2021年中考二輪專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)重要題型：二次函數(shù)與直角三角形等腰三角形

2021年數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)重要題型二次函數(shù)

與直角三角形等腰三角形

1.已知，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-L0)和C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P,使PA+PC的值最小?如果存在,

請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)設(shè)點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△MAC是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo).

(2)點(diǎn)p為直線上方拋物線上一點(diǎn)，設(shè)”為點(diǎn)P到直線CB的距離，

當(dāng)d有最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)若點(diǎn)、F為直線BC上一點(diǎn)、,作點(diǎn)A關(guān)于丁軸的對(duì)稱點(diǎn)A',連接AC,

AT,當(dāng)AEA'C是直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo).

2.己知拋物線〉=ar2+2x+c(aH0)與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)8,與

直線y=-x+3交于點(diǎn)B和點(diǎn)C,M為拋物線的頂點(diǎn)，直線ME是拋物線3.已知：拋物線Q：)，=-/+2丘一左2+A+1%=1,2,3，…々為正整數(shù)),

的對(duì)稱軸.拋物線q的頂點(diǎn)為

(2)求證：AB平分NC4。；

(1)當(dāng)k=1時(shí)，陷的坐標(biāo)為；當(dāng)k=2時(shí)，M2的坐標(biāo)為

(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得是以AB為直角邊的直

(2)拋物線G的頂點(diǎn)是否在同一條直線上？如在，請(qǐng)直接寫(xiě)出這條直

角三角形.若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

線的解析式；

(3)如圖(2)中的直線為直線/,直線/與拋物線G的左交點(diǎn)為4,求證：

與重合：

(4)拋物線q與x軸的右交點(diǎn)為與，是否存在是直角三角形？

若存在，求k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x?+/?x+c與x軸交于點(diǎn)A,B,

與y軸交于點(diǎn)C,且直線丁=*一6過(guò)點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)

于x軸對(duì)稱.點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)

M,交直線BO于點(diǎn)N.

4.如圖，拋物線y=ox2+Z?x-4經(jīng)過(guò)A(—3,0),B(5,-4)兩點(diǎn)，與

y軸交于點(diǎn)C,連接AB,AC,BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式：

第3頁(yè)共12頁(yè)第4頁(yè)共12頁(yè)

y（2）連接48,點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線交拋

物線于點(diǎn)。，設(shè)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為如線段CQ長(zhǎng)度為d（存0）.求d與機(jī)的

函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量，〃的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，連接A。，是否存在成值，使AACC是等腰三角形?

若存在，求出機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)/kMOB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在），軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以Q,M,N三點(diǎn)為頂

點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明

理由.

7.我們定義：如圖1,在AA5c與△AB'C'中，兩三角形有公共頂點(diǎn)A，

AB所在射線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到AC所在射線，所在射線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)￡到

6.如圖，拋物線y=-；x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0,3）,與x軸交于點(diǎn)

AD.「

AC所在射線，ABAC=a,ABAC=/?,?+^=180°,—r="，則我

B（4,0）.ABAC

（I）求拋物線的解析式;們稱AABC與△AB'C互為“旋補(bǔ)比例三角形

8.如圖，拋物線丁=一/+云+。與x軸相交于兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于點(diǎn)8的

左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)c,用是拋物線的頂點(diǎn)，直線％=1是拋物線的對(duì)

(1)如圖1,AABC與△AB'C互為旋補(bǔ)比例三角形，

稱軸，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).

ZR4C=60°,AB=6,AC=3,AB'=2時(shí)，①ZB，AC'，②

S

VABC=

S\!ABC

(2)如圖2,在AABC1中，AD,3c于點(diǎn)。，與△DAC互為旋補(bǔ)

比例三角形，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使EB=BD，連結(jié)AE，求證：ABAE與

VBC4互為旋補(bǔ)比例三角形；

(1)求拋物線的解析式.

(3)如圖3,在AOAB中，NAQB=135°，點(diǎn)A在％軸的正半軸上，Q4=2,

(2)已知P為線段MB匕一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作P￡>_Lx軸于點(diǎn)O.若

點(diǎn)B在第二象限，0B=2叵,拋物線>=一^^+法+「經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,與丁軸

產(chǎn)。=6,4尸。的面積為5.

