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湖南省衡陽(yáng)二十六中2025屆數(shù)學(xué)高一上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若,,,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.2.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個(gè)正方形,則原來(lái)的圖形是()A. B.C. D.3.如圖,,下列等式中成立的是()A. B.C. D.4.設(shè)集合M={a|x∈R,x2+ax+1>0},集合N={a|x∈R,(a-3)x+1=0},若命題p:a∈M,命題q:a∈N,那么命題p是命題q的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件5.如圖,在平面四邊形中,,將其沿對(duì)角線對(duì)角折成四面體,使平面⊥平面,若四面體的頂點(diǎn)在同一球面上,則該求的體積為A. B.C. D.6.若命題“,使得”為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.7.已知集合A∪B={0,1,2,3,4},B={1,2,4},那么集合A可能是()A.{1,2,3} B.{0,1,4}C.{0,1,3} D.{1,3,4}8.函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)xA.f(xy)=f(x)f(y) B.f(x+y)=f(x)f(y)C.f(xy)=f(x)+f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)9.已知直線,直線,則與之間的距離為()A. B.C. D.10.在高一期中考試中,甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表:班級(jí)人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差甲302乙203其中,則甲、乙兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為()A.2.2 B.2.6C.2.5 D.2.4二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知函數(shù),則____12.若向量,,且,則_____13.已知直線過(guò)兩直線和的交點(diǎn),且原點(diǎn)到該直線的距離為,則該直線的方程為_(kāi)____.14.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分圖象如圖所示,則的值是________15.設(shè)函數(shù),若關(guān)于x的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)根.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.16.已知,則函數(shù)的最大值為_(kāi)_________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)設(shè),求與的夾角;(2)設(shè)且與的夾角為,求的值.18.已知函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,且點(diǎn)A又在函數(shù)的圖象上.(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.19.某廠商計(jì)劃投資生產(chǎn)甲、乙兩種商品,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),如圖所示,甲、乙商品的投資x與利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)分別滿足函數(shù)關(guān)系與(1)求,與,的值;(2)該廠商現(xiàn)籌集到資金20萬(wàn)元,如何分配生產(chǎn)甲、乙商品的投資,可使總利潤(rùn)最大?并求出總利潤(rùn)的最大值20.若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù),使得成立,則稱函數(shù)有“飄移點(diǎn)”Ⅰ試判斷函數(shù)及函數(shù)是否有“飄移點(diǎn)”并說(shuō)明理由;Ⅱ若函數(shù)有“飄移點(diǎn)”,求a的取值范圍21.已知關(guān)于一元二次不等式的解集為.(1)求函數(shù)的最小值;(2)求關(guān)于的一元二次不等式的解集.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,化簡(jiǎn),進(jìn)而比較大小即可【詳解】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),所以;在上是增函數(shù),所以;,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)比較大小問(wèn)題,考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用2、A【解析】由斜二測(cè)畫法的規(guī)則知與x'軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合,其長(zhǎng)度不變,與y軸平行或重合的線段與x’軸平行或重合,其長(zhǎng)度變成原來(lái)的一半,正方形的對(duì)角線在y'軸上,可求得其長(zhǎng)度為,故在平面圖中其在y軸上,且其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,長(zhǎng)度為2,觀察四個(gè)選項(xiàng),A選項(xiàng)符合題意.故應(yīng)選A考點(diǎn):斜二測(cè)畫法點(diǎn)評(píng):注意斜二測(cè)畫法中線段長(zhǎng)度的變化3、B【解析】本題首先可結(jié)合向量減法的三角形法則對(duì)已知條件中的進(jìn)行化簡(jiǎn),化簡(jiǎn)為然后化簡(jiǎn)并代入即可得出答案【詳解】因?yàn)?,所以,所以,即,故選B【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的基本定理,考查向量減法的三角形法則,考查數(shù)形結(jié)合思想與化歸思想,是簡(jiǎn)單題4、A【解析】由題意,對(duì)于集合M,△=a2-4<0,解得-2<a<2;對(duì)于集合N,a≠3若-2<a<2,則a≠3;反之,不成立.