2021北京高中數(shù)學(xué)期末匯編：函數(shù)的性質(zhì)綜合

2021北京高中數(shù)學(xué)期末匯編：函數(shù)的性質(zhì)綜合

選擇題(共11小題)

1.(2021春?石景山區(qū)期末)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+oo)上為增函數(shù)的是()

A.y=yjx+lB.y=(x-1)2C.y=2~xD.y=log?x

~2

2.(2021春唱平區(qū)期末)若不等式a--x-c>0的解集為{M-1<XVL},則函數(shù)/(x)=c/一》-。的圖象可以

3.(2021春?昌平區(qū)期末)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是()

A.y—1-x2B.y—2wC.y—y/-xD.y—lnx

4.(2021春?通州區(qū)期末)已知指數(shù)函數(shù)/(x)=爐，將函數(shù)/(x)的圖象上的每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為

原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，再將g(x)的圖象向右平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)f(x)

的圖象重合，則“的值是()

A.±3B.3C.±V3D.V3

5.(2021春?大興區(qū)期末)若函數(shù)f(x)={'在區(qū)間(〃-1,3-2a)上有最大值，則實數(shù)。的取值范

.2x2,x4。

圍是()

A.(-oo,1)B.10,I)C.(-00,2)D.(0,I)

|x|

4)4,x<i

6.(2021春?海淀區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)={22,若關(guān)于x的額方程。=/(x)恰有兩個不同實

-X2+4X-2,X>1

根，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-8,1)U[1,2)B,(o,2)

C.(1,2)D.(1,2)

7.(2021春?朝陽區(qū)期末)水稻是世界最重要的食作物之一，也是我國60%以上人口的主糧.以袁隆平院士為首的

科學(xué)家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽(yù)為中國的“第五大發(fā)明”.育種技術(shù)的突破，雜交水稻的推廣,

不僅讓中國人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了巨大貢獻(xiàn).某農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻在面積相等

的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量(單位：依)如表：

品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年

甲900920900850910920

乙890960950850860890

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下面說法正確的是()

A.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大

B.甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小

C.甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等

D.甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定

8.(2021春?海淀區(qū)校級期末)如圖，在空間四邊形ABC。中，兩條對角線AC,8?；ハ啻怪?，且長度分別為4和

6,平行于這兩條對角線的平面與邊AS,BC,CD,分別相交于與E,F,G,H,記四邊形EFG”的面積為

y,設(shè)理=無，則()

AB

BC

A.函數(shù)(x)的值域為(0,4J

B.函數(shù)y=f(x)的最大值為8

C.函數(shù)y=/(x)在(0,A)上單調(diào)遞增

D.函數(shù)),=/(x)滿足/(x)=/(]-x)

9.(2021春?海淀區(qū)校級期末)已知曲線：①尸二挺/+產(chǎn)=1③y=/④爐->2=i.上述四條曲線中，滿足：“若曲線

與直線有且僅有一個公共點(diǎn)，則他們必相切”的曲線條數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

10.(2021春?大興區(qū)期末)在下列函數(shù)①/1(X)=/+1：②Mx)=13?f(x)=sinx；?f(x)=-/中，滿足在

定義域內(nèi)/(xo)(X-xo)t/(xo)>f(x)恒成立的函數(shù)個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

W)x,x<a

11.(2021春?通州區(qū)期末)已知/(x)=(2,若集合｛小>0,f(x)=/(-x)｝恰有2個元素，則a

x2.x>a

的取值范圍是()

A.(-co,0)B.[0,2)C.[0,4)D.[2,4)

二.填空題(共7小題)

12.(2021春?豐臺區(qū)期末)函數(shù)/(X)=，的定義域為___________.

Vx

13.(2021?西城區(qū)一模)函數(shù)/(x)=/m+聲彳的定義域是.

14.(2021春?昌平區(qū)期末)函數(shù)/(X)=一及X]).的定義插為____________________.

V1-X

15.(2021春?平谷區(qū)期末)已知不等式ar+工28對任意正實數(shù)x恒成立，那么正實數(shù)a的最小值為.

x

16.(2021春?豐臺區(qū)期末)已知函數(shù)/(X)^lnx-ax+\,若a=L則f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為；若有兩個

不同的零點(diǎn)，則“的取值范圍是.

