2021春人教版九年級數學下冊 第27章 平面直角坐標系的位似教案

27.3.2平面直角坐標系中的位似

一、教學目標

知識與技能

1.鞏固位似圖形及其有關概念.

2.會用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換，掌握把一個圖形按一定大小

比例放大或縮小后，點的坐標變化的規(guī)律.

過程與方法

了解四種變換(平移、軸對稱、旋轉和位似)的異同，并能在復雜圖形中找

出這些變換.

情感態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生從特殊到一般地認識事物，獲得數學的經驗，激發(fā)學生探索知識

的興趣

二、重、難點

重點：用圖形的坐標的變化來表示圖形的位似變換

難點：一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，點的坐標變化的規(guī)律

三、課堂引入

1.如圖，AABC三個頂點坐標分別為A(2,3),B(2,l),C(6,2),(1)將AABC

向左平移三個單位得到△AIBIG，寫出A|、Bi、Ci三點的坐標；

(2)寫出aABC關于x軸對稱的4A2B2c2三個頂點A?、B2,C2的坐標；

(3)將△ABC繞點。旋轉180°得到AAsB3c3,寫出A3、B3、C3三點的坐標.

2.在前面幾冊教科書中，我們學習了在平面直角坐標系中，如何

用坐標表示某些平移、軸對稱、旋轉(中心對稱)等變換，相似

也是一種圖形的變換，一些特殊的相似(如位似)也可以用圖形

坐標的變化來表示.

3.探究：

(1)如圖，在平面直角坐標系中，有兩點A(6,3),B(6,0).以原點

O為位似中心，相似比為!，把線段AB縮小.觀察對應點之間坐標的變化，你

3

有什么發(fā)現？______________________________________________________

(2)如圖，ZSABC三個頂點坐標分別為A(2,3),B(2,l),C(6,2),工

以點O為位似中心，相似比為2,將aABC放大，觀察對應頂點4

坐標的變化，你有什么發(fā)現？2

【歸納】位似變換中對應點的坐標的變化規(guī)律：…二…’A'')

-2

-4

四、例題講解

例1(教材的例題)

解：

問：你還可以得到其他圖形嗎？請你自己試一試！

解法二：點A的對應點A”的坐標為(-6x(_f,6x(-1)),即A”(3,-3).類

似地，可以確定其他頂點的坐標.(具體解法與作圖略)

例2(教材)在右圖所示的圖案中,你能找出平移、軸對稱、旋轉和位似這些變

換嗎？

餐

分析：觀察的角度不同，答案就不同.如：它可以看作是一排

魚順時針旋轉45°角，連續(xù)旋轉八次得到的旋轉圖形；它還可以

刎毛《V0》4I

看作位似中心是圖形的正中心，相似比是4：3：2：1的位似圖

.ik.土織」

就*土

形，…….

五、課堂練習

1.△ABO的定點坐標分別為A(-l,4),B(3,2),0(0,0),試將△ABO放大為△EFO,

使△EFO與AABO的相似比為2.5：1,求點E和點F的坐標.

2.如圖，AAOB縮小后得到△COD,觀察變化前后的三

角形頂點，坐標發(fā)生了什么變化，并求出其相似比和面積

比.

3.如圖，將圖中的AABC以A為位似中心，放大到1.5倍,

請畫出圖形，并指出三個頂點的坐標所發(fā)生的變化.

4.請用平移、軸對稱、旋轉和位似這四種變換設計一種圖案(選擇的變換不限).

六、小結：

以原點為位似中心位的似變換中對應點坐標間的關系.

七、作業(yè)：必做：課本習題T3,5

八、課后反思：

27.3.1位似圖形

一、教學目標

知識與技能

1.了解位似圖形及其有關概念，了解位似與相似的聯系和區(qū)別，掌握位似圖形

的性質.

2.掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小.

過程與方法

經歷畫位似圖形,探究位似變換對應點坐標間的關系，培養(yǎng)學生的作圖能力,

歸納探究的能力

情感態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生從特殊到一般地認識事物，獲得數學的經驗，激發(fā)學生探索知識的

興趣

二、重、難點

重點：位似圖形的有關概念、性質與作圖.

難點：利用位似將一個圖形放大或縮小.

三、教學目標

（一）、課堂引入

1.觀察：在日常生活中，我們經常見到下面所給的這樣一類相似的圖形，它們

有什么特征？

定義：如果兩個圖形，并且對應點連線一像這樣的兩個

圖形叫位似圖形，這個點叫做;這時我們說我兩個圖形關于這點

位似.