命題p是命題q的充分不必要條件.故選A5、A【解析】平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=2,BD=2,BD⊥CD,將其沿對(duì)角線BD折成四面體A'﹣BCD,使平面A'BD⊥平面BCD.四面體A'﹣BCD頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,△BCD和△A'BC都是直角三角形,BC的中點(diǎn)就是球心,所以BC=2,球的半徑為:;所以球的體積為:故答案選:A點(diǎn)睛:涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí),一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.6、B【解析】在上有解,利用基本不等式求出的最小值即可.【詳解】即在上有解,所以在上有解,由,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),故故選:B7、C【解析】根據(jù)并集的定義可得集合A中一定包含的元素,再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除,可得答案.【詳解】∵集合A∪B={0,1,2,3,4},B={1,2,4};∴集合A中一定有元素0和3,故可排除A,B,D;故選:C.8、B【解析】由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到ax+y【詳解】解:由函數(shù)f(x)=a得f(x+y)=a所以函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x、y故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),是基礎(chǔ)題.9、D【解析】利用兩平行線間的距離公式即可求解.【詳解】直線的方程可化為,則與之間的距離故選:D10、D【解析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算性質(zhì)即可計(jì)算.【詳解】設(shè)甲、乙兩班學(xué)生成績(jī)分別為,甲班平均成績(jī)?yōu)?,乙班平均成?jī)?yōu)?,因?yàn)榧?、乙兩班的平均成?jī)相等,所以甲、乙兩班合在一起后平均成績(jī)依然為,因?yàn)椋?,∴甲、乙兩班合在一起后的方差為?故選:D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、16、【解析】令,則,所以,故填.12、6【解析】本題首先可通過(guò)題意得出向量以及向量的坐標(biāo)表示和向量與向量之間的關(guān)系,然后通過(guò)向量平行的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果?!驹斀狻恳?yàn)椋?,且,所以,解得?!军c(diǎn)睛】本題考查向量的相關(guān)性質(zhì),主要考查向量平行的相關(guān)性質(zhì),若向量,,,則有,鍛煉了學(xué)生對(duì)于向量公式的使用,是簡(jiǎn)單題。13、或【解析】先求兩直線和的交點(diǎn),再分類討論,先分析所求直線斜率不存在時(shí)是否符合題意,再分析直線斜率存在時(shí),設(shè)斜率為,再由原點(diǎn)到該直線的距離為,求出,得到答案.【詳解】由和,得,即交點(diǎn)坐標(biāo)為,(1)當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí),直線方程為,此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為,符合題意;(2)當(dāng)所求直線斜率存在時(shí),設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線方程為,化為一般式得,由原點(diǎn)到直線的距離為,則,解得,得所求直線的方程為.綜上可得,所求直線的方程為或故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查了求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),由點(diǎn)到直線的距離求參,還考查了對(duì)直線的斜率是否存在分類討論的思想,屬于中檔題.三、14、【解析】,把代入,得,,,故答案為考點(diǎn):1、已知三角函數(shù)的圖象求解析式;2、三角函數(shù)的周期性【方法點(diǎn)睛】本題主要通過(guò)已知三角函數(shù)的圖象求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.求解析時(shí)求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵,由特殊點(diǎn)求時(shí),一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個(gè)點(diǎn),用五點(diǎn)法求值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)點(diǎn)為突破口,“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與軸的交點(diǎn))時(shí);“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí);“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與軸的交點(diǎn))時(shí);“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí);“第五點(diǎn)”時(shí)15、或或【解析】作出函數(shù)的圖象,設(shè),分關(guān)于有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、,和兩相等實(shí)數(shù)根進(jìn)行討論,當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí),再檢驗(yàn),當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、時(shí),或,再由二次方程實(shí)數(shù)根的分布進(jìn)行討論求解即可.