福建省福州市九師教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 附答案

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期福州市九師教學(xué)聯(lián)盟1月聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試卷完卷時(shí)間：120分鐘；滿(mǎn)分：150分；命題人：徐奇玲一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的。）1．已知集合A=x?1<x<2,B=xx>1，則A∪B=（A．x?1<x<1B．x1<x<2C．xx>?1 2．下列命題中的真命題是（

）A．若a>b，則ac>bcB．若ac2C．若a>b，則ab>1D．若a>b,c>d3．函數(shù)y=ln3?x的大致圖象為（

A．B．C．D．4．“sinα>0且tanα<0”是“α的終邊在第二象限”的（

A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件5．已知tanα=2，則sin2α?3sinαA．?2 B．2 C．0 D．?6．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個(gè)新的環(huán)境，從而對(duì)入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個(gè)體平均繁殖數(shù)量為Q，一年四季均可繁殖，繁殖間隔T為相鄰兩代間繁殖所需的平均時(shí)間．在物種入侵初期，可用對(duì)數(shù)模型K(n)=λlog3n（λ為常數(shù)）來(lái)描述該物種累計(jì)繁殖數(shù)量n與入侵時(shí)間K（單位：天）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且Q=Tλ+1，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出Q=6,T=60．據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的6倍所需要的時(shí)間為（A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．197．已知命題：?x0∈R,ax0A．?∞,?1∪0,+∞ B．?1,0 8．已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽,fx+1為奇函數(shù)，fx+2為偶函數(shù)，當(dāng)x∈1,2時(shí)，fx=ax2+bA．52B．74C．?3一、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題意的。）9．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a>1>b>c>0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)b>ac B．logba>10．已知函數(shù)f(x)=2cos2x+π6，則（A．函數(shù)f(x)的最小正周期為π B．f(x)的圖象關(guān)于直線x=5C．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)π3,0對(duì)稱(chēng) D．f(x)在區(qū)間11．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為3k,4kk≠0，則B．若角α為銳角，則2α為鈍角C．若圓心角為π3的扇形的弧長(zhǎng)為π，則該扇形的面積為D．若sinα+cosα=112．若f(x)=|sinx+3cosx|+|A．f(x)的最小正周期是πB．f(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=kπ2C．存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意的x∈R，都存在x1,x2∈[?5πD．若函數(shù)g(x)=2f(x)+b，x∈[0,25π12]，（b則x三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分。）13．已知函數(shù)f(x)=x2?3x,x≥0g(x),x<0是定義在R上的偶函數(shù)，則g?414．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y=x稱(chēng)為高斯函數(shù).例如：?3.6=?4,3.6=3.已知函數(shù)fx=115．設(shè)α是第二象限角，Px,1為其終邊上一點(diǎn)，且cosα=13x，則16．若φ是一個(gè)三角形的內(nèi)角，且函數(shù)y=3sin(2x+φ)在區(qū)間?π4,π6四、解答題（本大題共6小題，滿(mǎn)分70分。除第17小題10分以外，每小題12分。）17．已知p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x2?3ax+2a(1)若a=1，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)已知q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足2<x≤3.若存在實(shí)數(shù)a，使得p是q的必要不充分條件，則求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．已知fα(1)化簡(jiǎn)fα(2)已知fα=?2，求19．已知函數(shù)fx=ax+b（a>0且a≠1，b(1)求a,b的值；(2)設(shè)函數(shù)gx=loga2x+120．