2

17.(2021春?海淀區(qū)期末)已知f(x)=/〃(x+l),g(x)=(A)若對可引0,3],3x2G[l,2],使得了

(X|)>g(X2)，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是.

'|x+4a|,x<0,

18.(2021春?延慶區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)=1、人若關(guān)于x的方程/(x)=。(aGR)有四個實數(shù)

x+~,x>0?

X

解Xj(i=l,2,3,4),其中X1<X2<X3<X4,則(X|+X2)(X3-X4)的取值范圍是.

三.解答題(共7小題)

19.(2021春?密云區(qū)期末)已知關(guān)于x的不等式d-5x+6<0的解集為A={R2〈x<6}.

(I)求a,b的值；

(II)求函數(shù)f(x)=(a+b)x-f0-(x€A)的最小值,

(2a-b)x

20.(2021春?通州區(qū)期末)已知函數(shù))，=/(x)是圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4)的募函數(shù)，函數(shù)y=g(x)是定義域為R的奇

函數(shù)，且當(dāng)x￡［0,+00)時，g(x)=f(x)-2x.

(I)求函數(shù)y=f(x)的解析式；

(H)求當(dāng)xG(-00,0)時函數(shù)y=g(x)的解析式，并在給定的坐標(biāo)系中畫出y=g(x)(xGR)的圖象；

(III)寫出函數(shù)y=g(x)(x￡R)的單調(diào)區(qū)間.

21.(2021春?西城區(qū)期末)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R.若存在常數(shù)T,A(T>0,A>0),使得對于任意x^R,f

G+7)=V(x)成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P.

(I)判斷函數(shù)丫=》和丫=(：05苫具有性質(zhì)P?(結(jié)論不要求證明)

(II)若函數(shù)/(x)具有性質(zhì)P,且其對應(yīng)的T=n,A—2.已知當(dāng)xW(0,n］時，,f(x)=sinx,求函數(shù)f(x)

在區(qū)間［-兀，0］上的最大值；

(III)若函數(shù)g(x)具有性質(zhì)尸，且直線x=，"為其圖像的一條對稱軸，證明：gG)為周期函數(shù).

22.(2021春?西城區(qū)校級期末)已知集合S“={X|X=(xi，垃，…，x￡R,，=1,2,…，n},稱加為X的第i個

分量.對于S”的元素A=(671，S，…，an),B—(bl，。2，…，bn),定義A與8伯兩種乘法分別為：

AxB=(04-”2團(tuán),-43歷“，anb\-a\bn),

A*B=(vi02+b仍2,a2a3+勵3'“，ana\+bnb\).

給定函數(shù)f(x),定義S"上的一種變換F(X,f)=(/(xi),f(X2),??f(xn)).

(1)設(shè)f(x)=|x|,A=(1,0,-1),B=(-1,0,1),求F(A,/)xF(B,。和/(A,/)*F(B,/)；

(2)設(shè)/(x)=sin%,g(x)=cosx,對于X=(xi)X2,x”)，設(shè)Ao=F(X,/),B°=G(X,g).對任意人W

N且-1,定義A*+產(chǎn)A?x母，Bk+]=Ak*Bk.

(i)當(dāng)〃=3時，求證：山中為0的分量個數(shù)不可能是2個；

(?)若X=(制，X2，…，X")的任一分量都只能取X或-X,設(shè)A".|的第1個分量為<p(X),求(P(X)的最小正

周期的最小值，并求出此時所有的X.

23.(2021春?海淀區(qū)期末)若函數(shù)f(x)滿足：對于6,re[0,+00),都有f(s)>0,fCt)>0,且f(s)+f(t)<f

(s+f),則稱函數(shù)/(x)為“T函數(shù)

(1)試判斷函數(shù)f/x)=x2與無(X)=加(x+1)是否為“T函數(shù)”，并說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)為“T函數(shù)”，且存在必￡[0,+oo),使/(/(刈))=助，求證：fCxQ)=必；

(3)試寫出一個“T函數(shù)”，滿足/(2)=4,且使集合｛y|y=f(x),0W爛2｝中元素最少(只需寫出你的結(jié)論).