3.問：已知：如圖，多邊形ABCDE,把它放大為原來的2倍，即新圖與原圖

的相似比為2.應該怎樣做？你能說出畫相似圖形的一種方法

嗎？

（二）、例題講解

例1（補充）如圖，指出下列各圖中的兩個圖形是否是位似圖形，如果是位似圖

形，請指出其位似中心.

分析：位似圖形是特殊位置上的相似圖形，因此判斷兩個圖形是否為位似圖

形，首先要看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否都經過同一點，這兩

個方面缺一不可.

解：

例2（教材例題）把圖1中的四邊形ABCD縮小到原來的

2

分析：把原圖形縮小到原來的,，也就是使新圖形上各頂點到位似

2

中心的距離與原圖形各對應頂點到位似中心的距離之比為1：2.

（三）、課堂練習

1.畫出所給圖中的位似中心.

(1)(2)(3)

2.把右圖中的五邊形ABCDE擴大到原來的2倍.

3.已知：如圖，AABC,畫AA'B'C'，

使4A'B'C'saABC,且使相似比為1.5,要求

(1)位似中心在aABC的外部；

(2)位似中心在AABC的內部；

(3)位似中心在aABC的一條邊上；

(4)以點C為位似中心.

(四)、小結：

位似的定義，位似圖形的畫法;

(五)、作業(yè)：

必做：課位本P51習題T2

(六)、課后反思:

27.1.2相似多邊形

「教學目標

【知識與技能】

1.掌握相似多邊形的性質，會利用性質判斷相似多邊形.

2.了解相似比和成比例線段的概念.

【過程與方法】

經歷觀察、思考、探索、猜想等活動，提高推理能力.

【情感態(tài)度】

在探索相似多邊形的過程中，進一步發(fā)展歸納、類比能力，培養(yǎng)學生良好的情感

態(tài)度.

【教學重點】

掌握相似多邊形性質及判別方法，能用性質解決具體問題.

【教學難點】

判別兩個多邊形相似.

廣,教學亙旌

一、情境導入，初步認識

問題圖中的兩個大小不同的四邊形ABCD和四邊形ABCD中，ZA=ZA,,ZB=

ZB,,ZC=ZC,,ZD=ZD,,===因此四邊形ABCD與四

ANBeGARA

邊形ABCD相彳以.

【教學說明】四邊形是學生非常熟知的圖形，很容易得出它們相似的結論.讓學

生通過四邊形相似，初步體驗相似圖形性質.

二、思考探究，獲取新知

問題1如圖，四邊形ABCD與EFGH相似，求角a,B的大小和EH的長度

X.

【教學說明】通過類比，學生能得到兩個四邊形的對應角相等，對應邊的比相

等的結論.為進一步探索相似多邊形的性質做好鋪墊.在這一過程中，教師可適時

給出比例線段定義，對其定義，我們應注意：①判別所給出的四條線段是否成比

例線段，可先將這四條線段按長、短順序排列后，再按順序將兩短線段之比與兩

較長線段之比進行比較即可得知它們是否是成比例線段;②如果知識成比例線段

中三條線段的長度，可求出第四條線段之長.這些知識應讓學生了解，而后回過

來與學生一道得出兩個多邊形相似的性質：相似的多邊形對應角相等，對應邊

的比相等.

三、運用新知，深化理解

1.在比例尺為1：1000000的地圖上，甲、乙兩地的距離為10cm,求

兩地的實際距離.

【教學說明】可讓學生獨立完成，通過此題可加深學生對比例線段的理解.在

完成上述題目后，教師引導學生完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時的“名師導學”部分.

四、師生互動，課堂小結

1.比例線段的定義如何？如何判別四條線段是成比例線段的？

2.相似多邊形的性質與判定方法有何區(qū)別？

3.這節(jié)課你的收獲有哪些？還有哪些疑問？

【教學說明】設置三個問題，師生以談話交流形式進行，共同總結，及時反思.

，課后作業(yè)

1.布置作業(yè):從教材P27-28習題27.1選取.

2.完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時的“課時作業(yè)”部分

承教學反思

本課時可以以探究的方式引入，使學生通過操作、觀察、猜想、探究、交流、

發(fā)現等學習方式掌握多邊形的性質及判別方法，并且能夠運用這些知識解決具體

問題.

27.2.8相似三角形的性質

一、教學目標

知識與技能

1.掌握相似三角形的相似比與對應高、中線、角平分線、周長，面積的比存在

的等量關系，掌握相似三角形周長比、面積比與相似比之間的關系

2.能熟練運用三角形相似的性質進行量的計算.