近幾年，隨著網(wǎng)絡(luò)的不斷發(fā)展和進(jìn)步，直播平臺(tái)作為一種新型的學(xué)習(xí)方式，正逐漸受到越來(lái)越多人們關(guān)注和喜愛(ài)．某平臺(tái)從2020年建立開(kāi)始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會(huì)員人數(shù)逐年增加．已知從2020到2023年，該平臺(tái)會(huì)員每年年末的人數(shù)如下表所示（注：第4年數(shù)據(jù)為截止2023年10月底的數(shù)據(jù)）建立平臺(tái)第x年1234會(huì)員人數(shù)y（千人）28405882(1)請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從下列三個(gè)模型中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪憬⒃撈脚_(tái)xx∈N?①y=bx+cb>0，②y=dlogrx+e（r>0且r≠1為了更好的維護(hù)管理平臺(tái)，該平臺(tái)規(guī)定會(huì)員人數(shù)不能超過(guò)k?94x21．已知函數(shù)fx=ln（1）討論fx（2）當(dāng)a<0時(shí)，若關(guān)于x的不等式fx≤?222．若函數(shù)f(x)在定義域R上滿(mǎn)足f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0時(shí)f(x)>0,定義域?yàn)?2,2的(1)求證：函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增.(2)若在區(qū)間?1,1上，f(x)+g(x)=?x2+x+1；g(x)（i）求函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)在區(qū)間?2,（ii）若關(guān)于x的不等式g(x1)?g(x2)af(x1)?af(x2023-2024學(xué)年第一學(xué)期福州市九師教學(xué)聯(lián)盟1月聯(lián)考高一數(shù)學(xué)答案解析選擇題部分：1-8小題為單項(xiàng)選擇題，每小題5分，共40分；9-12小題為多項(xiàng)選擇題，每小題5分，共20分。題號(hào)12345678答案CBACDADA題號(hào)9101112答案ACDABDABAD1．C【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算求解即可.【詳解】根據(jù)集合的并集運(yùn)算，得A∪B=x故選：C.2．B【分析】選項(xiàng)A，不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)才能保證不等號(hào)不變；選項(xiàng)B，不等式ac2<bc選項(xiàng)C，從不等式a>b到不等式ab>1，是不等式兩邊同乘1b選項(xiàng)D，對(duì)于結(jié)論a?c>b?d，實(shí)際上是a+(?c)>b+(?d)，但?c<?d，無(wú)法保證同向相加.【詳解】選項(xiàng)A：若c≤0，則ac>bc不成立，即A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由不等式性質(zhì)可知：若ac2<選項(xiàng)C：當(dāng)a>0,b<0時(shí)，由a>b，可得ab選項(xiàng)D：當(dāng)a=5，b=2，但此時(shí)a?c=5?11=?6，b?d=2?2=0，由?6<0可知，a?c>b?d不成立，即D錯(cuò)誤.故選：B.3．A【分析】由函數(shù)的定義域排除C，由函數(shù)的奇偶性排除D，由特殊的函數(shù)值排除B，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性判斷A.【詳解】由3?x>0得?3<x<3，則函數(shù)y=ln又ln3??x=ln3?當(dāng)x=52時(shí)，因?yàn)閥=ln3?x為偶函數(shù)，且當(dāng)3>x>0選項(xiàng)A中圖象符合.故選：A4．C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及充分條件、必要條件的定義即可判斷.【詳解】在角α終邊上任取點(diǎn)P（異于原點(diǎn)）其坐標(biāo)為(x,y)，OP=r若sinα>0且tanα<0，所以sinα=yr>0可得x<0,y>0，所以α的終邊在第二象限，所以“sinα>0且tanα<0”是“α的終邊在第二象限”的充分條件，若α的終邊在第二象限，則x<0,y>0，所以sinα=yr>0所以“sinα>0且tanα<0”是“α的終邊在第二象限”的必要條件，綜上“sinα>0且tanα<0”是“α的終邊在第二象限”的充要條件.故選：C.5．D【分析】根據(jù)齊次式問(wèn)題分析求解.【詳解】因?yàn)閠anα=2所以sin2故選：D.6．A【分析】根據(jù)題意，利用結(jié)定的函數(shù)模型求得λ，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則列式即可得解.【詳解】因?yàn)镼=Tλ+1，Q=6，T=60，所以6=設(shè)初始時(shí)間為K1，初始累計(jì)繁殖數(shù)量為n，累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的6倍的時(shí)間為K則K=12×ln2+ln故選：A.7．D【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，可知命題：?x∈R,ax2+2ax?1<0【詳解】由題意知命題：?x則命題：?x∈R故當(dāng)a=0時(shí)，ax2+2ax?1<0當(dāng)a≠0時(shí)，需滿(mǎn)足a<0Δ=4a綜合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是?1,0，故選：D8．