選擇性必修第一冊(cè)第2章 2.4　2.4.2　圓的一般方程

PAGE2.4.2圓的一般方程學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.正確理解圓的方程的形式及特點(diǎn)，會(huì)由一般式求圓心和半徑．(重點(diǎn))2.會(huì)在不同條件下求圓的一般方程．(重點(diǎn))1.通過圓的一般方程的推導(dǎo)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.通過學(xué)習(xí)圓的一般方程的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展開是一個(gè)什么樣的關(guān)系式？(2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，將得到怎樣的方程？這個(gè)方程一定表示圓嗎？在什么條件下一定表示圓？這就是今天我們將要研究的問題．圓的一般方程(1)圓的一般方程的概念當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．其中圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，圓的半徑為r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).(2)對(duì)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的討論①D2＋E2－4F＞0時(shí)表示圓．②D2＋E2－4F＝0時(shí)表示點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).③D2＋E2－4F＜0時(shí)，不表示任何圖形．思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是什么？[提示]A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0.1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓． ()(2)利用圓的一般方程無法判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系． ()(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程可以相互轉(zhuǎn)化． ()(4)利用待定系數(shù)法求圓的一般方程時(shí)，需要三個(gè)獨(dú)立的條件． ()[提示](1)×(2)×(3)√(4)√2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，則λ的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1))C．(1，＋∞)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))) D．RA[因?yàn)榉匠蘹2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，所以D2＋E2―4F＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范圍是(1，＋∞)．故選A.]3．圓的方程為(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，則它的圓心坐標(biāo)為________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))[圓的方程整理為x2＋y2＋x＋2y－10＝0，配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝eq\f(45,4)，所以圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).]4．過點(diǎn)(0,0)，(4,0)和(0,6)三點(diǎn)的圓的一般方程為________．x2＋y2－4x－6y＝0[三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形，且圓心坐標(biāo)為(2,3)，半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(42＋62)＝eq\r(13).∴方程為(x－2)2＋(y－3)2＝13，一般方程為x2＋y2－4x－6y＝0.]圓的一般方程的認(rèn)識(shí)【例1】(1)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是________．(2)下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求出其圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)．①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.(1)(－∞，1)[把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由條件可知1－a＞0，即a＜1.](2)[解]①方程可變形為(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圓，圓心為C(2,0)，半徑r＝2.②方程可變形為2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋2(y＋1)2＝－eq\f(23,8)，此方程無實(shí)數(shù)解．故方程不表示任何圖形．③原方程可化為(x＋a)2＋y2＝a2.當(dāng)a＝0時(shí)，方程表示點(diǎn)(0,0)，不表示圓；當(dāng)a≠0時(shí)，方程表示以(－a,0)為圓心，|a|為半徑的圓．判斷方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圓，關(guān)鍵是將其配方eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(D2＋E2－4F,4)，最后轉(zhuǎn)化為判斷D2＋E2－4F的正負(fù)問題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.[解](1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2與y2的系數(shù)不相同，∴它不能表示圓．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy這樣的項(xiàng)，∴它不能表示圓．(3)∵方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化為(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圓．(4)∵方程2x2＋2y2－5x＝0化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(2)，∴它表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))為圓心，eq\f(5,4)為半徑長(zhǎng)的圓.求圓的一般方程【例2】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、外心坐標(biāo)和外接圓半徑．[解]法一：設(shè)△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，))∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴外心坐標(biāo)為(1，－1)，外接圓半徑為5.法二：∵kAB＝eq\f(4－3,1＋2)＝eq\f(1,3)，kAC＝eq\f(4＋5,1－4)＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A為直角的直角三角形，∴外心是線段BC的中點(diǎn)，坐標(biāo)為(1，－1)，r＝eq\f(1,2)|BC|＝5.∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25.