過程與方法

對性質定理的探究經歷觀察一一猜想一一論證一一歸納的過程，培養(yǎng)學生主

動探究、合作交流的習慣和嚴謹治學的態(tài)度

情感態(tài)度與價值觀

在學習和探討的過程中，體驗特殊到一般的認知規(guī)律；通過對生活問題的解

決，體會數學知識在實際中的廣泛應用

二、重、難點

重點：相似三角形性質定理的探索、理解及應用

難點：相似三角形性質定理的探索、理解及應用

三、教學過程

（一）、課前導學：學生自學課本第37頁內容，并完成下列問題

1.相似三角形的對應角,對應邊.

2.相似三角形的判定方法有那些？

相似三角形判定定理1：三邊對應的兩個三角形相似.

相似三角形判定定理2:兩邊_____且夾角的兩個三角形相似.

相似三角形判定定理3:對應的兩個三角形相似.

直角三角形相似的判定定理：兩邊和它們的夾角對應的兩個三角形相

似.

3.回顧交流：讀圖，思考回答如下問題

(1)三角形中有哪幾條主要線段？

(2)全等三角形具有哪些性質？

(3)全等三角形對應邊上的高、中線、角平分線相等嗎？請說明。

2.(1)如果△ABCsaABC'的相似比為2,那么aABC與4A8c的周長比

是多少？面積比呢？

(2)如果△ABCs/\ABC'的相似比為k,那么AABC與3公、的周長比是多

少？面積比呢？

【結論】相似三角形的周長比等于

相似三角形的面積比等于

(二八合作、交流'展示

例1、已知:如圖，△ABC^AA/B'C,相似比為k,AD與A'D'分別是AABC

和4A'B'C'的高，求證:

空〃

AD

【結論】：相似三角形對應高的比等于o

【思考】：如果兩個三角形是直角三角形，鈍角三角形時結果還成立嗎？試試看!

2、證明：相似三角形對應中線的比、對應角平分線的比等于相似比

【結論】：相似三角形對應中線、對應角平分線的比等于

3、電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD,AB〃CD,AB=2m,CD=5m,

（1）若點P到CD的距離為3m.求P到AB的距離?

（2）若PELCD于D交AB于F,EF=lm,求PF.p

cED

4.如圖，DE〃BC,AB=30m,BD=18m,AABC的周長為80m,面積為lOOn?,

求AADE的周長和面積。

（三）、鞏固與應用：

1、若兩個相似三角形的相似比是2：3,則它們的對應高的比是,

對應中線的比是,對應角平分線的比是.

2、若△ABCS^AA，B'C,BC=3.6cm,B'C=6cm,AE是AABC的一條中線，

AE=2.4cm,則AA'B'C中對應中線A'E'的長是.

3、已知：梯形ABCD中，AB//DC,AC與BD交于點O,若=5cn?,

=2cm2q-

^cDo0貝U%^^ACD--------------------------------------------

5CO

4、已知兩個相似三角形的一對對應邊分別長為32cm和12cm.

（1）若它們的周長差為40cm,求這兩個三角形的周長.

（2）若它們的面積差為500cm2,求這兩個三角形的面積.

5、某人拿著一把分度值為厘米的小尺，站在距電線桿30m的地方，把手臂向前

伸直，小尺豎直，看到尺上12cm的長度恰好遮住電線桿，已知臂長為60cm.求

電線桿的高.

6、已知在AABC中，BC=120mm,BC邊上的高為80mlli,在這個三角形內有一個

內接正方形，正方形的一邊在BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC±.求

這個正方形的邊長

7、銳角^ABC中，BC=6,SAABC=12,兩動點M,N分別在邊AB,AC上滑

動，且MN〃BC,以MN為邊向下作正方形MPQN,設其邊長為x,正方形

MPQN與aABC公共部分的面積為y（y>0）

（1）AABC中邊BC上高AD=；

（2）當*=時，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；

（3）當PQ在AABC外部時（如圖2）,求y關于x的函數關系式（注明x的

取值范圍），并求出x為何值時y最大，最大值是多少？

（圖D（圖2）

（四）、小結：相似三角形的對應高，對應中線，對應角平分線的比等于相似

比，那么相似多邊形的周長比等于，面積比等于

（五）、作業(yè)：必做：課本練習T1,2,3,4,5,6

（六）、課后反思:

27.2.9相似三角形的應用舉例

一、教學目標

知識與技能

1.進一步鞏固相似三角形的知識.

2.能夠運用三角形相似的知識，解決不能直接測量物體的長度和高度（如測

量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區(qū)問題）等的一些實際問題.

3.通過把實際問題轉化成有關相似三角形的數學模型，進一步了解數學建模

的思想，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.

