2025屆湖南省衡陽(yáng)八中、澧縣一中高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆湖南省衡陽(yáng)八中、澧縣一中高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，，，，則異面直線CD與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.43．已知直線過(guò)點(diǎn)，，則該直線的傾斜角是（）A. B.C. D.4．橢圓（）的右頂點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則公比()A. B.2C.2或 D.46．已知四面體中，，若該四面體的外接球的球心為，則的面積為（）A. B.C. D.7．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.8．某中學(xué)的校友會(huì)為感謝學(xué)校的教育之恩，準(zhǔn)備在學(xué)校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°，側(cè)棱長(zhǎng)為米，則以下說(shuō)法不正確（）A.底面邊長(zhǎng)為6米 B.體積為立方米C.側(cè)面積為平方米 D.側(cè)棱與底面所成角的正弦值為9．已知是橢圓右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與圓相切于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.10．春秋時(shí)期孔子及其弟子所著的《論語(yǔ)·顏淵》中有句話：“非禮勿視，非禮勿聽(tīng)，非禮勿言，非禮勿動(dòng).”意思是：不符合禮的不看，不符合禮的不聽(tīng)，不符合禮的不說(shuō)，不符合禮的不做.“非禮勿聽(tīng)”可以理解為：如果不合禮，那么就不聽(tīng).從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，“合禮”是“聽(tīng)”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．?dāng)?shù)列1，6，15，28，45，...中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出來(lái)，故稱(chēng)它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第10個(gè)六邊形數(shù)為（）A.153 B.190C.231 D.27612．設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線C上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線段的垂直平分線（）A.經(jīng)過(guò)點(diǎn) B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.平行于直線 D.垂直于直線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_(kāi)________14．曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為_(kāi)____15．已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且.①求直線的方程；②求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.16．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中a為正數(shù)（1）討論單調(diào)性；（2）求證：18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求的面積19．（12分）已知函數(shù),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知橢圓，直線.（1）若直線與橢圓相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線與橢圓相交于A、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.21．（12分）如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，連接（1）若為的中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)，確定點(diǎn)位置，求線段的長(zhǎng)；（2）若折成二面角大小為，是否存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成的角為，若存在，確定出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22．（10分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA與QB的斜率分別為，，且，那么直線l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.運(yùn)用異面直線的空間向量求解方法，可求得答案.【詳解】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，，，，則，，所以.又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.2、A【解析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性和概率的性質(zhì)即可【詳解】由，且則有：根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知：故選：A3、C【解析】根據(jù)直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為，該直線的斜率，即.故選：C4、A【解析】求得拋物線的焦點(diǎn)從而求得，再結(jié)合題意求得，即可寫(xiě)出橢圓方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可得；又短軸長(zhǎng)為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.5、B【解析】由兩式相除即可求公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∵其各項(xiàng)均為正數(shù)，故q＞0，∵，∴，又∵，∴=4，則q＝2.故選：B.6、C【解析】根據(jù)四面體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、球的性質(zhì)、正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】由圖設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，由，所以，面，則面，且，所以球心面，所以平面與球面的截面為大圓，延長(zhǎng)線與此大圓交于點(diǎn).