24.已知函數(shù)f(x)=Gx3+[x-xlnx,

bN

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(l))處的切線方程；

(II)若/(x)<4對x€d，e)恒成立，”的最小值.

e

25.(2021春?通州區(qū)期末)已知函數(shù)/(x)=33g(x)=\x+a\-2(〃￡R).

(I)若函數(shù)(g(x))是偶函數(shù)，求a；

(II)若函數(shù)y=g(/(%))存在兩個零點(diǎn)，求。的取值范圍.

2021北京高中數(shù)學(xué)期末匯編：函數(shù)的性質(zhì)綜合

參考答案與試題解析

選擇題（共11小題）

1.（2021春?石景山區(qū)期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+00）上為增函數(shù)的是（）

A.y—y/x+1B.y—（x-1）2C.y—2~xD.y=log[X

~2

【分析】根據(jù)題意，依次判斷各選項中函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案.

【解答】解：對于A,在區(qū)間（0,+oo）上為增函數(shù)，符合題意；

對于B,y=（x-1）2是二次函數(shù)，在區(qū)間（0,1）上為減函數(shù)，不符合題意；

對于C,y=2'=（工），是指數(shù)函數(shù)，在R上為減函數(shù)，不符合題意；

2

對于O,y=log[X是對數(shù)函數(shù)，在區(qū)間（0,+00）上為減函數(shù)，不符合題意；

~2

故選:A.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷，需注意常見函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2021春?昌平區(qū)期末）若不等式以2一x-c>。的解集為國-則函數(shù)/G）=次-》-”的圖象可以

為（）

>4>4

11X

2

2-:

【分析】根據(jù)題意，分析可得方程加-x-c=0的解為R=-1或及=工，且〃<0,由根與系數(shù)的關(guān)系分析。、

2

的值，即可得f（x）的解析式，分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，不等式五-…〉。的解集為｛x|-

貝1J方程ox2-X-c=0的解為X|=-1或及=上，且“V0,

2

則有(/，解可得門一2,

(-l)x1=^"I

Za

函數(shù)/(x)—ex2-X-a--x2-x+2,是開口向下，對稱軸為x=-5?的二次函數(shù)，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查一元二次不等式的解法，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2021春?昌平區(qū)期末)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是()

A.1-X2B.y—2wC.y—y/~x.D.y—lnx

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,y=\-x2,是二次函數(shù)，是偶函數(shù)，在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)，不符合題意；

對于8,y=2R=|2，，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，符合題意；

.2-x,x<0

對于C,y=y/~x，其定義域為［0,+8),不是偶函數(shù)，不符合題意；

對于。，y^lnx,是對數(shù)函數(shù)，，其定義域為(0,+00),不是偶函數(shù)，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷，注意常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2021春?通州區(qū)期末)已知指數(shù)函數(shù)/(x)=〃，將函數(shù)/(x)的圖象上的每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為

原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，再將g(x)的圖象向右平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)f(x)

的圖象重合，則a的值是()

A.±3B.3C.±V3D.V3

【分析】根據(jù)圖象的變換，求出對應(yīng)的解析式，建立方程進(jìn)行求解即可.

【解答】解：將函數(shù)/(x)的圖象上的每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖

象，

則g(x)=3ax,

再將g(x)的圖象向右平移2個單位長度，得到y(tǒng)=3a「2,所得圖象恰好與函數(shù)/(x)的圖象重合，

即3aL2="\即_^_=[,得層=3,“=遍，

a

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)圖象變換關(guān)系求出相應(yīng)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，是

中檔題.

5.(2021春?大興區(qū)期末)若函數(shù)f(x)={'在區(qū)間Ca-\,3-2a)上有最大值，則實數(shù)。的取值范

2x2,x<。

圍是()

A.(-oo,1)B.[0,1)C.(-00,2)D.(0,1)

【分析】先根據(jù)單調(diào)性畫出函數(shù)/(x)的大致圖象，再數(shù)形結(jié)合建立不等式，解不等式可得答案.

【解答】解：令g(x)=3x-V,x>0,則g'(x)=3-3N=3(1-3)，

令g，(x)>0,解得OVxVl；令g，(x)<0,解得x>l,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+00)上單調(diào)遞減.