過程與方法

經歷分析實際問題中已知條件，建立數學模型，進而利用相似三角形知識解

決問題

情感態(tài)度與價值觀

體會數學和現實生活的緊密聯系，增強應用意識，提高用代數方法解決問題

的能力

二、重、難點

重點：運用三角形相似的知識計算不能直接測量物體的長度和高度

難點：靈活運用三角形相似的知識解決實際問題（如何把實際問題抽象為數學問

題）

三、教學過程

（一）、課前導學：預習課本中本節(jié)內容，完成下列問題：

1、判斷兩三角形相似的方法有：:

2、相似三角形的性質：（1）對應角、對應邊；（2）

對應線段的比等于；（3）面積之比等于；

3、仰角：；俯角：;

（二）、合作、交流、展示：

［例題1］胡夫金字塔是埃及現存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇

觀之一”.塔的4個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約230

多米.據考證，為建成大金字塔，共動用了10萬人花了20年時間.原高146.59

米，但由于經過幾千年的風吹雨打，頂端被風化吹蝕，所以高度有所降低.

據史料記載，古希臘數學家、天文學家

泰勒斯曾經利用相似三角形的原理，在金字

塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構

成的兩個相似三角形來測量金字塔的高度.

如圖，如果木桿跖長2m,它的影長川為3

塔的高度BO.

練一練：在某一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的

影長為90米，那么高樓的高度是多少米？（在同一時刻物體的高度與它的影長

成正比例）

【例題2】如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對

岸選定一個目標尸，在近岸取點。和S,使點只Q、S

共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與尸S垂直的

S

直線a上選擇適當的點T,確定尸7與過點。且垂直尸S的直線b的交點R.如果

測得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的寬度PQ.

二A

B

E

<M20)

練一練：如圖,測得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求河寬ABO

【例題3】如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵

樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿.小麗站在離南岸邊15米的點處看北岸，

發(fā)現北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有

三棵樹，則河寬為多少米.

T

、干萍小中廣

練一練：已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是=8m和CD=12m,兩樹根

部的距離8。=5m.一個身高1.6m的人沿著正對這兩棵樹的一條水平直路/從

左向右前進，當他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹

的頂端點C?

（三）、鞏固與應用:

1、小明要測量一座古塔的高度，從距他2米口、j〃j、大依小心j但劃用」火口、j?到影,

已知小明的眼部離地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到積水處C的距離是

40米.求塔高？

2、如圖，小明在打網球時，使球恰好能打過網，而且落在離網5米的位置上,

求球拍擊球的高度h.（設網球是直線運動）

3、小明想利用樹影測量樹高，他在某一時刻測得長為1m的竹竿影長0.9m,但

當他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影

子在墻上，如圖，他先測得留在墻上的影高1.2m,又測得地面部分的影長2.7m,

他求得的樹高是多少？

4、如圖，已知零件的外徑a為25cm,要求它的厚度x

先求出內孔的直徑AB,現用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）去量，若

0A:0C=0B:0D=3,且量得CD=7cm,求厚度x。

（四）、小結：計算不能直接測量物體的長度和高度，可建立相似1與甭形如數對

模型。

（五）、作業(yè)：必做：課本中練習T9,10,14

（六）、反思:

27.2.1相似三角形及平行線分線段成比例

一、教學目標：

知識目標

理解并掌握相似三角形及平行線分線段成比例的基本事實及其推論，并會

靈活應用。

能力目標

通過應用，培養(yǎng)識圖能力和推理論證能力。

情感態(tài)度與價值觀

（1）、培養(yǎng)學生積極的思考、動手、觀察的能力，使學生感悟幾何知識在生

活中的價值。

（2）、在進行探索的活動過程中發(fā)展學生的探索發(fā)現歸納意識并養(yǎng)成合作交

流的習慣。

二、重、難點

重點：平行線分線段成比例定理和推論及其應用。

難點：平行線分線段成比例定理及推論的靈活應用，平行線分線段成比例定

理的變式。

三、教學過程

1、復習設疑，引入新課

內容：教師提問：

（1）什么是成比例線段？

（2）什么是相似多邊形？

（3）你能不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是

2:3?

