（江蘇專用）2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷二

卷02-期末全真模擬卷二

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

[.\2020

1.已知i是虛數(shù)單位，則化簡產(chǎn)的結(jié)果為（）

A.iB.-iC.-1D.

【答案】D

【解析】?丹=（￡；（?+z）‘又力5%

?2020故選：D.

2.為了解學(xué)生對街舞的喜歡是否與性別有關(guān)，在全校學(xué)生中進行抽樣調(diào)查，根據(jù)數(shù)據(jù)，求得K2的觀測值

勺*4.804,則至少有（）的把握認為對街舞的喜歡與性別有關(guān).參考數(shù)據(jù):

P（K*k。）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.90%B.95%C.97.5%D.99%

【答案】B

【解析】因為4.804>3.841,所以有95%的把握認為對街舞的喜歡與性別有關(guān).故選：B.

3.某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

廣告費用x（萬元）4235

銷售額y（萬元）49263954

根據(jù)上表可得回歸方程$=%+近中的3為9.4,據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為（）

A.63.6萬元B.65.5萬元C.67.7萬元D.72.0萬元

【答案】B

4+2+3+5c「一49+26+39+54

【解析】?.?元==3.5,y==42

44

?.?數(shù)據(jù)的樣本中心點在線性回歸直線上,

回歸方程/=Ax+&中的日為9.4,

,42=9.4X3.5+a,

：.a^.1,

...線性回歸方程是y=9.4x+9.1,

二廣告費用為6萬元時銷售額為9.4X6+9.1=65.5故選:B

4.擲骰子2次，每個結(jié)果以（x，yj記之，其中%,%，分別表示第一顆，第二顆骰子的點數(shù)，設(shè)

A={（%,x2）|xl+々=6},8={&,工2）|玉＞々},則P（B|A）=（）

1121

A.-B.-C.-D.一

8352

【答案】c

【解析】根據(jù)題意A={（5,/）|x,+々=6}

則集合A所有可能為（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）

8={（%,*2）|外＞.},則8集合為（4,2）,（5,1）

根據(jù)條件概率求法可得。（同A）=g,故選:C

5.在某次學(xué)科知識競賽中（總分100分），若參賽學(xué)生成績J服從N（80Q2）（。＞0）,若J在（70,90）內(nèi)的

概率為0.7,則落在［90,100］內(nèi)的概率為（）

A.0.2B.0.15C.0.1D.0.05

【答案】B

【解析】由參賽學(xué)生成績J服從N（80,cr2）（b〉0）,

可知平均數(shù)4=80,

則正態(tài)分布的概率密度曲線關(guān)于〃=80對稱，

因為〈在（70,90）內(nèi)的概率為0.7,

所以〈在（80,90）內(nèi)的概率為0.35,

所以［在［90,100］內(nèi)的概率為05-0.35=0.15.故選:B.

6.為支援湖北抗擊新冠疫情，無錫市某醫(yī)院欲從6名醫(yī)生和4名護士中抽選3人（醫(yī)生和護士均至少有一

人）分配到4B,C三個地區(qū)參加醫(yī)療救援（每個地區(qū)一人），方案要求醫(yī)生不能去/地區(qū)，則分配方案共

有()

A.264種B.224種C.250種D.236種

【答案】A

【解析】當選取的是1名醫(yī)生2名護士，共有C：C：=36種選法，分配到4,B,。三個地區(qū)參加醫(yī)療救援

(每個地區(qū)一人)，方案要求醫(yī)生不能去/地區(qū)，共有2$=4種，即一共36x4=144種方案；

當選取的是2名醫(yī)生1名護士，共有C：C：=60種選法，分配到4B,。三個地區(qū)參加醫(yī)療救援(每個地

區(qū)一人)，方案要求醫(yī)生不能去/地區(qū)，共有田=2種，即一共60x2=120種方案.