交點(diǎn)為(0,5),△OPQ(點(diǎn)O,P,Q按逆時(shí)針排列)與AOAB互為旋補(bǔ)比例三①求S與，”之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量〃?的取值范圍；

角形，點(diǎn)尸在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)AB,P構(gòu)成的三角形是以A8為②當(dāng)S取得最值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)在(2)的條件下，在線段MB上是否存在點(diǎn)P,使好。。為等腰三角

腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

第7頁(yè)共12頁(yè)第8頁(yè)共12頁(yè)

形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.如圖，拋物線,=0^+云+。的圖象與*軸交于人(-1.0),B(3,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),頂點(diǎn)為D.

(1)求此拋物線的解析式.

9.如圖，菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C

(2)求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸.

4

在y軸的正半軸上，AB=10.tanZDAB=-,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C,D.(3)探究對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是

(1)求拋物線的解析式：等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)

(2)若直線EF與BC平行，與同物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求直線EF的解析式；明理由.

(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使三角形PBC是以BC為腰的等腰三角形,

若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

yf

A-------Ac

7/\\7/f/l1

4-------―\

11.如圖，直線y=-x+4與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=-

/+6x+c經(jīng)過(guò)8,C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為4.點(diǎn)尸以每秒0個(gè)單位長(zhǎng)度

的速度在線段BC上由點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)8和點(diǎn)C重合），設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為r秒，過(guò)點(diǎn)尸作x軸垂線交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)M.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作），軸垂線交y軸于點(diǎn)N,連接MN交BC于點(diǎn)Q,當(dāng)

需MQ=21時(shí),求'的值；

（3）如圖②，連接AM交8C于點(diǎn)。，當(dāng)△POM是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)

出『的值.

第11頁(yè)共12頁(yè)第12頁(yè)共12頁(yè)

參考答案

1.(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，當(dāng)Q4+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)；(3)

QD

點(diǎn)"的坐標(biāo)為(1,1)、(1,2)、(l,p或(1,一令

解：⑴將A(-1,O)、C(0,3)代入y=-f+bx+c中,

—1—0+c=0b=2

得：〈c,解得：\

c=3c=3

拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

(2)連接8C交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)P,止匕時(shí)小+PC取最小值，如圖1所示.

當(dāng)丁=0時(shí)，有—f+2x+3=0.

解得：$=-1,々=3，

二點(diǎn)5的坐標(biāo)為(3,0).

拋物線的解析式為y=-/+2x+3=-(》—1了+4,

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d(k^O),

將8(3,0)、C(0,3)代入y=H+d中,

3k+d=0

得:，解得:

d=3

直線BC的解析式為y=-x+3.

?.,當(dāng)x=l時(shí)，y=-x+3=2,

當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,2).

答案第1頁(yè)，總21頁(yè)

(3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,加)，

則CM=7(l-O)2+(m-3)2，AC=7[O-(-l)]2+(3-0)2=V10，

分三種情況考慮：

①當(dāng)NAMC=90°時(shí)，有AC?=A〃2+CA/2,即IO=1+(，-3)2+4+機(jī)?，

解得：網(wǎng)=1,網(wǎng)=2,

.??點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)或(1,2)；

②當(dāng)NACM=90°時(shí)，有AM?=AC?+CA/2,即4+/=10+1+(利一3『，

Q

解得：，"=],

Q

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為(L§)；

③當(dāng)NC4M=90°時(shí)，有CM?=AA72+AC2,即I+(利―產(chǎn)=4+疝+10,

解得：m---,

3

點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

綜上所述：當(dāng)八皿以。是直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(LD、(1,2)、(1,9或(1,-?

2.(1)丁=一一+2》+3,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4)；⑵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(|,?)；(3)點(diǎn)尸

(51A

的坐標(biāo)為3,3或(2,1).

解：(1)?.?直線y=-x+3,

令y=0,解得x=3,

二3(3,0),

將點(diǎn)A(—1,0),3(3,0)代入拋物線y=a?+2%+0中，

=

CL—2+c=0ci-1

得9/八，解得｛.