目的：（1）復習成比例線段的內容，回顧上節(jié)課通過方格紙?zhí)骄砍杀壤€

段性質的過程。（2）通過一個生活中的實例激發(fā)學生探究的欲望。

效果：學生對不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是

2:3,這一問題很感興趣，急切想要知道解決辦法。

2、小組活動，探究定理

探究活動一：

內容：如圖（1）小方格的邊長都是1,直線a〃b〃c，分別交直線m,n

于Ai?A?,A：j9Bi，B?,B3o

（i）計算-1-你有什么發(fā)現？

A2A3B2E

（2）將b向下平移到如下圖2的位置，直線m,n與直線b的交點分別為

A”B2o你在問題（1）中發(fā)現的結論還成立嗎？如果將b平移到其他位置呢？

（圖2）

（3）在平面上任意作三條平行線，用它們截兩條直線，截得的線段成比例嗎？

歸納：平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對

應線段成比例；

目的：讓學生通過觀察、度量、計算、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，

達到對平行線分線段成比例定理的意會、感悟。

效果：學生在以前的學習中，尤其是本章前兩節(jié)的探究也是通過表格中的多

邊形來完成的。所以學生有種熟悉感，并不感到困難。

2.議一議：

內容：教師提問：

1.如何理解“對應線段”？

2.平行線分線段成比例定理的符號語言如何表示？

3.“對應線段”成比例都有哪些表達形式？

A4_

若a〃b〃c則

242AB2B3

A&_B、B?aa=B2B3

由比例的性質還可以得到：4A4當，AABR,

aA_

AA54B3箋

目的：讓學生在探究得出結論的基礎上，對平行線分線段成比例定理的有

進一步的理解。并掌握定理的符號語言，進一步發(fā)展推理能力。

效果：學生從幾何直觀上很容易找出“對應線段”。利用比例的性質寫出

成比例線段時，感覺結論很多，老師這時可以引導總結出成比例線段的特點，那

就是都體現了“對應”二字。

探究活動二：

內容：如圖3,直線a〃b〃c，分別交直線m,n于A|,A2,A3,Bi，

（圖3）（圖4）

推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。

目的：讓學生脫離表格，不通過計算，運用平行四邊形的性質推理得出平行線等

分線段定理的推論。

效果：學生已經學習過特殊四邊形的性質與證明，所以很容易得出A|C2=B|B2,

C2c3=B2B3,進而得出推論。而且讓學生歸納表述結論，可培養(yǎng)學生的抽象概括

能力及語言表達能力。

目的：加深對平行線分線段成比例定理及其推論的理解，發(fā)展學生的應用能力。

效果：經過這一環(huán)節(jié)的變式應用，學生能夠歸納出平行線分線段成比例定理及其

推論的本質特征。

3.探究活動三:

內容:直線1//1J/L,L、卜、1被L、L、L所截且AB=BC則圖中還有哪些

線段相等?

思考：當平行線之間的距離相等時，對應線段的比是多少？

2.如何不通過測量，運用所學知識，快速將一根繩子分成兩部分，使這兩部

分之比是2:3?

目的：讓學生體會平行線等分線段定理可看作是平行線分線段成比例定理的特

例。解決課堂引入時提出的問題。

效果：學生很容易得出此時的對應線段的比值為1,也為后面探究相似與全等的

關系做了鋪墊。

3、靈活應用

內容：例1、如圖，在AABC中，E、F分別是AB和AC上的點，且EF〃BC,

(1).如果AE=7,FC=4，那么AF的長是多少？

(2).如果AB=10,AE=6,AF=5，那么FC的長是多少？

課堂練習:

1、如圖，I1//I2//I3,

(1).在圖(1)中AB=5,BC=7,EF=4,求DE的長。

(2).在圖(2)中DE=6,EF=7,AB=5,求AC的長。

2、如圖，在AABC中，D、E分別是AB和AC上的點，且DE〃BC,

(1).如果AD=3.2cm,DB=1.2cm,AE=2.4cm,那么EC的長是多少？

(2).如果AB=5cm,AD=3cm,AC=4cm,那么EC的長是多少？

目的：通過對平行線分線段成比例定理的簡單應用，規(guī)范書寫格式，培養(yǎng)學生嚴

謹的邏輯推理能力，深化對知識的理解。

效果：由學生直觀操作得出的結論與簡單推理進行有機結合，是對探索活動的自

然延續(xù)和必要發(fā)展，實現理性升華，培養(yǎng)語言表達能力。

4、課堂小結：

內容：本節(jié)課你有哪些收獲？

目的：

通過師生反思評價，實理知識的系統(tǒng)歸納，對知識和方法進行總結，并通過作業(yè)

和考題全面鞏固平行線分線段成比例定理及其推論。

效果：

學生都能歸納出：1、兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；

2、平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。

5、布置作業(yè)：

27.1.1相似圖形及成比例線段

一、教學目標

1.理解并掌握兩個圖形相似的概念.

2.了解成比例線段的概念，會確定線段的比

二、重點、難點

1.重點：相似圖形的概念與成比例線段的概念.

2.難點：成比例線段概念.

3.難點的突破方法

（1）對于相似圖形的概念，可用大量的實例引入，但要注意教材中“把形狀相

同的圖形說成是相-似圖形”，只是對相似圖形概念的一個描述，不是定義；還

要強調：①相似形一定要形狀相同，與它的位置、顏色、大小無關（其大小可能

一樣，也有可能不一樣，當形狀與大小都一樣時，兩個圖形就是全等形，所以全

等形是一種特殊的相似形）；②相似形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形的

情況，如飛機和飛機模型也是相似形；③兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作

有另一個圖形放大或縮小得到的，而把一個圖形的部分拉長或加寬得到的圖形和

原圖形不是相似圖形.

