高等數(shù)學(xué)A(1)復(fù)習(xí)資料

高數(shù)A（1）復(fù)習(xí)資料一、極限計(jì)算：常用方法包括等價(jià)無窮小替換，洛必達(dá)法則，兩個重要極限。解題思路：首先判斷是否為未定式，否則化成未定式類型（特別注意冪指函數(shù)情形利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化；加減法類型一般通分；如果無窮多項(xiàng)相加則要先求和，如果不能直接求和可能需要利用夾逼準(zhǔn)則放縮后后再求和；），對于未定式類型先考慮利用等價(jià)無窮小替換后再利用洛必達(dá)法則。注意：函數(shù)中如果出現(xiàn)冪指函數(shù)類型也可以考慮直接利用第二個重要極限處理，注意處理技巧。如果出現(xiàn)變上限函數(shù)類型，注意變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如何計(jì)算，特別是上限為的函數(shù)，也就是積分上限函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時求導(dǎo)要利用鏈?zhǔn)椒▌t；如果積分上限函數(shù)被積函數(shù)不是積分變量的一元函數(shù)，則將其他變量提出到積分號外面，或者利用換元法化到積分限上。常用等價(jià)無窮?。?，（）練習(xí)題：設(shè)，則；；.4.5.6.7.二、無窮小比較：高階，同階，等價(jià)的定義處理思路：轉(zhuǎn)化為求極限問題，特別是同階無窮??；注意如果分式極限存在，分母為無窮小量，則分子也一定為無窮小量。練習(xí)題：1.當(dāng)時，x-sinx是的A,低階無窮小B，高階無窮小C,等價(jià)無窮小D，同階但非等價(jià)無窮小2．當(dāng)時，比其他三個更高階的無窮小量是（）3.,求:.三、連續(xù)性間斷點(diǎn)判斷：注意連續(xù)定義和兩類間斷點(diǎn)的區(qū)別，重點(diǎn)在可去，跳躍和無窮的判斷；處理思路：轉(zhuǎn)化為求極限，特別注意單側(cè)極限不相等情形。練習(xí)：求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型(1);[(1)無窮;(2)跳躍](2)[(1)可去;(2)跳躍]四、導(dǎo)數(shù)計(jì)算:掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率），會求切線方程和法線方程；掌握求隱函數(shù)和參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)方法；會求微分。處理思路：求二階導(dǎo)數(shù)時先求一階，對于隱函數(shù)的一階可以采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法或者微分法解決，二階導(dǎo)數(shù)利用定義結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算；參數(shù)方程將參數(shù)視為中間變量化為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，二階導(dǎo)數(shù)結(jié)合定義、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)法則進(jìn)行。微分計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)計(jì)算，但結(jié)果表示時候注意不要漏掉自變量的微分。練習(xí)：1.曲線上對應(yīng)于t=處的法線方程2.設(shè)函數(shù)由等式所確定,求:。[]3.由確定的隱函數(shù)為,求:。[]4.求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):[]5.求的微分dy.6.求五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：單調(diào)性判斷，極值，凹凸區(qū)間，拐點(diǎn)處理思路：對單調(diào)性+極值問題采用一階導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，分割定義區(qū)間，判斷導(dǎo)數(shù)符號，極限判斷可利用第一充分條件或者第二充分條件；對凹凸性+拐點(diǎn)問題類似，但需要用到二階導(dǎo)數(shù)，求二階導(dǎo)數(shù)為0或者不存在的點(diǎn)。