列問題．(2)是．對數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值有關(guān)系，與依次有關(guān)．(3)是．起點(diǎn)站或終點(diǎn)站不同，則車票不同，與依次有關(guān)．(4)不是．只是選出3個(gè)座位，與依次無關(guān)．跟蹤訓(xùn)練1解析：對于(1)，同樣是甲、乙兩隊(duì)競賽，甲作為主隊(duì)和乙作為主隊(duì)是兩場不同的競賽，故與依次有關(guān)，是排列問題；對于(2)，由于是組內(nèi)循環(huán)，故甲、乙兩隊(duì)之間只須要進(jìn)行一場競賽，與依次無關(guān)，不是排列問題；對于(3)，由于兩名選手一旦競賽后就淘汰其中一位，故也與依次無關(guān)，不是排列問題．答案：(1)題型二例2解析：(1)分兩步排課：體育可以排其次節(jié)或第三節(jié)兩種排法；其他科目有語文、數(shù)學(xué)、外語語文、外語、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)、語文、外語數(shù)學(xué)、外語、語文外語、語文、數(shù)學(xué)外語、數(shù)學(xué)、語文共6種排法，所以依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有2×6＝12(種)排課方案．故選D.(2)①全部兩位數(shù)是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12個(gè)不同的兩位數(shù)．②畫出樹形圖，如圖所示．由上面的樹形圖可知，全部的四位數(shù)為：1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、431