2022學年高二數(shù)學上學期期末高頻考點專題01 直線與方程（知識串講解析版）

2022學年高二數(shù)學上學期期末高頻考點

專題01直線與方程

【知識梳理】

知識點一直線的傾斜角

在平面直角坐標系中，當直線/與X軸相交時，我們以X軸為基準，X軸正向與直線/向上的方向之間

所成的角叫做直線/的傾斜角。

規(guī)定：當直線和X軸平行或重合時，直線傾斜角為0°,所以傾斜角a的范圍是

知識點二直線的斜率

斜率公式：已知點6(%,%)、￡(乙，為)，且《鳥與x軸不垂直，過兩點q(X1,y)、的直線的

斜率公式k=—~~—(玉#x,).

工2一占

知識點三直線方程的5種形式

名稱方程適用條件

點斜式y(tǒng)—泗=左。-xo)不含垂直于X軸的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線

y一y二1一百

兩點式不含直線x=xi(x#x2)和直線y=yi(yi^y2)

力一X馬一斗

截距式-=1不含垂直于坐標軸和過原點的直線

ab

一般式?Ar+By+C=0,A2+B2/0平面內所有直線

知識點四兩條直線平行

1.對于兩條不重合的直線小h，其斜率分別為心，心，有h〃120k尸瓜

對兩直線平行與斜率的關系要注意以下幾點

(1吊〃/2臺心=依成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②與，2不重合.

(2)當兩條直線不重合且斜率都不存在時，h與/2的傾斜角都是90°,則ly//h.

(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結論是:

/1〃/2<=>%1=他或/|，/2斜率都不存在.

知識點五兩直線垂直

1.如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于一1；反之，如果它們的斜率之積等

于一1,那么它們互相垂直,即/]_L/20h左2=-1.

對兩直線垂直與斜率的關系要注意以下幾點

(1)/」/2臺俗心=一1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②石70且明#0.

(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直.

(3)判定兩條直線垂直的一般結論為：

或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零.

知識點六兩條直線的交點

1.兩直線的交點坐標

幾何元素及關系代數(shù)表示

點AA(afh)

直線//：Ar+By+C=0

點A在直線/上Aa+劭+C=0

A\x+B\y+C\=0[x=a

直線與/2的交點是A方程組"的解是

Azx+B2y+C2=0ly=b

2.兩直線的位置關系

[Aix+Biy+Cj=0

方程組L??「_八的解一組無數(shù)組無解

直線/l與/2的公共點個數(shù)一個無數(shù)個零個

直線h與h的位置關系相交重合平行

【概念解讀】兩直線相交的條件

(1)將兩直線方程聯(lián)立解方程組，依據解的個數(shù)判斷兩直線是否相交.當方程組只有一解時，兩直線相交.

⑵設/i：Aix+Biy+G=0,/2：A2x+B2y+C2=0,則/i與/2相交的條件是4是一A2B1WO或拉知2,30）.

（3）設兩條直線/］：y=k\x+b\,I2：丁=%>+%，則/1與72相交臺心WZ2.

3.直線系方程

經過兩直線1:Ax+By+C4）,7:Jx+By+C4）交點的直線方程可寫為Ax+By+C〃（力x+By+C）4）（它不能表

11112222111222

示直線1）.反之，當直線的方程寫為Ax+By+C4（/x+By+C）4時,直線一定過直線1:Ax+By+CR與直

211122211i1

線1:Ax+By+C=0的交點.

2222

知識點七兩點間的距離

1.兩點間的距離公式公式：點P|（X|,）1）,尸2（x2，竺）間的距離公式|P|P2|="V（X|—X2）2+（y|—”）2.

2.兩點間的距離公式文字敘述：平面內兩點的距離等于這兩點的橫坐標之差與縱坐標之差的平方和的算術

平方根.

3.【概念解讀】兩點間距離公式的理解

（1）此公式與兩點的先后順序無關，也就是說公式也可寫成內尸2|=d（X2—乃）2+叫一》）2.

（2）當直線PP2平行于X軸時，甲產2|=咫一X||.

當直線P1P2平行于y軸時，|PiP2|=|y2-yi|.

當點尸|、P2中有一個是原點時，一心尸,+產.