9〃+6+c=0[C=3

答案第2頁(yè)，總21頁(yè)

，拋物線的解析式為y=—*2+2x+3,

y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4)；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作軸，交BC于點(diǎn)、H,連接PC,PB,如解圖所示,

由題意，可知4有最大值時(shí)，5八戶6有最大值，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(加,一/++3)(0<m<3),則3),

PH-{—nr+2m+3)—(+3)=—nr+3m,

；?S^CB=)尸".(/-左)=((一根？+3m)x3=一■|n?2+\加=_|.(加_^)+1，

3

—<0,0<m<3,

2

327

.?.當(dāng)加=：時(shí)，SAP?有最大值，且最大值為方，此時(shí)d有最大值，

2o

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為1”

(3)由題意，知A(l,0),C(0,3).設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為&—1+3),

則AC?=『+33=10,A尸=(/-1)2+(-/+3)2=2/_&+10,PC?=產(chǎn)+(-r)2=2產(chǎn),

由題，易知NA'C〃H9()。，則當(dāng)AFWC是直角三角形時(shí)，需分以下兩種情況進(jìn)行討論，

答案第3頁(yè)，總21頁(yè)

①當(dāng)NC4N=90°時(shí)，A'C2+A'F2=CF1，

即10+2/一8r+10=2/，解得f=2，

2

(51A

，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為3,3；

122y

②當(dāng)NANC=90。時(shí)，A'F2+FC2=A'C2>

即2/—8/+10+2/=10，解得，=0(與點(diǎn)C重合，故舍去)或，=2,

???點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(2,1),

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為或(2,1).

3.(1)(1,2),(2,3)

(2)在,y=x+l

(3)見(jiàn)解析

(4)存在，k=3.

解：(1)當(dāng)k=l時(shí)，則有y=—/+2x+i,所以必(1,2)；

當(dāng)k=2時(shí)，則有>=一/+4》—1,所以限(2,3)；

故答案為(1,2),(2,3)；

(2)在同一直線上，解析式為y=x+l,理由如下：

由y=-x2+2kx-k2+k+1可得y=-(x-A：y+Z+1,

所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為〃*(左,攵+1),

???滿足函數(shù)關(guān)系式為y=x+l；

(3)c*：y———(x—k)-+左+1

也(%次+1)

x+1=—x2+2kx—k-+攵+1

解得：xt=k,x2=k-\

Af,{k—1,k)

答案第4頁(yè)，總21頁(yè)

Ak+I(k,k+l)

M*與A*,重合；

(4)存在，理由：分三種情況，4(%+灰萬(wàn),0),過(guò)點(diǎn)加人、&分別作MQJ.X軸,

&E_Lx軸，4。，M人C交x軸于點(diǎn)C、E、D,如圖所示：

①/4&“*=90。則以&為直徑作圓，它與拋物線只有兩個(gè)交點(diǎn)兒、Mk,不存在

②=90。,ARD=I,%D=1AZAkDMk=45°

/.ZBkMkC=45°,1+l=〃+l；.k=0(舍去)

③NMkAkBk=90。則NDAkBk=45°.*.ZBkAkE=45°

：.k=l+dk+l，解得匕=0(舍去)，k2=3.

綜上所述，存在，k=3.

4.(1)y=-x2--x-4；(2)詳見(jiàn)解析；(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(°,—9)或(2,

6622

11).

【詳解】

解：(1)將A(-3,0),B(5,-4)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，

9a—3/?—4=0,

得4

25a+5b-4=-4,

1

a=N

解得、

答案第5頁(yè)，總21頁(yè)

15

故拋物線的表達(dá)式為y=y=0一='—4.

66

(2)證明：VA0=3,OC=4,

*22=5

..AC=A/3+4-

取D(2,0),則AD=AC=5.

由兩點(diǎn)間的距離公式可知BD=7(5-2)2+(-4-0)2=5.

VC(0,-4),B(5,-4),

；.BC=5.

->.BD=BC.

在△ABC和△ABD中，AD=AC,AB=AB,BD=BC,

/.△ABC^AABD,

.".ZCAB=ZBAD,

，AB平分/CAO；

(3)存在.如圖所示：拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)E,交BC與點(diǎn)F.

VA(-3,0),B(5,-4),

答案第6頁(yè)，總21頁(yè)

/.tanZEAB=—.

2

??ZMzAB=90°.

/.tan/M'AE=2.

???M'E=2AE=11,

5、

???M'(一，11).