（2）對于成比例線段:

①我們是在學生小學學過數的比，及比例的基本性質等知識的基礎上來學習成比

例線段的；②兩條線段的比與所采用的長度單位沒有關系，在計算時要注意統(tǒng)一

單位；③線段的比是一個沒有單位的正數；④四條線段a,b,c,d成比例，記作或

a:b=c:d；⑤若四條線段滿足,則有ad=bc（為利于今后的學習“?可適當,補充：

反之，若四條線段滿足ad=bc,則有，或其它七種表達形式）.

三、例題的意圖

本節(jié)課的三道例題都是補充的題目，例1是一道判斷圖形相似一的選擇題，通過講

解要使學生明確：（1）相似形一定要形狀相同，與它的位置、顏色、大小無關;

（2）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作有另一個，圖形放大或縮小得到的，

而把一個圖形的部分拉長或加寬得到的圖形和原圖形不是相似圖形；（3）在識

別相似圖形時，不要以位置為準，要“形狀相同”；例2通過分別采用m、cm、

mm三種不同的長度單位，求得的的值相等，使學生明確：兩“條線段的比與所采

用的長度單位無關，但求比時兩條線段的長度單位必須一致；例3是求線段的.比

的題，要使學生對比例尺有進一步的認識：比例尺=,而求圖上距離與實際距離

的比就是求兩條線段的比.

四、課堂引入

1.（1）請同學們看黑板正上方的五星紅旗，五星紅旗上的大五角星與小五角

星他們的形狀、大小有什么關系？再如下圖的兩個畫面，他們的形狀、大小有什

么.關系.（還可以再舉幾個例子）

（2）教材P36引入.

（3）相似圖形概念：把形狀相同的圖形說成是相似圖形.（強調：見前面）

（4）讓學生再舉幾個相似圖形的例子.

（5）講解例1.

2.問題：如果把老師手中的教鞭與鉛筆，分別看成是兩條線段AB和CD,那么

這兩條線段的長度比是多少？

歸納：兩條線段的比，就是兩條線段長度的比.

3.成比例線段：對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比與另兩條線段

的比相等，如（即ad,=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線

段.

【注意】（1）兩條線段的比與所采用的長度單位沒有關系，在計算時要注意

統(tǒng)一單位,；（2）線段的比是一個沒有單位的正數；（3）四條線段a,b,c,d成

比例，記作或a:b=c:d；（4）若四條線段滿足,則有ad=bc.

五、例題講解

例1（補充：選擇題）如圖，下面右邊的四個圖形中，與左邊的圖形相似的是（）

分析：因為圖A是把圖拉,長了，而圖D是把圖壓扁了，因此它們與左圖都不相

似；圖B是正六邊形.，與左圖的正五邊形的邊數不同，故圖B與左圖也不相似;

而圖C是將左圖繞正五邊形的中心旋轉180。后，再按一定比例縮小得到的，因

此.圖C與左圖相似，故此題應選C.

例2（補充）一張桌面的長a=l.25m,寬b=0.75m,那么長與寬的比是多少？

（1）如果a=125cm,b=75cm,那么長與寬的比是多少？

（2）如果a=125.0mm,b=750mm,那么長與寬的比是多少?

解：略.（）

小結：上面分別采用m、cm、mm三種不同的長度單位，求得的的值是相等的，

所以說，兩條線段的比與所采用的長度單位無關，但求比時兩條線段的長度單位

必須一致.

例3（補充）已知：一張地圖，的比例尺是1:320000,00,量得北京到上海的圖上距

離大約為3.5cm,求北京到上海的實際距離大約是多少km?

分析：根據比例尺=,可求出北京到上海的實際距離.

解：略

答：北京到上海的實際距”離大約是1120km.

六、課堂練習

1.教材P37的觀察.

2.下列說法正確的是（）

A”小明上幼兒園時的照片和初中畢業(yè)時的照片相似.

B.商店新買來的.一副三角板是相似的.

C.所有的課本都是相似的.

D..國旗的五角星都是相似的.

3.如圖，請測量出右。圖中兩個形似的長方形的長和寬，

F

（1）（小）長是cm,寬是cm；（大）長是cm,寬是cm；

（2）（小.）；（大）.