知識點八點到直線的距離

1.點到直線的距離定義：點到直線的垂線段的長度

|Axo+8y（）+C|

2.點到直線的距離公式：點Po（xo,刈）到直線/：Ar+3y+C=0的距離d=

yjA2+B2

3.點到直線的距離公式需注意的問題

（1）直線方程應為一般式，若給出其他形式，應先化成一般式再用公式.例如，求PoUo,州）到直線y=kx

網-yo+b|

+力的距離，應先把直線方程化為日一），+6=0,得〃=

出2+1

4.點到幾種特殊直線的距離

⑴點Po（xo，yo）到X軸的距離

⑵點p（xo,yo）到），軸的距離j=|xo|；

⑶點p（xo,"）到與X軸平行的直線y=6（bW0）的距離4=例一例；

（4）點P（xo，泗）到與y軸平行的直線x=”（aW0）的距離d=\xo—a\.

知識點九兩平行線的距離

1.兩平行線間的距離定義：夾在兩條平行直線間公垂線段的長度

2.兩平行線間的距離公式：兩條平行直線東Ar+B.y+G=0與/2：Ax+By+C2=0（GWC2）之間的距離

“\a-c\

d=,=2

y）A2+B2

2.對平行線間的距離公式的理解

（1）利用公式求平行線間的距離時，兩直線方程必須是一般式，且x,y的系數(shù)對應相等.

（2）當兩直線都與x軸（或y軸）垂直時，可利用數(shù)形結合來解決

①兩直線都與X軸垂直時，/l：X=X\,I2：X=X2,則”=|X2—X||；

②兩直線都與y軸垂直時，/i：y=y”h：>="，則”=僅2—yi].

【典型例題】

題型一：直線的斜率與傾斜角

例1、過點4（-低直）與點8（-夜，遍）的直線的傾斜角為（）

A.45°B,135°C.45°或135°D.60°

【答案】A

解：因為直線48的斜率k=-弄？示=1,

直線4B的傾斜角的范圍為[0。,180。），

所以直線4B的傾斜角為45。，

故選4.

訓練1、直線3%+V3y—1=0的傾斜角是（）

A.7B.=

?27Tc57r

【答案】c

解：設直線3x+Uy-1=0的傾斜角為Q(04c<7T),

由直線3x+V5y-l=0，可得其斜率k=-8，

所以tan。=-瓜,a=g,

即直線3x+V3y—1=0的傾斜角為小

故選C.

訓練2、在直角坐標系xOy中，已知點4(0,-1),B(2,0),過4的直線交%軸于點C(a,0),若直線4c的傾斜

角是直線4B傾斜角的2倍，則a=()

A.7B.7C.1D「

443

【答案】B

【解答】

解：設直線/C的傾斜角0是直線AB傾斜角a的2倍，

即有=tan2a=-斗喏

Ll-tan2a

由k/ic=^AB=2f

即有工=空，

a1--

4

解得a="

4

故選民

例2、(多選)下列說法中，正確的是()

A.直線的傾斜角為a,且tana>0,貝Ua為銳角

B.直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為a

C.若直線的傾斜角為a,貝!]sina>0

D.任意直線都有傾斜角a,且a力90。時，斜率為tana

【答案】AD

【解答】

解：因為直線的傾斜角a的取值范圍為[0。,180°),

故tana>0時，a為銳角，故選項A正確；

當直線斜率為tana時，a不一定是傾斜角，如a=-60。，故選項B錯誤；

又因為直線的傾斜角a的取值范圍為[0。,180。)，則sina》0,故選項C錯誤；

任意直線都有傾斜角a,且aH90。時,斜率為tana,故選項。正確，

故選AD.

訓練1、設直線，的方程為x+ycos9+3=0(eeR),則直線I的傾斜角a的取值范圍是()

A.[0.7T)B.U譚)

【答案】C

解：當cos9=0時，方程變?yōu)閤+3=0,其傾斜角為*

當cos。羊0時，由直線方程可得斜率4=-?二，

COW

vcosQE[—1,1]且cos。H0,

kG(—8,-1]U[1,4-oo),

BPtanaG(-oo,-1]u[l,+oo),

又ae[0,71),

???alW)%,爭，

由上知，傾斜角的范圍是g,"

故選C.

訓練2、(多選)已知直線xsina+ycosa+1=0(a6R),則下列命題正確的是()

A.直線的傾斜角是兀一a

B.無論a如何變化，直線不過原點

C.無論a如何變化，直線總和一個定圓相切

D.當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積不小于1

【答案】BCD

【解答】

解：4根據直線傾斜角的范圍為[(),7T),而7T—aeR,所以力不正確；

8.當％=?=0時，zsinc++1=1#(),所以直線必不過原點，8正確；

C.由點到直線的距離公式得原點到直線的距離為1,所以直線總和單位圓相切，C正確;

D當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積為

5=--------=...2I,所以。正確，

2sinacoNO|sin2a!