2

同理：tanNMBF=2.

XVBF=-,

2

AFM=5,

5、

AM(-,-9).

2

.??點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一，11)或(一，-9).

22

2

5.(1)y=-x+5x+6；(2)(2,0)；(3)存在，(0,12)或(0,-4)或(0,4+2A/15)

或（0，4-2715）.

解：（1）???直線y=x-6過(guò)點(diǎn)8,點(diǎn)B在x軸上,

令y=0,解得x=6,令x=0,解得y=-6,

AB(6,0),D(0,-6),

???點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，

AC(0,6),

?；拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C,代入,

0=—36+6。+cb=5

解得:

6=cc=-6

...拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+5x+6；

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m,0）,

則點(diǎn)M坐標(biāo)為（m,一加2+5機(jī)+6）,點(diǎn)N坐標(biāo)為（m,m-6）,

MN=-m2+5m+6-m+6=-m2+4m+12，

SABMD=SAMNB+SAMND

答案第7頁(yè)，總21頁(yè)

=1x(-.,2+4m+⑵x6

2I

=-3m2+12m+36

=-3(m-2)2+48

當(dāng)m=2時(shí),SABMDK火=48,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)；

(3)存在，

由(2)可得：M(2,12),N(2,-4),

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,n),

當(dāng)NQMN=90°時(shí),即QM_LMN,如圖，

可得，此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相等，

即Q(0,12)；

當(dāng)/QNM=90。時(shí)，即QN_LMN,如圖,

可得，此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)相等,

即Q(0,-4)；

答案第8頁(yè)，總21頁(yè)

分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的垂線，垂足為E和F,

■:ZMQN=90°,

，ZMQE+ZNQF=90°,又NMQE+/QME=90°,

ZNQF=ZQME,

/.△MEQ^AQFN,

.MEEQ212-77

>.---=----,即r1n-----=------

QFFN〃+42

解得：產(chǎn)4+2/或4-2后,

二點(diǎn)Q(0,4+2/)或(0,4-2V15),

綜上：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0,12）或（0,-4）或（0,4+2而）或（0，4-2小）.

答案第9頁(yè)，總21頁(yè)

j51323

6.(1)y=——x2o+—x+3；(2)d=——m2+2m；(3)存在，”=一或加=一或

242212

(1)VA(0,3),B(4,0)

3=cc=3

?.?％1.2立，解得L5，

0=——x4+4〃+cb=—

I2I4

1、5

???該拋物線的解析式是y=——/+—x+3

24

(2)設(shè)直線AB的解析式為尸H+”??A(0,3),B(4,0)

?,?{"?+；2,解得＜

直線AB的解析式為y=-=x+3

4

???c、。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為江

33

在》=——x+3中，當(dāng)時(shí)、y=----m+3

44

3

C(加,—根+3)

4

2

在y=—'12+工1+3中，當(dāng)后加時(shí)，y=_Lm4--m+3

2424

125

D(tn—m~H—m+3),

f24

2

VA(0,3),B(4,0)：.OA=3f08=4,AB=^+4=5

過(guò)點(diǎn)C作CE-Ly軸于點(diǎn)E,：.CE//OB,：./\ACE^/\ABOf：.AC=-m

答案第10頁(yè)，總21頁(yè)

若△ACO是等腰三角形，則分以下情況討論：

513

①CA=CQ時(shí)，則一/〃=僅2+2加整理得2/層一3根=0解得：機(jī)=0或加=二

422

不與A重合，.?.，“=()舍去

,3

??m=一

2

②D4=OC時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作。H_LAC于點(diǎn)H,：.AH=HC

?；CO〃y軸

:.ZDCA=ZOAB,：.cosZDCA=cosZOAB,

.CHOA.CH3

：.5CH=3CD.

'~CD~~AB'"CD-5

又???HC=LAC,：.5AC=6CD

2

則5x—=6?(——irr+2m)

42

23

整理得12療一23m=()解得：加=0或m==

???C不與4重合,

@AD=AC時(shí)同理得m-\

323

綜上存在加值，m=二或，〃=’或帆=1使得△ACO是等腰三角形.

212

7.(1)①120。；②!