綜上所述：分配方案共有264種.故選：A

7.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2=。+6(。€尺。€??)對應(yīng)向量32(。為坐標原點)，設(shè)pz|=r,以射線Ox為

始邊，OZ為終邊逆時針旋轉(zhuǎn)的角為6,則z=r(cose+isin。)，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：

Z1=/](cos+zsin,z2=/;(cos^2+zsin),則4Z2=佗[cos(G+82)+isin(4+4)],由棣莫

弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：z"=[r(cose+isin。)]“=r"(cos〃e+isin〃e),則(-l+Gi)=()

A.1024-1024V3zB.-1()24+1024A/3ZC.512-512A/3ZD.—512+512石i

【答案】D

【解析】

(-1+73/)'0=^2(cos^+sin^z)^j=2l0(cos^+sin^z)=2l0(-i+^z)=-512+51273/,

故選：D.

f(一1)

8.已知函數(shù)/(x)在R上都存在導(dǎo)函數(shù)/'(x),對于任意的實數(shù)都有%：當x<0時，

+若eO/Qa+D^/Xa+l),則實數(shù)4的取值范圍是()

2~\「2一

A.0,-B.--,0C.[0,+oo)D.(-oo,0]

【答案】B

【解析】令g(x)=e"(x),則當x<0時,g'(x)=""(x)+/'(x)]>0,

又g(-x)=e-xf(-x)=exf(x)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù),

從而el,f(2a+1)>/(?+1)等價于e2a+'f(2a+1)>ea+'f(a+1),g(2a+1)2g(a+1),

2

因止匕g(—12a+11)>g(—[a+11),—12a+1|a+11,2>ci~9+2a?0.\—故選:B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中。有多項符合題目要求。

全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得0分。

9.下列說法中第送的是()

A.對于回歸方程>=2020-4X，變量X增加一個單位，y平均減少4個單位

B.互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件

c.對分類變量x與y,隨機變量K?的觀測值&越小，則判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大

D.兩個隨機變量的線性相關(guān)系數(shù)越接近0,則這兩個隨機變量相關(guān)性越強

【答案】BCD

【解析】對于A中，根據(jù)回歸系數(shù)的含義，可得回歸方程y=2020—4x，變量％增加一個單位，y平均減

少4個單位，所以A是正確的；

對于B中，根據(jù)互斥事件與對立事件的關(guān)系，可得互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，

所以B項不正確；

對于C中，對分類變量X與y,隨機變量K2的觀測值k越大，則判斷“X與y有關(guān)系”的把握程度越大，

所以C項不正確；

對于D中，兩個隨機變量的線性相關(guān)系數(shù)越接近0,則這兩個隨機變量相關(guān)性越弱，所以D項不正確.

故選：BCD.

10.一袋中有6個大小相同的黑球，編號為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,

10,現(xiàn)從中任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是()

A.取出的最大號碼才服從超幾何分布

B.取出的黑球個數(shù)產(chǎn)服從超幾何分布

C.取出2個白球的概率為‘

14

D.若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為，

14

【答案】BD

【解析】一袋中有6個大小相同的黑球，編號為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的白球，編號為7,

8,9,10,現(xiàn)從中任取4個球，

對于A，超幾何分布取出某個時象的結(jié)果數(shù)不定,

也就是說超兒何分布的隨機變量為實驗次數(shù)，即指某事件發(fā)生〃次的試驗次數(shù),

由此可知取出的最大號碼X不服從超幾何分布，故A錯誤；

對于3,超幾何分布的隨機變量為實驗次數(shù)，即指某事件發(fā)生〃次的試驗次數(shù),

由此可知取出的黑球個數(shù)丫服從超兒何分布，故8正確；

C：c：3

對于C，取出2個白球的概率為。=故C錯誤;

C：。

對于。，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分,

則取出四個黑球的總得分最大，

二總得分最大的概率為尸=棄=［，故。正確.故選:BD.

jo14

11.現(xiàn)安排高二年級4B,。三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學(xué)只能選擇一個工