確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a，b，r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心(a，b)和半徑r，一般步驟為：(1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；(3)解方程組，求出a，b，r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑長(zhǎng)為eq\r(2)，求圓的一般方程．[解]圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∵圓心在直線x＋y－1＝0上，∴－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2. ①又∵半徑長(zhǎng)r＝eq\f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq\r(2)，∴D2＋E2＝20. ②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又∵圓心在第二象限，∴－eq\f(D,2)＜0，即D＞0.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4.))故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.與圓有關(guān)的軌跡問題[探究問題]1．求軌跡方程與軌跡有什么區(qū)別？[提示]軌跡是一個(gè)圖形，比如是直線、圓之類，而軌跡方程是這個(gè)圖形的方程．2．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)(8,0)的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)(2,0)的距離的2倍，你能求出點(diǎn)M的軌跡方程嗎？[提示]設(shè)M(x，y)，由題意有eq\r(x－82＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，整理得點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2＝16.【例3】點(diǎn)A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點(diǎn)，點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程．[思路探究](1)eq\x(設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo))→eq\x(用P，A坐標(biāo)表示點(diǎn)M坐標(biāo))→eq\x(求軌跡方程)(2)eq\x(設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo))→eq\x(探求點(diǎn)N的幾何條件)→eq\x(建方程)→eq\x(化簡(jiǎn)得軌跡方程)[解](1)設(shè)線段AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)公式得點(diǎn)P坐標(biāo)為(2x－2,2y)．∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.1．在本例條件不變的情況下，求過點(diǎn)B的弦的中點(diǎn)T的軌跡方程．[解]設(shè)T(x，y)．因?yàn)辄c(diǎn)T是弦的中點(diǎn)，所以O(shè)T⊥BT.當(dāng)斜率存在時(shí)有kOT·kBT＝－1.即eq\f(y,x)×eq\f(y－1,x－1)＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0.當(dāng)x＝0或1時(shí)點(diǎn)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)也都在圓上．故所求軌跡方程為x2＋y2－x－y＝0.2．本例條件不變，求BP的中點(diǎn)E的軌跡方程．[解]設(shè)點(diǎn)E(x，y)，P(x0，y0)．∵B(1,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0＋1,2).))整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，整理得點(diǎn)E的軌跡方程為x2＋y2－x－y－eq\f(1,2)＝0.1．直接法求軌跡方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)；(2)列出點(diǎn)M滿足條件的集合；(3)用坐標(biāo)表示上述條件，列出方程；(4)將上述方程化簡(jiǎn)；(5)證明化簡(jiǎn)后的以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是軌跡上的點(diǎn)．2．代入法求軌跡方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)；(2)建立x，y與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)x0，y0的方程；(3)用x，y表示x0，y0；(4)把(x0，y0)代入到相關(guān)點(diǎn)滿足的方程；(5)化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式．1．求圓的方程時(shí)，如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r；如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).2．圓的方程的幾種特殊情況一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)過原點(diǎn)x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圓心在x軸上x2＋y2＋Dx＋F＝0(D2－4F＞0)圓心在y軸上x2＋y2＋Ey＋F＝0(E2－4F＞0)3.求涉及到曲線的軌跡問題時(shí)，一般有兩種方法：一是直接法，即把動(dòng)點(diǎn)滿足的條件直接用坐標(biāo)“翻譯”過來的方法；二是代入法，代入法也叫相關(guān)點(diǎn)法，就是把動(dòng)點(diǎn)(x，y)與相關(guān)點(diǎn)(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所滿足的曲線的方法．解題時(shí)要注意條件的限制．1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的圖形是()A．一個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓C．一條直線 D．不存在A[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化為x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示點(diǎn)(1，－2)．]2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m＜eq\f(1,2) B．m≤eq\f(1,2)C．m＜2 D．m≤2A[由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜eq\f(1,2)，故選A.]3．若圓x2＋y2－2kx＋2y－4＝0關(guān)于直線2x－y＋3＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)k等于________．－2[由條件可知，直線經(jīng)過圓的圓心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2.]4．設(shè)圓x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圓心為A，點(diǎn)P在圓上，則PA的中心M的軌跡方程是________．x2＋y2－4x＋2y＋1＝0[由條件知A(2，－1)，設(shè)M(x，y)，則P(2x－2,2y＋1)，由于P在圓上，∴(2x－2)2＋(2y