9

(2)見(jiàn)解析

答案第11頁(yè)，總21頁(yè)

(3)2,(2-275,2+275),Q2(2+262-2研

S(ARr\1

(1)由題意可知：ZB'AC'=180°-ABAC=120°,=—=-

SvABCU5J9

(2)-：ADIBC,ZADBZADC^9Q0,

?.?△DM和△04c互為旋補(bǔ)比例三角形，一=—,

DAAC

:./\DBA-/XDAC.ZBAD=ZC,

-.-ZABD=ZCBA,

..AR4￡>sABC4，

BDBA

?.BD=EB，

.BEBA

NEBA+NABC=180。，

..△BAE與V8C4互為旋補(bǔ)比例三角形.

(3)QZAOB=135°，,1.ZBOC=45°,

?/OB=2A/2>過(guò)B作軸于點(diǎn)

.-.DO=DB=2,8(—2,2),

-.■OA=2,.-.A(2,0)

???>=—經(jīng)過(guò)c(o,5)與3(—2,2),

1,

,y=——x+x+5,對(duì)稱軸為直線x=2,

4

???△OPQ與AOAB互為旋補(bǔ)比例三角形，

OAOB

/.ZPOQ=180°-ZAOB=45°,~OP~~OQ

,OP^OA=2=102

'OQOB2V2^2'V2

如圖，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)”,

答案第12頁(yè)，總21頁(yè)

Q\

H

:.OH=OH=OP,即點(diǎn)〃與點(diǎn)P重合,

:.ZOPQ=90°,即△OP。為等腰直角三角形,

?「A、B、尸為以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形,

：.AB=AP，

AB=yjBD2+AD2=275>AP=AB=2下

①P在x軸上方，如圖:

.?.P（2,26）

易證：△OAP2△PM。，

：.OA=PM=2,AP=QM=2后,

XQ=2-2\/5,）>Q=2+2\/5,

.?02-2氐2+23

②P在x軸下方，如圖:

答案第13頁(yè)，總21頁(yè)

P(2,-25/5)

易證：/\PED^/\QFP

：.EP=QF=2,0E=PF=2小,

XQ=2+2A/5,-2-2>/5,

綜上，g(2—26,2+26),2(2+26,2—2?).

8.(1)y=-x2+2x+3；(2)①S=--m2+—m(0<m<4)；②當(dāng),”=3時(shí)，S取得最

42

93

大值“此時(shí)P(5,3)；(3)存在,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-6+3/,18-6近)或(4-近，-2+26).

(1)拋物線y=-x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線尤=---7—=1,，。=2.

2x(-1)

又,:拋物線與y軸的交點(diǎn)為C(o,3),c=3,

拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

(2)①y=—f+2x+3=—(x-1)?+4,.?.頂點(diǎn)M(1,4),3(3,0).

設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n.

將8(3,0),M(l,4)代入,

3攵+〃=0,優(yōu)=—2,

得<z)解得,

攵+幾=4,[〃=6,

???直線BM的解析式為y=-2x+6.

?."￡>_1%軸且「。=m,；.P(3—/，加)，

...△/>。。的面積5=120。0=,機(jī)(3_')=_或二^=_!，篦2+3機(jī)

222442

?.?點(diǎn)尸在線段加上,且加(1,4),8(3,0),

/.0<77?<4,

13

故S與加之間的函數(shù)關(guān)系式為S=——m29+-m(0<m<4).

42

②?.?S=——m+—m=——(m—3)+—,

4244

答案第14頁(yè)，總21頁(yè)

93

...當(dāng)m=3時(shí),S取得最大值一,；，(一,3)；

42

當(dāng).?.()＜加＜4時(shí)，S沒(méi)有最小值.

93

綜上，當(dāng)機(jī)=3時(shí)，S取得最大值乙，此時(shí)P(—,3)

42

(3)存在.

當(dāng)PC=PD時(shí),

IT1

PD=m，尸(3——,/n),C(0,3),

2

J(3-^--O)2+(m-3)2=m,

解得"2=18+677(舍去)或機(jī)=18-6近，此時(shí)P(-6+3V7/8-6?).

當(dāng)OC=￡)P時(shí)，

m

■：PD=m,￡)(3-5,0),C(0,3)

.?.J(3_(_0)2+(—3)2=加

解得m=-2-2幣(舍去)或機(jī)=-2+2萬(wàn)，此時(shí)P(4-77,-2+277).