又/(I)=2=/(-1),作出函數(shù)/(x)的大致圖象，

結(jié)合圖象，由題意可得--1<1<3-2a,解得O<a<l,

所以實數(shù)。的取值范圍是[0，1).

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于中

檔題.

(.)團(tuán)號,X<1

6.(2021春?海淀區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)={22,若關(guān)于x的額方程a=/(x)恰有兩個不同實

-X2+4X-2,X>1

根，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,1)U[1,2)B.(0,2)

C.1)U(1,2)D.(1,2)

【分析】作出/(x)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為y=a與y=/(x)恰有兩個不同的實數(shù)根，解得。的范圍.

【解答】解：作出/(x)的圖象如圖所示：

當(dāng)它1時，l</(x)<<(0)=旦，

22

又/⑴=1,

又因為%>1時，/G)=-G-2)2=2,

此時/(X)最大值為2,

所以當(dāng)工或3<4<2時，方程a=/(x)恰有兩個不同的實數(shù)根,

22

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系，分段函數(shù)，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.(2021春?朝陽區(qū)期末)水稻是世界最重要的食作物之一，也是我國60%以上人口的主糧.以袁隆平院士為首的

科學(xué)家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽(yù)為中國的“第五大發(fā)明”.育種技術(shù)的突破，雜交水稻的推廣,

不僅讓中國人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了巨大貢獻(xiàn).某農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻在面積相等

的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量(單位：依)如表:

品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年

甲900920900850910920

乙890960950850860890

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下面說法正確的是()

A.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大

B.甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小

C.甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等

D.甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)對應(yīng)各個選項逐個計算判斷即可求解.

【解答】解：選項A：甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為：9OO+92O+9OO+85O+91O+92O=goo，

6

乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為：-0+960+950+850+860+890=900，

6

即甲乙種的水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，故A錯誤，

選項8：甲種的水稻產(chǎn)量分別為：850,900,900,910,910,920,中位數(shù)為列號電=905，

乙種的水稻產(chǎn)量分別為：850,860,890,890,950,960,中位數(shù)為890<905,故8錯誤，

選項C：甲種的水稻產(chǎn)量的極差為920-850=70,乙種的水稻產(chǎn)量的極差為960-850=110>70,故C錯誤，

選項D-.甲種的水稻產(chǎn)量的方差為：?^[(850-900)2+(910-900)2+(920-900)2+(920-900)2]=上整，

63

乙種的水稻產(chǎn)量的方差為：^[(890-900)2+(960-900)2+(950-900)2+(850-900)2+(860-900)2+(890

6

-900)

2J=5200_>170CI_)

33

因為甲乙種的水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，而甲種的水稻產(chǎn)量的方差小于乙，故甲種的水稻產(chǎn)量穩(wěn)定，故。正確，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型的問題，涉及到平均數(shù)，中位數(shù)以及方差的運(yùn)算，考查了學(xué)生的

運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.(2021春?海淀區(qū)校級期末)如圖，在空間四邊形ABCD中，兩條對角線AC,8?；ハ啻怪?，且長度分別為4和

6,平行于這兩條對角線的平面與邊A8,BC,CD,D4分別相交于與E,F,G,H,記四邊形EFGH的面積為

A.函數(shù)y=/(x)的值域為(0,4J

B.函數(shù)y=f(x)的最大值為8

C.函數(shù)(x)在(0,—)上單調(diào)遞增

3

D.函數(shù)滿足f(x)=f(--X)

3

【分析】根據(jù)空間四邊形的性質(zhì)證明四邊形EFGH為矩形，然后根據(jù)比例關(guān)系求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，結(jié)合一

元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：〃平面EFGH,8￡>〃平面EFGH,

J.AC//EF.AC//HG,BD//EH.BD//FG,

則四邊形EFGH為平行四邊形，

???兩條對角線AC,8?；ハ啻怪?，

EHVEF,則四邊形EFGH為矩形，

即EH=(1-x)BD=6(1-x),

同理空=此，IjIIJEF=x'AC=Ax,

ACAB

則四邊形的面積為產(chǎn)2

EFGH(1-x)=24(x-x)=-24(x-A)2+6,

；xG(0,1),

...當(dāng)x=2時，函數(shù)取得最大值6,故A,8錯誤.

2

函數(shù)的對稱軸為x=2，則函數(shù)在(0,工)上是單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確.