廠），且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）

A.所有可能的方法有34種

B.若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種

C.若同學(xué)/必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種

D.若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種

【答案】BCD

【解析】由題意可知，對于選項A,每名同學(xué)都有4種選擇，則只能選擇一個工廠共有43種，所以選項A

錯誤；對于選項B,則①若有1名同學(xué)去工廠甲，則去工廠甲的同學(xué)情況為另外兩名同學(xué)的安排方法

有3x3=9利1則此情況共有C；x9=27利1②若有2名同學(xué)去工廠甲，則同學(xué)選派情況有C；,另外1名

同學(xué)的排法仃3種，此種情況共有C；x3=9種；③若有3名同學(xué)去工廠甲，即3名同學(xué)都去工廠甲，此種

情況唯一，為1種；則工廠甲必須有同學(xué)去的情況共有27+9+1=37種安排方法，所以選項B正確；對于

選項C,若同學(xué)月必須去工廠甲，則另外2名同學(xué)各有4個工廠選擇，即另外2名同學(xué)有4X4=16種安排

方法，所以選項C正確；對于選項D,若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則有=種，所以選項D正確；

綜上，故選：BCD.

12.某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)A=%為的44(例如10100)其中A的各位數(shù)

中4(左=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為屋出現(xiàn)1的概率為“記X=%+4+4+/，則當程序運行一次

時()

Q

A.X服從二項分布B.尸(X=l)=而

OO

C.X的期望E(x)=1D.X的方差V(x)=]

【答案】ABC

【解析】由于二進制數(shù)A的特點知每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1，

且每個數(shù)位上的數(shù)字再填時互不影響，故以后的5位數(shù)中后4位的所有結(jié)果有4類：

①后4個數(shù)出現(xiàn)0,X=O,記其概率為P(X=O)=(<)4=j

3oI

91Q

②及4個數(shù)位只出現(xiàn)1個1,X=l，記其概率為P(X=l)=C：(w)g)3=2；

33ol

③后4位數(shù)位出現(xiàn)2個1,X=2，記其概率為P(X=2)=C：4)2(〈)2=W，

3381

71QO

④后4個數(shù)為上出現(xiàn)3個1,記其概率為P(X=3)=C：(-)3(-)=—,

33o1

232

⑤后4個數(shù)為都出現(xiàn)1,X=4,記其概率為尸(X=4)=($4=U，

3o1

2

故X~8(4,§),故A正確；

21Q

又尸(X=1)=C：(W)(Q3=故5正確；

33o1

22R

X~B(4,-)，：.E(X)=4x-=_,故c正確；

333

22IR

;X~8(4,；),「.X的方差丫(*)=4乂4*；=；,故。錯誤.故選：ABC.

3339

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)與竺為純虛數(shù),則實數(shù)。為

2-1

【答案】2

_\+ai(l+az)(2+z)2-a+(2a+l)i2-a(2a+1).

(解析】?/-----=------------=-------------—=----+-------z

2-z(2-z)(2+i)555

復(fù)數(shù)守為純虛數(shù)

2-1

2—a—0

.1J,八，解得。=2，故答案為:2

2。+1*0

14.某省新高考方案規(guī)定的選科要求為:學(xué)生先從物理、歷史兩科中任選一科，再從化學(xué)、生物、政治、地

理四門學(xué)科中任選兩科.現(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)生按上面規(guī)定選科，則甲、乙恰有一門學(xué)科相同的選科方法有

種

【答案】60

【解析】分為兩類，第一類物理、歷史兩科中是相同學(xué)科，則有種選法；第二類物理、歷史兩

科中沒相同學(xué)科，則有餡C：8=48種選法，

所以甲、乙二人恰有一門學(xué)科相同的選法有12+48=60種，

故答案為：60.