A【分析】由已知奇偶性質(zhì)得到f(x)的周期性與對(duì)稱(chēng)性，借助已知條件f0+f3=6與f(1)=0待定系數(shù)a,b，再利用周期性得【詳解】由f(x+1)為奇函數(shù)，得f(?x+1)=?f(x+1)，故f(x)=?f(2?x)①，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)；由f(x+2)為偶函數(shù)，得f(?x+2)=f(x+2)②，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)；由①②得f(x+2)=?f(x)，則f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，故f(x)的周期為4，所以f2025由f(?x+1)=?f(x+1)，令x=0得f(1)=0，即a+b=0③，已知f(0)+f(3)=6，由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，得f(3)=f(1)=0，又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，得f(0)=?f(2)所以f(0)+f(3)=?f(2)=6，即f(2)=?6，所以4a+b=?6④，聯(lián)立③④解得a=?2,b=2故x∈1,2時(shí)，f(x)=?2由f(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng)，可得f1故選：A.9．ACD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)y=axa>1單調(diào)遞增，得到B選項(xiàng)，根據(jù)y=lnx單調(diào)性得到0>lnb>lnc，lna>0，lnaC選項(xiàng)，根據(jù)y=x?1D選項(xiàng)，根據(jù)y=logbx【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)閥=axa>1單調(diào)遞增，又b>c，所以B選項(xiàng)，因?yàn)閥=lnx在0,+∞單調(diào)遞增，因?yàn)閍>1>b>c>0，所以0>lnb>lnc，lna>0，故1lnb<1lncC選項(xiàng)，y=x?13在0,+∞上單調(diào)遞減，而D選項(xiàng)，因?yàn)閥=logbx在0,+∞單調(diào)遞減，而b>c>0因?yàn)閥=bx單調(diào)遞減，而a>0，故0<b故選：ACD10．ABD【分析】對(duì)于A：利用周期公式判斷；對(duì)于B：通過(guò)計(jì)算f(5π12)判斷；對(duì)于C：通過(guò)計(jì)算f(π【詳解】對(duì)于A：T=2對(duì)于B：f(5對(duì)于C：f(π對(duì)于D：當(dāng)x∈(0,π)時(shí)，2x+π6∈(π6,13故選：ABD.11．AB【分析】由三角函數(shù)的定義可判斷A；取α=π6,2α=π3可判斷B；由扇形的面積公式可判斷C；對(duì)sinα+cosα=1【詳解】對(duì)于A，3k,4kk≠0到原點(diǎn)的距離為r=5若r>0時(shí)，cosα=3k5k=3對(duì)于B，若α=π對(duì)于C，設(shè)扇形的半徑為r，則π3r=π所以扇形面積S=1對(duì)于D，因?yàn)閟inα+cosα=所以sinα所以sinαcosαsin2因?yàn)閟inα+cosα=15所以sinα>cosα故選：AB.12．AD【分析】由題設(shè)得f(x)=21+|cos(2x+π6)|，根據(jù)三角形函數(shù)y=cos2x與y=|cos2x|的周期、對(duì)稱(chēng)軸變化性質(zhì)判斷f(x)最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)方程恒能成立有?a∈R，?x1,x2∈[?5π12,0]【詳解】由題設(shè)f(x)=2|sin(x+π所以f2(x)=4(1+|sin(2x+2π由y=cos2x的最小正周期為π，則y=|cos2x|的最小正周期為π2同理y=21+cos(2x+π6)的最小正周期為π對(duì)于f(x)，令2x+π6=kπ2對(duì)任意x有f(x)∈[2,22]，?a∈R，?x1,x2∈[?5π12,0]且所以af(xk)∈(2a,所以{2a<526a≥由g(x)=0可轉(zhuǎn)化為f(x)與y=?b2交點(diǎn)橫坐標(biāo)，而x∈[0,25π函數(shù)有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，由圖知：6≤?x1+x22=π6、x2+x32所以x1故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求得f(x)的解析式，應(yīng)用類(lèi)比思想，根據(jù)y=cos2x與y=|cos2x|最小正周期、對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系得到f(x)的周期和對(duì)稱(chēng)軸；由對(duì)任意x有f(x)∈[2,22]，?a∈R，?x1,x2∈[?5π12,0]且填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分。）412.?1,013.?2414.0,π613．