23

函數(shù)的對稱軸為x=—,

2

函數(shù)y=/(x)滿足/(x)=/(1-x),故。錯誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查空間四邊形和函數(shù)的綜合以及與一元二次函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)是考查，綜合性較強(qiáng)，涉及的知

識點(diǎn)較多，有一點(diǎn)的難度.

9.(2021春?海淀區(qū)校級期末)已知曲線：@/=%(2)^+/=l(§)y=x3?x2-/=1.上述四條曲線中，滿足：“若曲線

與直線有且僅有一個公共點(diǎn)，則他們必相切”的曲線條數(shù)是()

A.IB.2C.3D.4

【分析】分別根據(jù)直線和拋物線，圓，幕函數(shù)，雙曲線有一個點(diǎn)的情況，進(jìn)行討論即可.

【解答】解：①當(dāng)直線和拋物線產(chǎn)=》對稱軸平行時，曲線與直線有且僅有一個公共點(diǎn)，

但此時直線不是切線，故①錯誤，

②當(dāng)直線和圓/+產(chǎn)=1只有一個公共點(diǎn)時，直線與圓相切，故②正確，

③當(dāng)直線和x軸平行時，直線和只有一個交點(diǎn)，但此時直線和曲線不相切，故③錯誤，

④當(dāng)直線和雙曲線x2-)2=1的漸近線平行時，直線和雙曲線有一個交點(diǎn)，

但此時直線和雙曲線不相切，故④錯誤，

故正確的只有②，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查命題的真假判斷，涉及直線和曲線相切的位置關(guān)系的判斷，要求掌握常見曲線和直線的位

置關(guān)系.

10.(2021春?大興區(qū)期末)在下列函數(shù)①/'(x)=/+1；②/'(x)—lux；?f(x)=sior；@f(x)=-爐中，滿足在

定義域內(nèi)f(xo)(x-xo)+f(x<>)￥(x)恒成立的函數(shù)個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】分別求得給出的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合因式分解和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求得最值，可判斷結(jié)論.

【解答】解：對于副(x)=N+1,f(x)=2x,

f(xo)(X-X0)+f(期)-f(x)—2xo(X-xo)+xo2+l■(N+l)

=2x0（X-XO）+（xo-x）（必+x）=-（X-Xo）2g0,

即/(Xo)(x-Xo)+f(Xo)<f(x),故①不滿足題意；

對于②f(X)=bvc，導(dǎo)數(shù)為,尸(x)=—(x>0),

X

設(shè)尸(x)=f(xo)(x-xo)4/(xo)~f(x)=-^—(x-xo)+btxoT，vc,

x0

F'(jt)=--當(dāng)x>xo時，F(xiàn)'(x)>0,F(x)遞增；

x

0xxx0

當(dāng)O<x<xo時，F(xiàn)'(x)<0,F(x)遞減.

所以F(x)在x=xo處取得最小值0,即尸(x)>0,

故②符合題意；

對于③f(x)=sinx,導(dǎo)數(shù)為/(x)=cosx,

設(shè)F(x)=f(即)(x-xo)+f(沏)-f(x)=cosxo(x-xo)+sinxo-sinx,

F'(x)=COSXO-cosx,由廣(x)=0,可得x有無數(shù)個解，故③不符合題意；

對于④f(x)=-X2,導(dǎo)數(shù)為/(x)=-2x,

f(xo)(X-Xo)+f(xo)-f(x)=-2xo(X-xo)-X02-(-X2)

=-2x0(x-xo)-(xo-x)(xo+x)=(x-xo)2>0,

即f(xo)(x-xo)+f(xo)>f(%),故④滿足題意.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)恒成立問題解法，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題.

("-)x,x<a…一

11.(2021春?通州區(qū)期末)已知/(x)=<2,若集合｛小>0,f(x)=/(-x)｝恰有2個兀素，則〃

x2,x>a

的取值范圍是()

A.(-oo,0)B.[0,2)C.[0,4)D.[2,4)

【分析】分QV0,。=0,。>0三種情況，寫出/G),/(-X),再由fG)=/(-X)討論方程解的情況，即可

得到答案.