k

15.已知隨機變量X的分布列為P(X=〃)=F—(〃=1,2,3,4),貝隈_,P(2<X<3)=

n+nK~---------------

【答案t5

16

kkkk5

【解析】由條件可知：:+￡+=+士=1,解得：

2612204

P(24X<3)=A+K=K=l_x3=a,故答案為：-5

'761244416416

16.設(shè)函數(shù)/(x)在定義域(0,+8)上是單調(diào)函數(shù)，Vxe(O,”),/[/(x)—e'+x]=e,若不等式

“X)+/'(X)之火對xe(0,+8)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】(-2e-l]

【解析】由題意可設(shè)〃尤)一產(chǎn)+%=，，則/(x)=/—x+f,

'：f[f(x)-ex+x]=e,

/(r)=ezT+f=e'=e,

.??f=1,

；?/(x)=e*-x+1,

由/(x)+F'(x)之or得e*-x+l+e*-INox,

：.a<---1對xw(0,+2o)恒成立，

X

令g(x)=,—l，XG(O,4W),則g，(x)=2七T),

由g'(x)=0得x=l,

g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減,在（1,+8）單調(diào)遞增,

???g(x)?g(l)=2e—L

，aW2e—1,故答案為：（―oo,2e-1].

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知3+￡)展開式中前三項的二項式系數(shù)和為22.

（1）求〃的值；

（2）求展開式中的常數(shù)項.

【答案】（1）6；（2）常數(shù)項為60.

【解析】（1）因為（2%+十）展開式中前三項的二項式系數(shù)和為22.

所以+C+C；=l+n+〃(7)=22,

解得：〃=6或〃=一7（舍去）.

所以〃的值為6.

（2）由通項公式G=C：（2X）6"[+）=《26-*/卷,

3k

令6-----=0,可得：攵=4,

2

所以展開式中的常數(shù)項為加=以26-。。=60.

18.已知復(fù)數(shù)4=l-2i,Z2=3+4i,i為虛數(shù)單位.

（1）若復(fù)數(shù)4+az2在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)”的取值范圍;

Z.

（2）若z=」，求z的共聊復(fù)數(shù)z.

Z2

1112

【答案】(1)(—,一)；(2)z=---1—i.

3255

【解析】⑴由題意，復(fù)數(shù)4=1-2%=3+4i,

則Z)+6zz2=1-2z+〃(3+4z)=(1+3。)+(4〃-2)i

因為復(fù)數(shù)4+az2在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限,

1+3。>011|

所以J4Q_2<0，解得一;vav］，即實數(shù)〃取值范圍（—§,5）.

⑺由(J2,)(3一旬一5-10i所以彳=_」+2j.

z23+4z(3+4z)(3-4?)255555

19.某公司為提高市場銷售業(yè)績，促進某產(chǎn)品的銷售，隨機調(diào)查了該產(chǎn)品的月銷售單價%（單位：元/件）

及相應(yīng)月銷量y（單位：萬件），對近5個月的月銷售單價可和月銷售量=2,3,4,5）的數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)

計，得到如下表數(shù)據(jù)：

月銷售單價％（元/件）99.51010.511

月銷售量、（萬件）1110865

（I）建立y關(guān)于％的回歸直線方程;

（II）該公司開展促銷活動，當該產(chǎn)品月銷售單價為7元/件時，其月銷售量達到18萬件，若由回歸直線

方程得到的預(yù)測數(shù)據(jù)與此次促銷活動的實際數(shù)據(jù)之差的絕對值不超過0.5萬件，則認為所得到的回歸直線方

程是理想的，試問：（I）中得到的回歸直線方程是否理想？

（III）根據(jù)（I）的結(jié)果，若該產(chǎn)品成本是5元/件，月銷售單價8為何值時（銷售單價不超過11元/件）,

公司月利潤的預(yù)計值最大？

參考公式：回歸直線方程$=R+a,其中坂=與---------，a^y-bx.

）2-nx—2

/=1

55

參考數(shù)據(jù)：\>戊=392,=502.5.

i=]Z=1

【答案】（I）y=-3.2x+4O（H）可以認為所得到的回歸直線方程是理想的.（W）該產(chǎn)品單價定為8.75

元時，公司才能獲得最大利潤

【解析】(I)因為亍=((11+10.5+10+9.5+9)=10,5=((5+6+8+10+11)=8.