故答案為BCD.

例3、三點A(3,l),B(-2,k),C(8,11)在一條直線上，則k的值為()

A.-8B.-9C.—6D.—7

【答案】B

【解析】

解：，.?三點4(3,1),8(-2,fc),C(8,11)在一條直線上,

.,k-l

**=%，H即n不=。11-1，

解得k=-9.

故選民

訓練1、如圖，直線5L，b的斜率分別為自，七，七，貝女)

A.k]<k，2<攵3

B.kr<k3<k2

C.k3<k2<k]

D.k3<<k2

【答案】B

【解答】

解：根據圖象易得，自<0,k2>k3>0,

k]<卜3Vk?,

故選8.

例4、己知兩點4(-3,4),8(3,2),過點P(l,0)的直線2與線段4B有公共點，則直線/的斜率k的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(-oo,-l)u(l,+oo)

C.[-1,1]D.(-oo,-l]u[l,+oo)

【答案】D

解：如圖所示：

???點4(-3,4),B(3,2),過點P(l,0)的直線I與線段48有公共點，

???直線]的斜率k>七8或々<kPA,

???P4的斜率為黑=-1,PB的斜率為衿=1,

???直線，的斜率k>1或k<-1,

故選D.

訓I練1、直線1過點PQ0)，且與以4(2,1),8(0,6)為端點的線段有公共點，則直線闔率的取值范圍為

【答案】(一8,-我]u[1,+<?)

解：的4=式=1,=

2—10—1

因為直線過點P(L0),且與以4(2,1),8(0,b)為端點的線段力B有公共點，

所以用6(—co,—V3]U[1,4-oo),

故答案為(―8,—U[1,4-00).

訓練2、已知點M(5,3)和點N(—3,2),若直線PM和PN的斜率分別為2和-%則點P的坐標為；若過

4(0,-2)的直線/與線段MN總有交點，則直線，的斜率取值范圍為.

【答案】(1,一5)

(―8,—[1,+8)

”=2

解:設P(x,y),則有僵—二

Vx+3一中

解得《二，則P點坐標為(1,—5);

根據題意AMA=言=1，=含=一%

因為過4(0,-2)的直線，與線段MN總有交點，如圖：

所以直線，斜率的范圍為(—8,-芻U[1,+8).

故答案為(1,-5)；(―oc,--]U[1.+ac).

*5

題型二：五種直線方程

例1、(多選)下列說法中，正確的有()

A.過點PQ2)且在x,y軸截距相等的直線方程為x+y-3=0

B.直線y=3%-2在＞/軸上的截距為一2

C.直線x-V3y+1=0的傾斜角為60°

D.過點(5,4)并且傾斜角為90。的直線方程為5=0

【答案】BD

解：對4:過點P(l,2)且在x,y軸截距相等的直線方程,

要分直線過原點和不過原點兩種情況討論，

當直線過原點時，直線方程為2x-y=0;

當直線不過原點時，直線方程為x+y-3=0,所以A錯誤.

對8：直線y=3%-2在y軸上的截距，令x=0,得y=-2,

所以直線y=3x-2在y軸上的截距為一2,所以B正確.

對C：直線x-V3y+1=0的斜率為弓，設傾斜角為a,

則taua=€[0,TT)，所以a=30°,所以C錯誤.

對D：過點(5,4)并且傾斜角為90°,斜率不存在，

所以直線方程為x=5,即工一5=0,所以。正確.

故選BD.

例2、根據下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程.

(1)斜率是一,經過點)(8,—2)；

(2)經過點B(4,2),平行于x軸;

(3)在x軸和y軸上的截距分別是|,-3；

經過兩點

(4)3(3,—2),P2(5,-4).

(5)已知直線，經過點8(3,-1),且傾斜角是30

【答案】解：(1)由點斜式得了一(-2)=-1%-8),化成一般式得％+2了-4=0.

(2)由題意得y=2,化成一般式得y-2=0.

(3)由截距式得三+三=1,化成一般式得2x-y—3=0.

2

(4)由兩點式得若元=言，化成一般式得久+y-l=0.