【解答】解：當(dāng)“<0時，f(x)=，份)*,x4a

,則(x>0)圖象的對稱軸左右部分均可以取到,

x2,x>a

而y=(本身具有偶函數(shù)的性質(zhì)，所以集合“k>0,/(X)=/(-X)}中不止有兩個元素，不符合題意:

當(dāng)a=0時，f(x)=<、2)X,x<0

,則/(-X)—2',由2'=9，可得x=2或x=4,恰好兩個解，符合題意;

x2.x>0

當(dāng)a>0時，若0a時，f(X)=(-L)x(

則-x<0<a,/(-x)=(-^-)-x=2X,

由=/(-%),可得.)x=2x,解得尸0,不符合題意;

若x>。時，可得乂2=(■!)"=2x,解得x=2或x=4,恰好兩個解，所以0Va<2.

綜上所述，實數(shù)4的取值范圍為［0,2).

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的運(yùn)用，對于分段函數(shù)問題，一般運(yùn)用

分類討論或數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行研究，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題.

二.填空題(共7小題)

12.(2021春?豐臺區(qū)期末)函數(shù)/(X)=勺的定義域為期反>0}

VX

【分析】可看出，要使得/(x)有意義，則需滿足x>0,然后寫出f(x)的定義域即可.

【解答】解：要使/(x)有意義，則x>0,

：.f(x)的定義域為{X仇>0}.

故答案為：{x|x>0}.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)定義域的定義及求法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2021?西城區(qū)一模)函數(shù)/(x)=和什、/7二的定義域是30〈炬”.

【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，從而求出/(x)的定義域.

【解答】解：?.?函數(shù)f(x)=//w+JTG，

./x>0

解得0〈爛1;

函數(shù)f(x)的定義域為國0〈爛1}.

故答案為：30〈爛1}.

【點(diǎn)評】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時應(yīng)根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，從而

求出定義域，是基礎(chǔ)題.

14.(2021春?昌平區(qū)期末)函數(shù)/(x)=應(yīng)芻也的定義域為(工，1).

E—2

【分析】由題意根據(jù)函數(shù)的定義域的求法，得出x的范圍.

【解答】解：對于函數(shù)/(x)=、牛;1),應(yīng)有2x-1>0,1-x>0,

V1-x

求得工Vx<l,可得函數(shù)的定義域為(工，1),

22

故答案為：(工，1).

2

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2021春?平谷區(qū)期末)已知不等式以+1次對任意正實數(shù)x恒成立，那么正實數(shù)a的最小值為16.

X

【分析】問題可轉(zhuǎn)化為af-⑥+GO,對任意正實數(shù)無恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列不等式，即可得出答案.

【解答】解：因為不等式依+1次對任意正實數(shù)X恒成立，

X

所以加-8X+1K),對任意正實數(shù)X恒成立，

當(dāng)。=0時，不等式-8/后0,即嗎，不符合對任意正實數(shù)x恒成立，

當(dāng)今0時，令/(x)=0^-8x+l,

若對任意正實數(shù)X恒成立,

\>0^->0

則|Q/無解，或,2a

-^-<0

,2a4aX1(8)2

>0

4；a-

解得a>16,

所以正實數(shù)〃的最小值為16.

故答案為：16.

【點(diǎn)評】本題考查不等式的恒成立問題，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.(2021春?豐臺區(qū)期末)已知函數(shù)/(X)^lnx-ax+\,若a=l,則/(x)的零點(diǎn)個數(shù)為1；若f(x)有兩個

不同的零點(diǎn)，則”的取值范圍是0<a<i.

【分析】當(dāng)a=l時，求導(dǎo)得了(x),分析f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可得f(x)n,ax^f(1)=0,故f(x)的零點(diǎn)個

數(shù)為1；對/(公求導(dǎo)得/(x)=上型，分兩種情況：當(dāng)任0時，當(dāng)a>0時，討論f(x)的單調(diào)性，最值，即

X

可得出答案.