注意拐點(diǎn)的定義為點(diǎn)的幾何坐標(biāo)，極值點(diǎn)僅為自變量的坐標(biāo)。練習(xí)：1.求的極值點(diǎn)與拐點(diǎn).2.求:的(1)單調(diào)性;(2)凹凸性;[(1);(2):凹;]六、積分計(jì)算：處理思路：主要考慮兩種方法，換元或者分部。注意第一換元法被積函數(shù)類型為復(fù)合函數(shù)乘以中間變量導(dǎo)數(shù)類型，若被積函數(shù)里面含有根式則可以考慮第二換元法，如三角代換，無理式整體代換，倒代換等。如果被積函數(shù)為兩種不同類型的函數(shù)乘積，又不能使用第一換元法，則考慮分部積分。注意：（1）可能換元和分部積分法的結(jié)合使用，另外不定積分不要漏掉常數(shù)C。（2）對稱性在定積分中的使用，如果積分區(qū)間對稱，而被積函數(shù)僅僅部分有奇偶性時候則將利用積分的線性性質(zhì)拆開再利用對稱性化簡。練習(xí)：2.3.3.4.5.6.7.[]七、定積分的應(yīng)用：主要是求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積；處理思路：利用微元法推導(dǎo)公式或者熟記相關(guān)公式，注意積分變量的選擇，盡可能選擇計(jì)算簡單的積分變量；對于旋轉(zhuǎn)體的體積注意有圓盤法和柱殼法兩種，重點(diǎn)使用圓盤法。練習(xí)：求拋物線，圍成的區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體體積；2.,求,使與直線相切,且與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積達(dá)到最大.3.已知曲線與曲線在點(diǎn)處有公切線,求:(1)常數(shù)及切點(diǎn);(2)兩曲線與軸圍成的平面圖形的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積[]八、反常積分計(jì)算：處理思路：轉(zhuǎn)化為常義積分+求極限，常義積分的計(jì)算采用換元或者分部。練習(xí)：[:發(fā)散]九、一階線性微分方程求通解：處理思路：常數(shù)變易法或者公式；注意線性的判斷，如果關(guān)于不是線性，考慮是否關(guān)于為線性。練習(xí)：1.求微分方程滿足的特解.2.[]3.設(shè)連續(xù),且,求:[]十、二階常系數(shù)非齊次微分方程求通解：主要考慮，就是多項(xiàng)式乘指數(shù)函數(shù)類型。處理思路：先求齊次的通解（利用特征方程求根），再判斷非齊次特解的類型（特解類型也是多項(xiàng)式乘指數(shù)類型，關(guān)鍵是多項(xiàng)式的次數(shù)的確定，三種類型：同次，高一次，高二次，與是否為特征方程的根有關(guān)系），然后代入原方程確定相應(yīng)多項(xiàng)式的系數(shù)即可。注意：特解求出后可以代入原方程驗(yàn)證是否正確。練習(xí)：求微分方程的通解.2.求微分方程的通解.十一、證明題：不等式證明、等式證明處理思路：（1）不等式證明一般采用導(dǎo)數(shù)法,首先將不等式右手邊移項(xiàng)，設(shè)出輔助函數(shù)（如果是分式情形最好化成整式情形），然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)符號和端點(diǎn)函數(shù)值（一般為0）推導(dǎo)出不等式。注意如果一階導(dǎo)數(shù)求出后無法直接判斷其符號，可能要對一階導(dǎo)數(shù)（也可能是一階導(dǎo)數(shù)中的部分）繼續(xù)求導(dǎo)，利用二階導(dǎo)數(shù)符號判斷一階導(dǎo)數(shù)符號，然后再利用一階導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)輔助函數(shù)的單調(diào)性。等式證明：對于證明的存在性的問題，一般采用羅爾定理。這里注意兩個地方：一是輔助函數(shù)的構(gòu)造（根據(jù)證明結(jié)論反推，特別是抽象函數(shù)情形，特別注意類型）；二是羅爾定理第三個條件證明，如果對于輔助函數(shù)的第三個條件不好驗(yàn)證（一般是抽象函數(shù)），而已知條件中含有定積分條件，可以考慮利用積分中值定理得到兩點(diǎn)的函數(shù)值相等這個條件。特別是已知條件中如果包含有定積分，則輔助函數(shù)一般就是被積函數(shù)。注意零點(diǎn)定理也可以證明根的存在性問題。但是利用零點(diǎn)定理不需要求導(dǎo)，只要利用連續(xù)性就可以，需要判斷兩個端點(diǎn)函數(shù)值異號。注意如果證明