(5)由題意得直線2斜率為k=弓，由點斜式得y+1=-3)

化成一般式得遮x-3y-3-百=0

例3、（多選）下列說法正確的是（）

A.直線y=ax-3a+2（aGR）必過定點（3,2）

B.過（%】,月），（尤2/2）兩點的直線方程為黃=急

C.直線Bx+y+1=0的傾斜角為60°

D.直線x-y-4=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是8

【答案】AD

解：4、.直線y=ax—3Q+2=a（x-3）+2,過點（3,2）,所以A正確；

B、當/工工2，月裝力時，過（%2，、2）兩點的直線方程為卷母二卷奇■，所以B不正確；

C、直線8x+y+l=0即為）/=一8％-1,斜率為—百，所以傾斜角為120。，C錯誤；

D、直線x-y-4=0在x、y兩坐標軸上的截距分別為:4,—4,與坐標軸圍成的三角形的面積是:1x4x4=

8,所以。正確：

故選：AD.

訓練1、（多選）一下列說法不正確的是（）

A.經過定點P（xo，y（））的直線都可以用方程y-y（）=k（x-x（））表示

B.在坐標軸上截距相等的直線都可以用方程:+；=1來表示

C.經過任意兩個不同的點P1（X1，%）,P2（X2，y2）的直線都可以用方程懸=言表示

D.經過點（2,3）,（m,n）兩點的直線方程為（y-3）（m-2）=（x-2）（n-3）

【答案】ABC

解：若經過定點尸（g,,（））的直線斜率不存在，

則直線方程不可以用方程y-y0=Kx-X。）表示，故選項4錯誤；

在坐標軸上截距相等的直線若經過原點，則該直線方程不可以用方程：+?=1來表示，故選項8錯誤；

方程轉=言要滿足條件勺#%2,力中及，，故僅表示與坐標軸不平行的直線，

Z2yi-*2,*1

故選項c錯誤；

經過點(2,3),(m,n)兩點的宜線方程為(y-3)(6-2)=(x—2)(n-3),故。正確.

故選ABC.

例4、過點4(4,1),且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是()

A.4x—y=0或x+y—5=0B.x+y-5=0

C.x-4y=0或x-y+3=0D.x-4y=0或x+y-5=0

【答案】D

解：當直線過原點時，斜率為:，

4

直線的方程是y==x-4y=0.

當直線不過原點時.，設直線的方程是：x+y=a,

把點4(4,1)代入方程得a=5,

直線的方程是x+y=5.

綜上，所求直線的方程為x-4y=0或x+y-5=0.

故選：D.

訓練1、已知直線過點(2,3),它在K軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，則此直線的方程為

［答案】3x-2y=0或x+2y-8=0

解：(1)當此直線過原點時，直線在%軸上的截距和在y軸上的截距都等于0,顯然成立，

所以直線斜率為日且過原點，所以直線解析式為y=|x,化簡得3x-2y=0；

(2)當直線不過原點時，由在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍得到直線的斜率為一3

直線過(2,3),

所以直線解析式為y-3=-i(x-2),

化簡得：%+2y-8=0.

故答案為3%-2y=0或x+2y-8=0.

訓練2、過點4(4,1),且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是()

A.4i—g=0或i+y—5=0B.￡+y—5=0

C.c—4g=0或rr—〃+3=0D.c—4g=0或c+g—5=0

【答案】D

解：當直線過原點時，斜率為:，

4

直線的方程是y==x-4y=0.

當直線不過原點時.，設直線的方程是x+y=a,

把點4(4,1)代入方程得a=5,

直線的方程是x+y=5.

綜上，所求直線的方程為％-4y=0或x+y-5=0.

故選：D.

題型三：平行與垂直

例1、設直線％：Q%+3y+12=0,直線%：x+(Q-2)y+4=0.當。=時，匕〃％；當。=時,

h112.

【答案…I

解：直線匕：ax4-3y4-12=0,直線，2：%+(a—2)y+4=0.

由k//%得：7=*7,

解得Q=-1,

由㈠%,得ax1+3(a—2)=0,解得a=|.

故答案為：-1；

訓練1、(多選)已知直線53x+y-3=0,直線％：6x+my+l=0,則下列表述正確的有()

A.直線，2的斜率為一3

B.若直線人垂直于直線%，則實數(shù)m=-18

C.直線k傾斜角的正切值為3

D.若直線，1平行于直線，2,則實數(shù)6=2

【答案】BD

解：直線k3x+y-3=0,直線％：6x+my+1=0,

當m=0時，直線L的斜率不存在，故選項4錯誤；

當直線。垂直于直線%，則有3x6+1xm=0,解得m=-18,故選項8正確；

直線4的斜率為-3,故傾斜角的正切值為-3,故選項C錯誤；

當直線k平行于直線L則0,解得m=2,故選項C正確.

故選：BD.