【解答】解：當(dāng)4=1時，f(x)=lnx-x+1,

f(x)=—-1=J^,

XX

當(dāng)OVxVl時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>lEl寸，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以/(X)max=f(1)=0,

所以/a)的零點(diǎn)個數(shù)為i,

f(x)=--a=-1--ax,

xx

當(dāng)區(qū)0時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，/(x)不會有兩個零點(diǎn)，

當(dāng)a>0時，令/(x)>0,得0<x<』，/(x)單調(diào)遞增，

a

令/(x)<0,得工，f(x)單調(diào)遞減，

a

所以/(x)niax=f(―)=ln—-ax—+\=ln—f

aaaa

若f(x)有兩個零點(diǎn)，則/〃工>0,

a

所以2>1,有。>0,

a

所以O(shè)V〃V1,

故答案為：1；0<4<1.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

春?海淀區(qū)期末)已知=加2g若對2],使得了

17.(2021f(x)(x+l),(x)=(A)^-m,WqG[0,3],3x2e[l,

(X|)>g(X2),則實數(shù)，"的取值范圍是」+8).

4

【分析】先利用函數(shù)的單調(diào)性求出兩個函數(shù)的函數(shù)值的范圍，再比較其最值即可求實數(shù)，"的取值范圍.

【解答】解：因為尤1H0,3]時,/(xi)G[0,歷10]；

及引時，g(及)e[X-m,

1,2]A-m].

42

故只需ON工-

一44

故答案為：[工，3).

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力和分析問題的能力，屬于中檔題.

'|x+4e|,x40,

18.(2021春?延慶區(qū)期末)己知函數(shù)f(x)=10若關(guān)于x的方程/G)=a(4￡R)有四個實數(shù)

x+—,x>0?

解即(i=l,2,3,4),其中XiVx2Vx3Vx4，則(%i+x2)(尤3-戈4)的取值范圍是—(o,16e/74e2-ll_0

【分析】由函數(shù)的圖象及性質(zhì)判斷出X”X2,X3,X4之間的關(guān)系，進(jìn)而把所求式子轉(zhuǎn)化為y=x-工在(0,2e-

X

伍W)上的取值范圍，即可得到所求范圍.

|x+4e|,x40,

【解答】解：函數(shù)f(x)=10的圖象如右:

x+~，x>0,

X

關(guān)于x的方程/(x)=a(〃￡R)有四個實數(shù)解，

可得>=/(無)的圖象與直線有四個交點(diǎn),

可以判斷2<〃S4e,XJ+X2=2X(-4e)=-8e

XQ」V4e,即心，必是方程/-4ex+l=0的兩個根,

3x34x4

則可得X3d(0,2^-iy4e2_1),x4e(b2e+5y4e2_1),

且有X3%4=1，所以X4=

故（xi+%2）（%3-X4）=-8e（%3--其中為右（0,2e-44巳2_]）,

xJ

又由函數(shù)y=》-』在（0,2e-^4e2_p上遞增，

可得函數(shù)丫=X-2在（0,Ie--^4e2-l）上的值域為（-2山02-];0），

可知-8e（M-」亍）的取值范圍為（0,16^4e2_1）.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)圖象的運(yùn)用及函數(shù)方程的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，正確作出函數(shù)圖象，并從圖象中挖掘

出有效信息是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

三.解答題（共7小題）

19.（2021春?密云區(qū)期末）已知關(guān)于x的不等式五-5x+6<0的解集為4=｛取《。｝.

（I）求小h的值;

求函數(shù)f（x）=（a+b）xV%（x€A）的最小值,

(II)

【分析】(I)由方程與不等式的關(guān)系知2,6是方程加-5x+6=0的解，從而由韋達(dá)定理求解.

(II)化簡/(x)=4x+至，從而利用基本不等式求解.

X

【解答】解：(I)??,關(guān)于x的不等式以2—5X+6V0的解集為4=32〈無〈加，

；.2+b=—,26=2，

aa

解得a=l,6=3,

(n)由(I)知，/(x)=4x+空爾4、25=20,

(當(dāng)且僅當(dāng)4X=2A,即x=5時，等號成立)，

x2

故f(x)的最小值為20.

【點(diǎn)評】本題考查了方程與不等式的關(guān)系，同時考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.(2021春?通州區(qū)期末)已知函數(shù))，=/(x)是圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4)的幕函數(shù)，函數(shù)y=g(x)是定義域為R的奇

函數(shù)，且當(dāng)xG[0,+oo)時，g(x)—f(x)-2x.

