2025屆北京市門頭溝區(qū)高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2025屆北京市門頭溝區(qū)高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設為等差數(shù)列的前項和，若，，則公差的值為（）A. B.2C.3 D.42．經(jīng)過點作圓的弦,使點為弦的中點，則弦所在直線的方程為A. B.C. D.3．已知圓與圓，則圓M與圓N的位置關系是（）A.內(nèi)含 B.相交C.外切 D.外離4．直線的傾斜角為（）A.60° B.30°C.120° D.150°5．已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A. B.C. D.6．已知向量，且，則（）A. B.C. D.7．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標系（規(guī)定小方格的邊長為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為（）A. B.C. D.8．對于圓上任意一點的值與x，y無關，有下列結(jié)論：①當時，r有最大值1；②在r取最大值時，則點的軌跡是一條直線；③當時，則.其中正確的個數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.09．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.10．函數(shù)的導函數(shù)為，若已知圖象如圖，則下列說法正確的是（）A.存在極大值點 B.在單調(diào)遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解11．已知正實數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.12．復數(shù)，則對應的點所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難人微”.事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：與相關的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點與點之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，可得方程的解是__________.14．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x=_____________，y=_____________15．等比數(shù)列的前n項和，則的通項公式為___________.16．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項和，若，（1）求數(shù)列的首項和公差；（2）求的最小值.18．（12分）已知橢圓的長軸在軸上，長軸長為4，離心率為，（1）求橢圓的標準方程，并指出它的短軸長和焦距.（2）直線與橢圓交于兩點，求兩點的距離.19．（12分）某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設池底長方形長為x米（1）求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；（2）怎樣設計水池能使總造價最低?最低造價是多少?20．（12分）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答（若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分）.①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的一個方向向量為；已知直線l過點，且___________.（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓C：相交于M，N兩點，求弦長.21．（12分）在二項式的展開式中；（1）若，求常數(shù)項；（2）若第4項的系數(shù)與第7項的系數(shù)比為，求：①二項展開式中的各項的二項式系數(shù)之和；②二項展開式中各項的系數(shù)之和22．（10分）如圖，三棱錐中，為等邊三角形，且面面，（1）求證：；（2）當與平面BCD所成角為45°時，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式進行求解即可.【詳解】，故選：C2、A【解析】由題知為弦AB的中點，可得直線與過圓心和點的直線垂直，可求的斜率，然后用點斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線的方程為，整理得.選A.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，直線的斜率，直線的點斜式方程，屬于基礎題3、B【解析】將兩圓方程化為標準方程形式，計算圓心距，和兩圓半徑的和差比較，可得答案,【詳解】圓,即，圓心，圓，即，圓心，則故有，所以兩圓是相交的關系，故選：B4、C【解析】求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關系，即可求解.【詳解】解：，即，直線的斜率為，即直線的傾斜角為120°.故選：C.5、B【解析】由已知可設，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)6、A【解析】利用空間向量共線的坐標表示即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：A7、C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過點，因為每一段圓弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點的連線平行于軸，因為下一段圓弧半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C8、B【解析】可以看作點到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關，這個距離之和與點在圓上的位置無關，圓在兩直線內(nèi)部，則，的距離為，則，，對于①，當時，r有最大值1，得出結(jié)論；對于②在r取最大值時，則點的軌跡是一條平行與，的直線，得出結(jié)論；對于③當時，則得出結(jié)論.【詳解】設，故可以看作點到直線與直線距離之和的倍，的取值與，無關，這個距離之和與點在圓上的位置無關，可知直線平移時，點與直線，的距離之和均為，的距離，即此時圓在兩直線內(nèi)部，，的距離為，則，對于①，當時，r有最大值1，正確；對于②在r取最大值時，則點的軌跡是一條平行與，的直線，正確；對于③當時，則即，解得或，故錯誤.故正確結(jié)論有2個，故選：B.9、D【解析】先通過誘導公式將函數(shù)化簡，進而求出導函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.10、C【解析】根據(jù)圖象可得的符號，從而可得的單調(diào)區(qū)間，再對選項進行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象，可得當時，，當時，，當時，，當時，，可得在遞減，遞增；在遞減，在遞增，B錯誤，且知，所以存在極小值和，無極大值，A錯誤，同時無論是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定為負數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：C.11、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當且僅當時取等號，∴的最小值為.故選：A12、C【解析】化簡復數(shù)，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復數(shù)，所以復數(shù)對應的點為位于第三象限.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意，列方程計算即可【詳解】因為，所以，可轉(zhuǎn)化為點到點和點的距離之和為，所以點在橢圓上，則，解得.故答案為：14、①.3②.5【解析】根據(jù)莖葉圖進行數(shù)據(jù)分析，列方程求出x、y.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)為56，62，65，70+x，74；乙組數(shù)據(jù)為59，61，67，60+y，78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等，有65=60+y，所以y=5.又平均數(shù)相同，則，解得x=3.故答案為：3；5.15、【解析】利用的關系，結(jié)合是等比數(shù)列，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，故當時，，則，又當時，，因為是等比數(shù)列，故也滿足，即，故，此時滿足，則.故答案為：.16、##25【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）首項為-2，公差為1；（2）.【解析】(1)設出等差數(shù)列的公差，再結(jié)合前n項和公式列式計算作答.(2)由(1)的結(jié)論，探求數(shù)列的性質(zhì)即可推理計算作答.【小問1詳解】設等差數(shù)列首項為，公差為，而為其前n項和，，，于是得：，解得，，所以，.【小問2詳解】由(1)知，，，，數(shù)列是遞增數(shù)列，前3項均為非正數(shù)，從第4項起為正數(shù)，而，于是得的前2項和與前3項和相等并且最小，所以當或時，.18、（1），短軸長為，焦距為；（2）.【解析】（1）由長軸得，再由離心率求得，從而可得后可得橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得交點坐標后可得距離【詳解】（1）由已知：，，故，，則橢圓的方程為：，所以橢圓的短軸長為，焦距為.（2）聯(lián)立，解得，，所以，，故19、（1)1600,（平方米）；（2）池底設計為邊長40米的正方形時總造價最低，最低造價為268800元.【解析】（1）根據(jù)題意，由于修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元設池底長方形長為x米，則可知總造價s=,x=40時，則.故可知當x=40時，則有可使得總造價最低,最低造價是268800元.考點：不等式求解最值點評：主要是考查了不等式求解最值的運用，屬于基礎題.20、（1）若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為；（2）若選擇①②，則；若選擇③，則.【解析】（1）根據(jù)所選擇的條件，結(jié)合直線過點，即可寫出直線的方程；（2）利用（1）中所求直線方程，以及弦長公式，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】若選①與直線平行，則直線的斜率；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；若選②與直線垂直，則直線的斜率滿足，解得；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；若選③直線l的一個方向向量為，則直線的斜率；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；綜上所述：若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為.【小問2詳解】對圓C：，其圓心為，半徑，根據(jù)（1）中所求，若選擇①②，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長；若選擇③，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長.綜上所述，若選擇①②，則；若選擇③，則.21、（1）60（2）①1024；②1【解析】（1）根據(jù)二項式定理求解（2）根據(jù)二項式定理與條件求解，二項式系數(shù)之和為，系數(shù)和可賦值【小問1詳解】若，則，（，…，9）令∴∴常數(shù)項為.【小問2詳解】，（，…，），解得①②令，得系數(shù)和為22、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件證得平面即可推理作答