例2、已知直線Ei：xsina+y-1=0,直線%：%—3ycosa+1=0,若/山2,則sin2a=()

A.IB,-|C.|D,--

【答案】A

解：因為直線kN?sina+y-1=(),直線，2：工一3y+1=(),且匕1%，

所以疝m—3co?a=0,即sine=：k-oesn,

所以sin%=1—ccjtra=1—(-siiki)2=1—-siirn,

*i9

即sin%=2,

1()

1

所以sin2a=2sinacosa=2sina--sina

故選A.

例3、設直線k：x-my+m—2=0,l2：mx+(m—2)y—1=0,則"m=-2"是直線'Z〃。”的

條件.(從“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”及“既不充分也不必要”中選擇一個填空)

【答案】充要

解：由—m?m—(m—2)=0,解得7n=l或—2.

其中m=1時兩條直線重合，舍去.

?."m=-2"是直線“匕〃G”的充要條件.

故答案為充要.

例4、已知直線ax+2y+6=0和直線％：x+(a—l)y+a2—1=0.

⑴當及〃％時，求a的值；

(2)當口_L?2時，求a的值.

【答案】(1)-1;(2)|

【解析】1)(方法1)當Q=1時，/i：x+2y+6=0,l2：x=0,%不平行于G；

當Q=0時，I］：y=-3,l2：%-y-1=0,匕不平行于％；

當awl且a70時，兩直線可化為ky=-^x-3,

ay=±x-(a+i),

ra__J_

?！?，2=-5一F'解得Q=-l,綜上可知，當Q=-l時，Zt11l2.

1-3*—(a+1)

(方法2)???3/12

ra(a—1)—1x2=0,Q2-d-2=0

ta(a2-1)-1x6^0<=>'解得Q=—1

a(a2-1)H6

故當@=一1時，匕〃%.

(2)(方法1)當Q=1時，，i：x+2y+6=0,%：%=0，匕與%不垂直，故Q=1不成立；

當a=0時，，匕：y=-3,12：%—y—1=0,匕不垂直于G，故Q=0不成立；

當QW1且a看0時，ky=-^x-3,l：y=4%—(a+1)由(一2)?上二-1,得a=；.

n21-a\2/1—a3

(方法2)???匕_L，2，二。+2(。-1)=0，解得a=g.

訓練1、已知直線，的方程為3x—4y+4=0

(1)求過點(-2,2)且與直線，垂直的直線方程；

(2)求與直線Z平行且距離為2的直線方程.

【答案】解：(1)設與直線/：3%-4丫+4=0垂直的直線方程為&：+：如+6=(),

把點(-2,2)代入，得一8+6+b=(),解得6=2,

二過點(-2,2)且與直線/垂直的直線方程為：4x+3y+2=0.

(2)設與直線，平行且距離為2的直線方程為31-初+c=(),

則與=2，解得c=14或c=-6.

，9+216

???與直線2平行且距離為2的直線方程為31-物-6=0或3工-如+14=().

訓練2、如圖，已知AABC的頂點分別為4(2,4),5(0,-2),C(—2,3),求：

卜y

(1)直線4B的方程；

(2)48邊上的高所在直線的方程；

(3)與48邊平行的中位線所在直線的方程.

【答案】解：(1)1?膜8=空?=3,

N-U

直線4B的方程為y=3x-2,即3x-y-2=0.

(2)由(1)可設力B邊上的高所在直線的方程為y=-1x+m,

由該直線過點C(-2,3),得3=|+m,解得m=g,

故所求直線的方程為y=-+1,即x+3y-7=0.

(3)48邊的中位線與4B平行且過4c的中點(0,今，

邊的中位線所在宜線的方程為y=3x+1,即6x-2y+7=0.

訓練3、已知直線I的方程為的一y+l=0

(1)求過點4(3,2),且與直線［垂直的直線"方程；

(2)求與直線/平行，且到點P(3,0)的距離為遙的直線%的方程.

【答案】解：(1)設與直線I：2》一丫+1=0垂直的直線匕的方程為：x+2y+m=0,

把點4(3,2)代入可得，3+2x2+m=0,解得m=-7.

???過點4(3,2),且與直線，垂直的直線匕方程為：x+2y-7=0；

(2)設與直線八2x-y+l=0平行的宜線G的方程為：2x-y+c=0,

???點P(3,0)到直線%的距離為b.

.I2X3+CI一店

解得C=-1或一11.

???直線，2方程為：2x-y-1=0或2x-y-11=0.

例5、m€R,動直線k：x+my-1=0過定點力，動直線-y-2m+遮=0過定點B,若直線及與。

相交于點P(異于點48),則4P4B周長的最大值是.