當(dāng)DC=PC時(shí)，

P(3-—,m),D(3-—,0),C(0,3)，

22

J(3_g_())2+(-3)2=^(3---0)2+(m-3)2＞

解得加=0或加=6,均不符合題意，舍去.

綜上所訴，存在點(diǎn)P使AP8為等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-6+3近,18-6")或

(4一近,一2+2近).

9.(l)y=—x2+x+8；(2)y=gx+5；(3)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,8—56)或

(-5,8+56)或(―5,3而)或(-5,-3JTT)

解：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

所以AD〃BC,BC=AB=10.

:"DAB=/CBO

答案第15頁(yè)，總21頁(yè)

/.tan/DAB=tanNCBO="OC=—4

OB3

4

OC=—OB

3

又因?yàn)樵谥苯侨切蜲CB中，OO+OBZnBC,

即二08+OB2=100

(3)

解得OB=6(負(fù)值已舍去)

所以O(shè)C=8

所以B(-6,0),C(0,8),D(-10,8).

設(shè)拋物線的解析式為丁=依2+陵+0,?

因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C,D,

36a-6b+c=0

?c=8解得，a=-,Z?=—,c=8

33

100"100+c=8

所以拋物線的解析式為＞=；/+弓》+8

⑵設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,

-6m+n-0

將B,C點(diǎn)代入上式，得《°

”=8

-4

m=—

解得J3

”=8

4。

y——x+8

3

因?yàn)镋F〃BC,

4

設(shè)直線EF的解析式為y=§x+f.

又因?yàn)橹本€EF與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以1/+此％+8=&》+，只有一個(gè)解,

333

A=22-4X1（8-Z）=0,解得t=5.

答案第16頁(yè)，總21頁(yè)

4

設(shè)直線EF解析式為y=—x+5

(3)拋物線的解析式為丁=3%2+：*+8=；(%+5)2一：

所以拋物線的對(duì)稱方程為x=-5

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P(-5,y),使^PBC是以BC為腰的等腰三角形.

由⑴知B(-6,0),C(0,8),BC=10.

分兩種情況：

①如果CP=CB,那么52+(>—8)2=100,

解得y=8±5百

②如果BP=BC,那么(6-5)2+(y-0)2=100

解得y=±3JTT.

所以拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P,使APBC是以BC為腰的等腰三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為

(-5,8-56)或卜5,8+56)或卜5,3而))或卜5,-3日).

3

10.(1)y=f—2x—3；(2)D的坐標(biāo)是(1,-4),對(duì)稱軸是直線x=l；(3)P(1,一一)

-2

或(1,-4-26)或(1,-4+26)或或4).

試題分析：(1)根據(jù)拋物線>=依2+法+。的圖象與x軸交于A(-1.0),B(3,0)兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),可以求得拋物線的解析式；

(2)根據(jù)(1)中的解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸；

(3)首先寫(xiě)出存在，然后運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想分別求出各種情況下點(diǎn)P的坐標(biāo)即可;

試題解析：(1)???拋物線y=af2+云+。的圖象與x軸交于A(-1.0),B(3,0)兩點(diǎn),

〃一b+c=0a=1

與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),???{9。+3。+。=0,解得：協(xié)二-2,即此拋物線的解析式是

c=-3c=-3

y=x2-2x-3；

(2)???y=/一2X一3二。-1)2-4,?,?此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1,-4),對(duì)稱軸是直

線x=l；

(3)存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、D、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,

答案第17頁(yè)，總21頁(yè)

y),分三種情況討論：

______________________________3

①當(dāng)PA=PD時(shí)J(_]—1尸+(O—J)?=J(1—+(-4—J)?,解得，y=-y,即點(diǎn)P的坐標(biāo)

“3

為(1,—)；

2

②當(dāng)DA=DP時(shí)，7(-1-1)2+[0-(-4)]2=7(l-l)2+(-4-y)2，解得，y=—4土2x/5，即

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-4-26)或(1,-4+275)；

③當(dāng)AD=AP[3寸，+[0-(-4)]2=J(_[_l)2+(0_y)2,解得，y=±4,即點(diǎn)P的

坐標(biāo)是(1,4)或(1,-4),當(dāng)點(diǎn)