(I)求函數(shù)(x)的解析式；

(H)求當(dāng)xd(-oo,0)時函數(shù)y=g(x)的解析式，并在給定的坐標(biāo)系中畫出y=g(x)(%eR)的圖象；

(III)寫出函數(shù)y=g(x)(x￡R)的單調(diào)區(qū)間.

【分析】(I)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

(II)利用奇函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解；

(III)利用圖象進(jìn)行求解即可.

【解答】解：(I)設(shè)/(x)=K,幕函數(shù)過點(diǎn)(2,4),則2。=4,得a=2,

即函數(shù)y=/(x)的解析式為/(x)=爐；

(II):當(dāng)xC[O,+00)時，奇函數(shù)g(x)滿足g(x)=f(x)-2x=x1-2x

當(dāng)xC(-co,0)時，-(0,+oo)時，g(-x)—x1+2x--g(x),

則g(x)--x2-2x,xd(-oo,0),

給定的坐標(biāo)系中y=g(x)(xeR)的圖象如圖；

(III)由圖象知函數(shù)y=g(x)(xGR)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1],[1,+oo).

單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,1].

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)解析式以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，是中

檔題.

21.(2021春?西城區(qū)期末)設(shè)函數(shù)/(X)的定義域為R.若存在常數(shù)T,A(T>0,A>0),使得對于任意x￡R,f

(x+T)=Af(x)成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P.

(I)判斷函數(shù)具有性質(zhì)尸？(結(jié)論不要求證明)

(II)若函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P,且其對應(yīng)的7=兀，A=2.已知當(dāng)(0,何時，/(x)=sinx,求函數(shù)/(x)

在區(qū)間[-兀，0J上的最大值；

(III)若函數(shù)g(X)具有性質(zhì)P,且直線x=機(jī)為其圖像的一條對稱軸，證明：g(X)為周期函數(shù).

【分析】根據(jù)題中給出的性質(zhì)P的定義，結(jié)合函數(shù)周期性進(jìn)行判斷解題.

【解答】解：(I)函數(shù)y=x不具有性質(zhì)P；函數(shù)y=coso：具有性質(zhì)P.

(II)設(shè)xG(-兀，0],則％+?！?0,7i].

由題意，得了(x+兀)=2f(x)=sin(什兀)，

所以當(dāng)/(x)=--^-sinx,(-n>0]

由/(-兀+兀)=2f(-7C),/(0+71)=2f(0),得f(-兀)(兀)=0.

所以當(dāng)工￡［-兀，0］時，/(x)=--i-sinr.

故當(dāng)x=T時，/(x)在區(qū)間［-兀，0］上有最大值

(Ill)證明：當(dāng)g(x)=0,xGR時，結(jié)論顯然成立；

下面考慮g(X)不恒等于0的情況，即存在必，使得g(%o)卻，

由于直線x=m為函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸，所以g(2/H-XO)=g(xo)加，

由題意，存在公，Ao，(7o>O,Ao>O),使得g(x+W=A°g(x0)成立，

所以g(2m-xo)=Aog(2機(jī)-x(>-To),即g(2機(jī)-xo-To)=~^~g(xo)>

由直線x=，〃是函數(shù)g(x)圖像的一條對稱軸，

得g(2m-xo-7b)=g(xo+7o),

又因為g(w+7b)=Aog(xo),g(xo)/)，

所以」二-g(冽)=A°g(x0)>即Ao=l,

A0

故對于任意xWR，g(x+W=g(x)成立，其中7b>0.

綜上，g(x)為周期函數(shù).

【點(diǎn)評】本題為函數(shù)創(chuàng)新型題目，考查函數(shù)周期性的應(yīng)用，需要對知識有一定的運(yùn)用能力，為中等題目.

22.(2021春?西城區(qū)校級期末)已知集合S“={X|X=(xi，M，…，x”)，x,WR,i=l,2,…，〃},稱汨為X的第，個

分量.對于S”的元素A=(a”a2,an),B=(bi，歷，…，b”),定義A與B伯兩種乘法分別為：

AxB={a\bi-。2加，a2b3-a3b2…,anb\-a也),

A*B=(〃1。2+歷歷,a2a3+b2b3…,ana\+bnb\).

給定函數(shù)fG),定義S〃上的一種變換/(X,/)=(/(xi),f(及)，…，/