【答案】2+2V2

解：直線kx+my-1=0過定點4(1,0),

直線％：mx—y—2m+V3=0,即m(x—2)=y—百，

可得過定點B(2,機)，

由于1?m+m?(―1)=0,

則，i與％始終垂直，P又是兩條直線的交點，

則有P41PB,

：.\PA\2+\PB\2=\AB\2=4.

由a?+b2>2ab可得2(。2+fe2)>(a+Z))2,

則2(|PA|2+\PB\2)>(|P*+\PB\)2,

即有伊川+\PB\<V23<4=2VL

當且僅當|P*=\PB\=&時，上式取得等號，

則^P4B周長的最大值為2+2V2.

故答案為2+2V2.

訓練1、已知直線八：〃//-!/-3///+14)與直線，2：%+my—3m-1=0相交于點P,線段AB是圓C:(x+I)2+

(y+1產=4的一條動弦，且|48|=2b，則|同+而|的最大值為.

【答案】8V2+2

解：由題意得圓C的圓心為(一1,一1)，半徑r=2，

易知直線k：mx-y-3m4-1=0恒過點(3,1),

直線%：x+my-3m-1=0恒過(1,3),且6J-/2，

二點P的軌跡為(X-2尸+(y-2/=2,圓心為(2,2),半徑為我,

若點。為弦4B的中點，位置關系如圖：

二可+而=2PD.

連接CO,由|48|=2%，易知|C0|=J4-(V3)2=1-

???|^lmax=|PC|max+|CD|

=V32+32+V2+1=4V2+1，

二I兩+而Imax=2|而Imax=8近+2.

故答案為8&+2.

訓練2、已知直線，已x+y=0與12：x-ky+2k-2=0相交于點4,點B是(x+2)2+(y+3)2=2上的

動點，則點4與8的距離最大值為()

A.3V2B.5V2C.5+2V2D.3+2V2

【答案】C

解：因為直線小kc+y=0恒過定點。(0,0),

直線公工一/0/+2左一2=0恒過定點儀2,2),且A，％，

故兩宜線的交點4在以0C為直徑的圓上，圓的方程D：(X-1)2+(y-=2,且不包含點(0,2),

要求|4B|的最大值，轉化為在圓D：(x-I)2+(y-=2上找一點4在圓8：(x+2)2+(y+3)2=2上

找一點B,使AB最大，

根據題意可得兩圓的圓心距J(1+2產+(1+3)=5>2位，兩圓相離，

則|4BImax=5+271

故選c.

例6、設zneR,若過定點4的動直線y-1=m(x-2)和過定點B的動直線x+my+2-4m=0交于點”(M

與4B不重合)，則|M*+2|MB|的最大值為()

A.5B.5V2C.5A/5D.5V6

【答案】C

解：由題意可知，動直線y-l=m(x-2)經過定點4(2,1),

動直線x+my+2-4m=0經過定點B(—2,4),

,??動直線y-1=m(x-2)和動直線x+my+2-4m=0的斜率之積為一1,

兩條直線始終垂直，

又是兩條直線的交點，

MA1MB,

\MA\2+\MB\2=\AB\2=25,

設N4BM=3,貝力M川=5sin9,\MB\=5cos9,

由|M*202|M8|20,可得。€0,J,

|A/.4|+2\MB\=5(siiW+2cow0)=5x/5x

氐.2瓜

令一.sma=-----

5

所以|A/.4|+2|AfB|=5>/5(sin0cosn+cosdsina)=5V后siu(0+a),

故|M川+21MBi的最大值為56.

故選C.

題型四：兩直線交點

例1、直線/+2//-2：0與直線21+y—3=()的交點坐標是()

A.(4,1)B.(1,4)C.(1,0D.

【答案】C

解：聯(lián)嘴解得

???交點坐標為G，;).

故選C.

例2、求經過直線小2x—y+4=0與直線%：工一丫+5=0的交點”，且滿足下列條件的直線方程.

(1)與直線x—2y—1=0平行；

(2)與直線x+3y+1=0垂直.

［答案］解：聯(lián)立《二喳：)。

解得后：；，可得交點

(1)若直線平行于直線x-2y-l=0,則斜率為:，

故可得方程為y-6="x—1),即x—2y+11=0；

(2)若直線垂直于直線x+3y+l=0,則斜率為3,

故可得方程為y—6=3(x—1),即3x-y+3=0.