.（3）你由上述的計算，能得到什么結論嗎？

（答：相似的長方形的寬與長之比相等）

,4.在比例尺是1:8000000的“中國政區(qū)”地圖上，量得福州與上海之間的距離

時7.5cm,那么福州與上海之間的實際距離是多少？

5.AB兩地的實際距離為2500m,在一張平面圖上的距離是5cm,那么這.張平面地

圖的比例尺是多少？

七、課后練習

27.2.5用邊角關系判定三角形相似

（教學目標）

1.掌握判定兩個三角形相似的方法：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，

并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。

2.培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現、比較、歸納能力，感受兩個三角形相似的判定方法

2與全等三角形判定方法（SAS）的區(qū)別與聯系，體驗事物間特殊與一般的關

系。

3.讓學生經歷從實驗探究到歸納證明的過程，發(fā)展學生的合情推理能力。

（教學重點與難點）

重點：兩個三角形相似的判定方法2及其應用

難點：探究兩個三角形相似判定方法2的過程

（教學設計）

教學過程設計意圖說明

新課引入：

1.復習兩個三角形相似的判定方法1與全等三角形

判定方法（SSS）的區(qū)別與聯系：從回顧探究判定引例、

SSS判定方法1的過程及復習兩

1個三角形相似的判定方法1

如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這與全等三角形判定方法

兩個三角形相似。（相似的判定方法1）（SSS）的區(qū)別與聯系兩個角

2.回顧探究判定引例、判定方法1的過程度來以舊引新，幫助學生建立

1新舊知識間的聯系，體會事物

探究兩個三角形相似判定方法2的途徑間一般到特殊、特殊到一般

的關系。

提出問題：

利用刻度尺和量角器畫AABC與AAiBiG，使N

A=NA”也和都等于給定的值k,量出它們

Ai5iA\C\

的第三組對應邊BC和BCi的長，它們的比等于k

學生通過作圖，動手度量

嗎？另外兩組對應角NB與NBi，NC與NG是否相

三角形的各邊的比例以及三

等？

角形的各個角的大小，從尺規(guī)

（學生獨立操作并判斷）

實驗的角度探索命題成立的

1

可能性，豐富學生的尺規(guī)作圖

分析：學生通過度量，不難發(fā)現這兩個三角形的第三

與尺規(guī)探究經驗。

組對應邊BC和BiG的比都等于k,另外兩組對應角

NB=NB”ZC=ZCto

延伸問題：

改變NA或k值的大小，再試一試，是否有同樣

改變NA或k值的大小再

的結論？（利用刻度尺和量角器，讓學生先進行小組

作尺規(guī)探究，可以培養(yǎng)學生在

合作再作出具體判斷。）

變化中捕捉不變因素的能力。

探究方法：

探究2通過幾何畫板演示驗證，培養(yǎng)

改變NA或k值的大小，再試一試，是否有同樣學生學習在圖形的動態(tài)變化

的結論？（教師應用“幾何畫板”等計算機軟件作動中探究不變因素的能力。

態(tài)探究進行演示驗證，引導學生學習如何在動態(tài)變化

中捕捉不變因素。）

!

歸納：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且

相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。（定理的

證明由學生獨立完成）

對幾何定理作文字語言、圖

Ai

A;形語言、符號語言的三維注

解有利于學生進行認知重構，

以全方位地準確把握定理的

內容。

BZ____________、Bia

若NA=NA”-^-=-^-=k通過辨析，使學生對兩個三角

AiBiAiC\

形相似判定方法2的判定條

貝（J=AABC^AAiBiCi

件一“并且相應的夾角相等”

具有較深刻的認識，培養(yǎng)學生

辨析：對于AABC與AAIBIG，如果處=《Q,N

A\B\A\C\嚴謹的思維習慣。

B=NB”