【詳解】作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖,令,要使關(guān)于的方程有且僅有個(gè)不同的實(shí)根,(1)當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí),由,即,此時(shí)當(dāng),此時(shí),此時(shí)由圖可知方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根,此時(shí)不滿足.當(dāng),此時(shí),此時(shí)由圖可知方程有6個(gè)實(shí)數(shù)根,此時(shí)滿足條件.(2)當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、時(shí),則或當(dāng)時(shí),由可得則的根為由圖可知當(dāng)時(shí),方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí),方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根,此時(shí)滿足條件.當(dāng)時(shí),設(shè)由,則,即綜上所述:滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是或或故答案為:或或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查利用復(fù)合型二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù),考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵由條件結(jié)合函數(shù)的圖象,分析方程的根情況及其范圍,再由二次方程實(shí)數(shù)根的分布解決問(wèn)題,屬于難題.16、【解析】換元,,化簡(jiǎn)得到二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.【詳解】設(shè),,則,,故當(dāng),即時(shí),函數(shù)有最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)的最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,換元是解題的關(guān)鍵.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)61.【解析】(1)由已知中12,9,,代入平面向量的夾角公式,即可求出θ的余弦值,結(jié)合0°≤θ≤180°,即可得到答案(2)利用數(shù)量積運(yùn)算法則即可得出;【詳解】(1)∵12,9,,∴cosθ又∵0°≤θ≤180°則θ=135°(2)∵,,且與夾角為120°,∴6∴42﹣(﹣6)﹣3×32=61【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及其性質(zhì)、夾角公式,屬于基礎(chǔ)題18、(1)(2)【解析】(1)由函數(shù)圖象的平移變換可得點(diǎn)A坐標(biāo),然后代入函數(shù)可解;(2)將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,作圖可解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的圖象可由指數(shù)函數(shù)的圖象,向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)定點(diǎn),故函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),又因?yàn)锳點(diǎn)在圖象上,則∴解得【小問(wèn)2詳解】,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則方程有兩個(gè)不等實(shí)根,令,,則它們的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),由圖可知:,故b的取值范圍為.19、(1),,,(2)分配生產(chǎn)乙商品的投資為1萬(wàn)元,甲商品的投資為萬(wàn)元,此時(shí)總利潤(rùn)的最大值為31.5萬(wàn)元.【解析】(1)代入點(diǎn)的坐標(biāo),求出,與,的值;(2)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上,表達(dá)出總利潤(rùn)的關(guān)系式,利用配方求出最大值.【小問(wèn)1詳解】將代入中,,解得:,將代入中,,解得:,所以,,,.【小問(wèn)2詳解】設(shè)分配生產(chǎn)乙商品的投資為m(0≤m≤20)萬(wàn)元、甲商品的投資為萬(wàn)元,此時(shí)的總利潤(rùn)為w,則,因?yàn)?≤m≤20,所以當(dāng),即時(shí),w取得最大值,即分配生產(chǎn)乙商品的投資為1萬(wàn)元,甲商品的投資為萬(wàn)元,此時(shí)總利潤(rùn)的最大值為31.5萬(wàn)元.20、(Ⅰ)函數(shù)有“飄移點(diǎn)”,函數(shù)沒(méi)有“飄移點(diǎn)”.證明過(guò)程詳見(jiàn)解析(Ⅱ)【解析】Ⅰ按照“飄移點(diǎn)”的概念,只需方程有根即可,據(jù)此判斷;Ⅱ由題得,化簡(jiǎn)得,可得,可求>,解得a范圍【詳解】Ⅰ函數(shù)有“飄移點(diǎn)”,函數(shù)沒(méi)有“飄移點(diǎn)”,證明如下:設(shè)在定義域內(nèi)有“飄移點(diǎn)”,所以:,即:,解得:,所以函數(shù)在定義域內(nèi)有“飄移點(diǎn)”是0;設(shè)函數(shù)有“飄移點(diǎn)”,則,即由此方程無(wú)實(shí)根,與題設(shè)矛盾,所以函數(shù)沒(méi)有飄移點(diǎn)Ⅱ函數(shù)的定義域是,因?yàn)楹瘮?shù)有“飄移點(diǎn)”,所以:,即:,化簡(jiǎn)可得:,可得:,因?yàn)椋裕?,所以:,因?yàn)楫?dāng)時(shí),方程無(wú)解,所以,所以,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是,所以:
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