訓練1、若三直線2x+3y+8=0,x—y—l=0和x+ky=0相交于一點，則％=()

A.-2B.iC,2D,

【答案】D

解：:三直線2x+3y+8=0,x-y—1=0和x+ky=0相交于一點，

.?由隹加72。，得憂二：即交點為(T-2),

代入直線工+ky=0,

所以-l+(-2)k=0,解得女=一右

故選。.

訓練2、若直線久+仍/+9=0經過直線5%-6丁-17=0與直線4%+3)/+2=0的交點，則b等于()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

解:聯(lián)立篇

解得％=1,y=-2,

???直線5%-6y-17=0與直線4%+3y+2=0的交點為(1,一2),

???直線x+by+9=0經過點(1,-2),

l-2b+9=0,

解得b=5.

故選：D.

例3、（多選）兩條直線％-my+2=0和mx+3y-9=0的交點位于第二象限，則徵的值可能為（）

A.1B.-4C.-2D.—3

【答案】BCD

9m-6

X=----

x-my+2=0/日3+m2

解：由mx4-3y-9=0信2ni+9

y-3+m2

:直線x-my+2=0和7nx+3y-9=0的交點位于第二象限,

2

0m<-

嘉雪、＞解得3

、9'

2＞m>——

3+mU2

m的取值范圍為，＜m＜|,

故選BCD.

訓練1、已知直線kx-y+2k+l=0與直線2x+y-2=0的交點在第一象限，則實數(shù)k的取值范圍

()

A.-1<fc<-1B.fc<-|或k>-1

C.k<-幽D.-|<fc<!

【答案】D

kx-y+2k+1=0

解:聯(lián)立

2%+y—2=0

解得：乂=啜,y=^(k4—2).

???直線kx-y+2fc+l=0與直線2x+y-2=0的交點在第一象限,

???崇”筌＞。?

解得：十V，

則實數(shù)k的取值范圍是（—?3）.

故選：D.

例4、過兩直線，i：x-3y4-1=0,%：%+2y+6=0的交點且與3%+y-1=0平行的直線方程為

【答案】3x+y+13=0

解:由"群仁:，解得憶二:，

所以兩宜線，1：x—3y+1=0,%：x+2y+6=0的父點為(一4,—1),

設與3x+y-1=0平行的直線方程為3x+y+m=0,

則3x(-4)+(-l)+m=0,

解得m=13,

所以所求的直線方程為3x+y+13=0.

故答案為3x+y+13=0.

訓練1、經過兩條直線2x-y+4=0和x-y+5=0的交點，并且垂直于直線x-2y=0的直線方程是

【答案】2x+y-8=0

解：聯(lián)立得：尸y三哪

(%-y+5=0(2)

①一②得：x=1,把x=1代入②，解得y=6,

原方程組的解為：｛;二;

所以兩直線的交點坐標為(L6),

又因為直線x-2y=0的斜率為號所以所求直線的斜率為-2,

則所求直線的方程為：y—6=—2(x—1),即2x+y—8=0.

故答案為2x+y-8=0.

例5、(多選)己知三條直線2%-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能構成三角形，則實

數(shù)m的取值為()

A.|B.7C.-|D.：

3333

【答案】ABC

【解答】

解：因為三條直線2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能構成三角形，

所以直線mx-y—1=。與2x—3y+1=?；?x+3y+5=0平行，

或者直線mx—y-1=0過2久―3y+1=0與4x+3y+5=0的交點,

直線mx—y—1=042x—3y+1=0,4%+3y+5=0分別平行時，

m=|,或m=一；,

直線2x-3y+1=0與4x+3y+5=0的交點坐標為

代入直線mx-y-1=0中，可得?n=-|,

所以實數(shù)m的取值集合為{一(,-|,|},

故選ABC.

訓練1、己知兩直線k：x—2y+4=0,%：4x+3y+5=0.

(1)求直線。與，2的交點P的坐標；

(2)求過及，%交點P，且在兩坐標軸截距相等的直線方程；

(3)若直線，3：ax+2y-6=0與G不能構成三角形，求實數(shù)a的值.

【答案】解：⑴崎；XTsU。，解得：二之

所以點P的坐標為(一2,1).

(2)設所求直線為I,

①當直線I在兩坐標軸截距為不零時，設直線方程為：7+7=1.

則F+;=l,解得t=-1,

所以直線的/方程為彳+七=1,即x+y+l=0.

(ii)當直線I在兩坐標軸截距為零時，設直線方程為：y=kx,

則1=kx(-2),解得k=

所以直線的，方程為y=—：x,即x+2y=0.

綜上，直線的，方程為尤+y+1=0或％+2y=0.