4【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)與偶函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)閒(x)=x2?3x,x≥0所以g(?4)=f(?4)=f(4)=4故答案為：4.14．?1,0【分析】依題意可得fx=?12+11+【詳解】因?yàn)閒x=1因?yàn)閥=1+ex在定義域上單調(diào)遞增，則所以fx=?1當(dāng)x<0時(shí)，ex當(dāng)x=0時(shí)，f0=1當(dāng)x>0時(shí)，ex所以，當(dāng)x>0時(shí)?x<0，則fx=?1,f當(dāng)x<0時(shí)?x>0，則fx=0,f當(dāng)x=0時(shí)，fx綜上所述，y=fx+故答案為：?1,0.15．?24【分析】由三角函數(shù)的定義及角所在象限、終邊上的點(diǎn)列方程求參數(shù)，進(jìn)而求正切值.【詳解】由題設(shè)cosα=xx2+1=13所以tanα=1x=?216．0,【分析】由函數(shù)解析式求出含參單調(diào)區(qū)間，根據(jù)0∈?π4【詳解】函數(shù)y=3sin(2x+φ)，令2kπ?π2令2kπ+π則y=3sin(2x+φ)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ?π2若函數(shù)y=3sin(2x+φ)在區(qū)間?π則?π∵φ是一個(gè)三角形的內(nèi)角，∴?π2?φ∈∵0∈?要使0∈2kπ只能令k=0，得?π2?φ此時(shí)0∈?則?π則?π2?φ∵φ是一個(gè)三角形的內(nèi)角，∴φ∈0,若函數(shù)y=3sin(2x+φ)在區(qū)間?π則?π∵π2?φ∈?要使0∈2kπ只能令k=0，得π2?φ2此時(shí)0∈π則?π則π2?φ2≤?π∴函數(shù)y=3sin(2x+φ)在區(qū)間?π綜上所述，φ∈0,故答案為：0,π四、解答題（本大題共6小題，滿(mǎn)分70分。除第17小題10分以外，每小題12分。）17．(1)(1,2)(2)(【分析】（1）代入a的值，求解一元二次不等式即得；（2）先求出命題p表示的范圍，再根據(jù)p是q的必要不充分條件推得兩個(gè)范圍之間的包含關(guān)系，繼而求得a的取值范圍.【詳解】（1）a=1時(shí)，由不等式x2?3x+2<0可得：1<x<2，即實(shí)數(shù)x的取值范圍為（2）由不等式x2?3ax+2a2<0可得：(x?a)(x?2a)<0，因a>0因p是q的必要不充分條件，故q?p,p?q，則(2,3](a,2a)，故得：2a>3即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(318．(1)?tanα(2)3.【分析】（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即得；（2）根據(jù)同角關(guān)系式結(jié)合條件即得.【詳解】（1）f==?sinα（2）因?yàn)閒α=?2，所以∴sinα+cosαsinα?cosα=19．(1)b=5,a=2(2)[1【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得解；利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)性的加減性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)閒x=ax+b所以a1+b=5a又a>0且a≠1，解得a=3或?2（舍去），則b=5,a=2.（2）由（1）得g(x)=log因?yàn)楹瘮?shù)y=log3(2x+1)在[1,4]所以g(x)在[1,則g(x)g(x)故g(x)在[1,4]上的值域?yàn)?0．(1)函數(shù)模型解析式為y=16?32x(2)112【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可選擇模型③，將表格中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型解析式，求出三個(gè)參數(shù)的值，即可得出函數(shù)模型解析式，再將x=4代入函數(shù)模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出16?32x+4≤k?94x，令t=32x≥32【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，且函數(shù)增長(zhǎng)得越來(lái)越快，故選擇模型③較為合適，由表格中的數(shù)據(jù)可得ta+s=28ta2所以，函數(shù)模型的解析式為y=16?3預(yù)測(cè)2023年年末的會(huì)員人數(shù)為16×3（2）解：由題意可得16?3令t=32x≥3令s=1t∈0,23，所以，fsmax=f故k的最小值為112921．（1）當(dāng)a≥0時(shí)，fx在0,+∞上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)，fx在0,?1a【分析】（1）由題意有f′x=2ax（2）不等式fx≤?2a+b?1恒成立，即fxmax≤?2a+b?1，（1）可得，當(dāng)a<0時(shí)，fxmax【詳解】（1）fxf′當(dāng)a≥0時(shí)，f′x>0，f當(dāng)a<0時(shí)，f′當(dāng)x∈0,?1a時(shí)，f′x所以fx在0,?1a綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，fx在0,+∞當(dāng)a<0時(shí)，fx在0,?1a（2）由（1）可得，當(dāng)a<0時(shí)，fx由不等式fx≤?2即b≥ln?1a令t=?1a，gt當(dāng)t∈0,1時(shí)，g′t當(dāng)t∈1,+∞時(shí)，g′t所以gt的最大值為g1=?1.得b≥?1，所以實(shí)數(shù)b【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的單調(diào)性的求解和恒成立求參數(shù)的問(wèn)題，考查構(gòu)造函數(shù)決絕問(wèn)題的能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題.22．(1)證明見(jiàn)解析