所以6=392二540駕=_3.2,所以4=8—(一3.2)x10=40,

502.5-5xl02’7

所以y關(guān)于x的回歸直線方程為：y=-3.2x+4O.

(II)當x=7時，$=-3.2x7+40=17.6,則|17.6—18|=0.4<0.5,

所以可以認為所得到的回歸直線方程是理想的.

（Ill）設(shè)銷售利潤為〃，則M=（x—5）（-3.2x+40）（5<xWll）

M=-3.2%2+56A:-200,所以x=8.75時，M取最大值，

所以該產(chǎn)品單價定為&75元時，公司才能獲得最大利潤.

20.有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù).

（1）某女生一定擔任語文科代表；

（2）某男生必須包括在內(nèi)，但不擔任語文科代表；

（3）某女生一定要擔任語文科代表，某男生必須擔任科代表，但不擔任數(shù)學(xué)科代表.

【答案】（1）840種（2）3360種（3）360種

【解析】（1）除去一定擔任語文科代表的女生后，先選后排，共有不同選法4：=840（種）.

（2）先選后排，但先安排不擔任語文科代表的該男生，所以共有不同選法=3360（種）.

（3）先從除去必須擔任科代表，但不擔任數(shù)學(xué)科代表的該男生和一定要擔任語文科代表的該女生的6人中

選3人有C：種，再安排必須擔任科代表，但不擔任數(shù)學(xué)科代表的該男生有C；種，其余3人全排列有國種，

所以共有不同選法C；?Cb=360（種）.

21.一個袋中有2個紅球，4個白球.

（1）從中取出3個球，求取到紅球個數(shù)X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

（2）每次取1個球，取出后記錄顏色并放回袋中.

①若取到第二次紅球就停止試驗，求第5次取球后試驗停止的概率；

②取球4次，求取到紅球個數(shù)Y的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

324

【答案】（1）分布列見解析，1；（2）①上一；②分布列見解析，一.

2433

【解析】（1）取到紅球個數(shù)X的可能取值為0』,2

所以P（X=°）=等喘j唳叫=等=誓小2=2）=登嗎V

即分布列為:

才012

3

P

555

13i

故數(shù)學(xué)期望為：￡（X）=0x-+lx|+2x-=l；

I9

（2）設(shè)“取一次取出紅球”為事件4“取一次取出白球”為事件8,且P（4）=§,P（8）=§,

①事件“前4次中恰有一次取出紅球”記為C,且與“第5次取出紅球”相互獨立

則若取到第二次紅球就停止試驗，第5次取球后試驗停止的概率

P=P（C）P（A）=C：

②取球4次，求取到紅球個數(shù)丫可能取值為0,1,2,3,4

所以叩=。）/圖噂

叩=3c.???吟哈,p=3）v??=A,

尸（一）

即分布列為:

Y01234

1632881

P

818?278181

故數(shù)學(xué)期望為：f(r)=0x—+1X—+2x—+3x—+4x—=-

v781812781813

22.在微博知名美食視頻博主李子柒的引領(lǐng)下，大家越來越向往田園生活，一大型餐飲企業(yè)擬對一個生態(tài)

農(nóng)家樂進行升級改造，加入量的農(nóng)耕活動以及自己制作農(nóng)產(chǎn)品活動，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到升級改造

投入x（萬元）與升級改造直接收益V（萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

X2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

當0<x?17時，建立了V與x的兩個回歸模型：模型①：3=4.1x+11.8；模型②：亍=21.36-14.4；

當x>17時，確定丁與x滿足的線性回歸方程為：y=-0.7x+a.

（I）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0<xW17時模型①、②的相關(guān)指數(shù)/?2,并選擇擬合精度更高、更

可靠的模型，預(yù)測對生態(tài)園升級改造的投入為17萬元時的直接收益.

回歸模型模型①