(3)(i)當b與k平行時不能構成三角形，此時：CLx(-2)-2x1=0,解得。=一1；

(ii)當巳與％平行時不能構成三角形，此時：ax3-2x4=0,解得a=*

(iii)當白過及,，2的交點時不能構成三角形，此時：a-(-2)+2xl-6=0,解得a=-2.

綜匕當a=-l或［或-2時，不能構成三角形.

例6、在平面直角坐標系xOy中，已知點P,B,C坐標分別為(0,1),(2,0),(0,2),E為線段BC上一點,

直線EP與x軸負半軸交于點4,直線與AC交于點。.

(1)當E點坐標為9時，求直線。。的方程；

(2)求與面積之和S的最小值.

【答案】解：⑴???點P,B,C坐標分別為(0,1),(2,0),(0,2),

???當E,|)H寸，易知直線PE的方程為y=x+l,

所以4(—1,0),

???直線AC的方程為y=2%+2①，

又直線BP的方程為y="1x+1②，

①②聯(lián)立方程組得D(-1,§,

所以直線0。的方程為y=-3%,

(2)易知直線BC的方程為x+y-2=0,

設E(a,2—a),直線PE的方程為y=當工+1,所以4(含,0),

因為4在x軸負半軸上，

所以0<a<1,

S=SAABE+SMEB=：(2-三)x(2-a)+2-a=：巴,0<a<1,

令t=l-a,則S=；(3t+B+4)2百+2(當且僅當t=當時取等號),

當t=^時，a=l-圣

答：s的最小值為75+2.

題型五：平面上的距離

例1、點(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

解：因為直線y=k(x+l)恒過點(一1,0),要使得點(0,—1)到直線的距離最大，

此時點到直線的距離即為(0,-1)與(-1,0)兩點的距離，

此時最大距離為y(o+i)2+(-i-o)2=\/2.

故選8.

訓練1、設直線乙：①+3〃-7=0與直線L：x-y+l=0的交點為P,則P到直線/:x+ay+2-a=0

的距離最大值為()

A./ioB.4C.3他D./il

【答案】A

解：由C==o°得憂”"OU)，

又+ay+2—a=0,即a(y-1)+x+2=0過定點M(-2,l),

P到直線l:x+ay+2-a=。的距離最大值為\PM\=7(-2-I)2+(1-2)2=V10.

故選4

訓練2、已知點P(4,0),直線，:(2+2比一(/1+1?-44—6=0,則點P到直線/距離的取值范圍為

【答案】(0,2&]

解：

直線，:(4+2)x-(A+l)y-4A-6=0,

A(x—y-4)+2x-y-6=0,

pc—y—4=0(x=2

(2x—y—6=0\y=-2'

所以直線過定點(2,-1),

則J(4-2)+(0+2)=2V2.

由于(2+2)x4-(A+l)xO-41-6=0無解，所以P在直線的卜，

所以P到直線/距離的取值范圍為(0,2a].

故答案為：(0,272]

例2、已知m,n滿足m+n=l,則點(1,1)到直線mx—y+2n=0的距離的最大值為()

A.0B.1C.V2D.2V2

【答案】C

解：將n=1-7n代入直線方程，可得(x-2)m-y+2=0,

二直線m%-y+2n=0必過定點(2,2),

當點與點(2,2)的連線與直線7nx-y+2n=0垂直時?，點(1,1)到直線mx—y+2n=。的距離的最大值,

故點(L1)到直線mx-y+2n=0的距離的最大值為，(2—1尸+(2—1阿=V2.

故選：C.

例3、已知直線/過直線J：x-2y+3=0與直線2x+3y—8=0的交點，且點P(0,4)到直線1的距離

為2,則這樣的直線［的條數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解答】解:方法-：由圖察得

即直線I過點(1,2).

設點Q(l,2),

因為|PQ|=7(1-0)2+(2-4)2=V5>2.

所以滿足條件的直線1有2條.

故選C

方法二：依題意，設經過直線。與％交點的直線加勺方程為2*+3丫-8+/10-2丫+3)=0(；1€/?),

即(2+X)x+(3-2A)y+3A-8=0.

化簡得5於-84-36=0,解得;1=一2或裝，

代入得直線，的方程為y=2或4x-3y+2=0.

故選C.

例4、已知m,n,a,beR,且滿足3nl+4n=6,6a+8b=1,則-a)2+(n—b)2的最小值為

【答案】］

解：設點A(m,n),B(a,b),直線k：3x+4y=6,直線％：6%+8y=1.

由題意知點A(m,n)在直線/1：3萬+4丫=6即6%+8〉=12上，點B(a