這兩個三角形相似嗎？試著畫畫看。（讓學生先獨立

思考，再進行小組交流，尋找問題的所在，并集中展

示反例。）

應用新知：

例1：根據下列條件，判斷AABC與AAIBICI是

否相似，并說明理由：

(1)ZA=120°,AB=7cm,AC=14cm,

ZA|=120°,AiB|=3cm,A|C|=6cm。讓學生了解運用相似三角形

(2)ZB=120°,AB=2cm,AC=6cm,的判定方法2進行判定三角

ZB,=120°,A|Bi=8cm,AiG=24cm。形相似的一般思路，體會這與

運用全等三角形的判定方法

SAS進行相關證明與計算的

雷同性。

分析：(1)—=—=-,ZA=ZA=120°

A.BiACi31

=AABCSAABCI

(2)2=W=』,NB=NB|=120°但

讓學生注意到：兩個三角形相

AiBiAC4

NB與NB|不是AB、AC、A】B|、A￡i的夾角，似判定方法2的判定條件“角

所以AABC與AABCi不相似。相等”必須是

“夾角相等”。

運用提高：運用相似三角形的判定

1.P47練習題1(1)。方法2進行相關證明與計算，

2.P47練習題2(1)。讓學生在練習中熟悉定理。

課堂小結：說說你在本節(jié)課的收獲。讓學生及時回顧整理本

節(jié)課所學的知識。

布置作業(yè)：分層次布置作業(yè)，讓不同

1.必做題：的學生在本節(jié)課中都有收獲。

P55習題27.2題2(2),3(2)o

2.選做題：

P56習題27.2題8。

3.備選題：

已知零件的外徑為25cm,要求它的厚度x,需先求出

它的內孔直徑AB,現用一個交叉卡鉗（AC和BD的備選題答案：x=2cm

長相等）去量（如圖），若OA：OC=OB：0D=3,

CD=7cmo求此零件的厚度x。

h—23cm—

設計思想:

本節(jié)課主要是探究相似三角形的判定方法2,由于上節(jié)課已經學習了探究兩

個三角形相似的判定引例、判定方法1,而本節(jié)課內容在探究方法上又具有一定

的相似性，因此本教學設計注意方法上的“新舊聯系”，以幫助學生形成認知上

的正遷移。此外，由于判定方法2的條件“相應的夾角相等”在應用中容易讓學

生忽視，所以教學設計采用了“小組討論+集中展示反例”的學習形式來加深學

生的印象。

27.2.6用兩角相等關系判定三角形相似

學習目標：

1.掌握“兩角對應相等，兩個三角形相似”的判定方法.

2.能夠運用三角形相似的條件解決簡單的問題.

學習重點:三角形相似的判定方法4——“兩角對應相等，兩個三角形相似”.

學習難點:三角形相似的判定方法4的運用.

教具:三角板

學法指導：自主完成一、認真閱讀教材小組合作交流完成二、三、四、五

學習過程備注

一、復習導學：

1、我們已學習過哪些判定三角形相似的方法？

2、如圖，aABC中，點D在AB上，如果AC2=AD?AB,那么aACD自主完成

與AABC相似嗎？說說你的理由.A

二、探究新知：口/

問題1:觀察兩副三角板其中同樣度數的

兩個三角尺相似嗎？說說理由。

問題2：作AABC和△NB'C/使得NA=NA/,ZB=ZB/,這時它們把你的結果

的第三個角滿足NC=Nd嗎？分別度量這兩個三角形的邊長，計與鄰座的同

算4ABC和△APd的對應邊的比是否相等？學比較，你

們的結論一

樣嗎？

x.Lx.△ABC和

B

c89△AWd相

似嗎？

小結：三角形相似的判定方法4：

的兩個三角形相似.

幾何語言：

自己畫圖證

明。

V

△ABCs/iNB'C'

證明：

三、鞏固提升

如圖，RQABC中,ZC=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一點,

AE=5,ED±AB,垂足為D.求AD的長.

自己動腦完

成看誰最先

做出來

由三角形相似的條件可知，如果兩個直角三角形滿足或

，那么這兩個直角三角形相似.

四、思考探究：

對于兩個直角三角形，我們還可以用“HL”判定它們全等。那

么，滿足斜邊的比等于一組直角邊的比的兩個直角三角形相似嗎?

已知:如圖，Rt^ABC與Rtz^AWc/中，ZC=ZCz=90o,

AB：AB=AC：A，C，.求證：RsABCsRsA/Bg/

結論：_________________________________________________

五、能力提升:

1、已知:如圖，矩形ABCD中，E

為BC上一點，DFLAE于F,若

AB=4,AD=5,AE=6,求DF的長.

小組交流展

示講解

2、已知：如圖，4ABC的高AD、BE交于點F.求證：—.

BFFD

A

BDC

六、小結

27.2.3用平行線判定三角形相似

（教學目標）

4.了解相似比的定義，掌握判定兩個三角形相似的方法：平行于三角形一邊的

直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；如果兩個三角形的

三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。

5.培養(yǎng)學生的觀察、發(fā)現、比較、歸納能力，感受兩個三角形相似的判定方法

1與全等三角形判定方法（SSS）的區(qū)別與聯系，體驗事物間特殊與一般的關

系。

6.讓學生經歷從實驗探究到歸納證明的過程，發(fā)展學生的合情推理能力。

（教學重點與難點）

重點：兩個三角形相似的判定引例、判定方法1

難點：探究判定引例、判定方法1的過程

（教學設計）

教學過程設計意圖說明

新課引入：

3.復習相似多邊形的定義及相似多邊形相似比的

定義從相似多邊形的概念及

1全等三角形的概念兩個以舊

相似三角形的定義及相似三角形相似比的定義引新，幫助學生建立新舊知識

4.回顧全等三角形的概念及判定方法（SSS）間的聯系，體會事物間一般到

特殊、特殊到一