在三角形中，由，所以，由正弦定理知：三角形的外接圓半徑為，設(shè)三角形的外接圓圓心為點(diǎn)，則面，有，則，設(shè)的外接圓圓心為點(diǎn)，則面，由正弦定理知：三角形PAB的外接圓半徑為，所以，又三角形中，，所以為的角平分線，則，在直角三角形OMD中，，在直角三角形OED中，，在三角形中，取中點(diǎn)，由，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用正弦定理、勾股定理、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，要保證導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.8、D【解析】連接底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點(diǎn)，連接，則的大小為側(cè)面與底面所成，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，求出該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)，斜高和高，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點(diǎn)，連接，由正四棱錐的性質(zhì)，可得由分別為的中點(diǎn)，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則,又則,解得故選項(xiàng)A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項(xiàng)B正確.該正四棱錐的側(cè)面積為，故選項(xiàng)C正確.由題意為側(cè)棱與底面所成角，則，故選項(xiàng)D不正確.故選：D9、A【解析】結(jié)合橢圓的定義、勾股定理列方程，化簡(jiǎn)求得，由此求得離心率.【詳解】圓的圓心為，半徑為.設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故選：A10、B【解析】如果不合禮，那么就不聽(tīng).轉(zhuǎn)化為它的逆否命題.即可判斷出答案.【詳解】如果不合禮，那么就不聽(tīng)的逆否命題為：如果聽(tīng)，那么就合理.故“合禮”是“聽(tīng)”的必要條件.故選：B.11、B【解析】細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)聯(lián)系相關(guān)知識(shí),如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形可知，，，，，，，據(jù)此即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列的各項(xiàng)為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查合情推理中的歸納推理；考查邏輯推理能力；觀察分析、尋求規(guī)律是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、探索型試題.12、A【解析】依據(jù)題意作出焦點(diǎn)在軸上的開(kāi)口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即答案：14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率為，所以所求切線方程為：，即.故答案為：.15、（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②.【解析】（1）由可證得結(jié)論成立；（2）①設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當(dāng)在橢圓的內(nèi)部時(shí)，，可得.設(shè)點(diǎn)、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以，所以，直線方程為，即.所以，直線的方程為；②聯(lián)立，消去可得.，由韋達(dá)定理可得，，又，而，，，解得合乎題意，故，因此，橢圓的方程為.16、【解析】首先對(duì)求導(dǎo)，可得，令，解可得答案【詳解】解：由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并且求的兩個(gè)根，然后分類(lèi)討論，和三種情況下對(duì)應(yīng)的單調(diào)性；（2）令，通過(guò)二次求導(dǎo)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性與最小值，設(shè)的零點(diǎn)為，求出取值范圍，最后將轉(zhuǎn)化為的對(duì)勾函數(shù)并求解最小值，即可證明出不等式.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椤吡畹谩?，∴，得或①?dāng)，即時(shí)，時(shí)，或；時(shí)，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，或；時(shí)，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增③當(dāng)，即時(shí)，∴在上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增【小問(wèn)2詳解】令，（）∴，令∴，∴在上單調(diào)遞增又∵，，∴使得，即（*）∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴單調(diào)遞增∴，（）由（*）式可知：，∴，∴∵，∴函數(shù)單調(diào)遞減∴，∴∴【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是利用二次求導(dǎo)法，通過(guò)虛設(shè)零點(diǎn)，求解原函數(shù)的單調(diào)性與最小值，并通過(guò)最小值的取值范圍證明不等式.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)于的方程，解得的值即可.（2）聯(lián)列方程組并消元，韋達(dá)定理整體思想求的長(zhǎng)，再求點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求面積.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，則，因?yàn)?，所以，解得，故拋物線的方程為【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，則點(diǎn)到直線的距離聯(lián)立，整理得設(shè)，，則，從而因?yàn)橹本€過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以故的面積為19、（1）時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)得到，分和進(jìn)行討論，判斷出的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，分和進(jìn)行討論，根據(jù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，得到答案.【詳解】解:（1）函數(shù)定義域是，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得到，即，所以，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，綜上所述，時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由已知在恒成立，令，，可得，則，所以在遞增，所以，①當(dāng)時(shí)，，在遞增，所以成立，符合題意.②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，使，即時(shí)，在遞減，，不符合題意.綜上得【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.20、（1）（2）m值為或.【解析】（1）利用判別式直接求解；（2）用“設(shè)而不求法”表示出，即可求出m.【小問(wèn)1詳解】聯(lián)立,消去y可得.因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，解得：.【小問(wèn)2詳解】設(shè).聯(lián)立,消去y可得.所以,，所以.又由,可得.所以.因?yàn)?所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為或.21、（1）是的延長(zhǎng)線與延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且（2）存在，使得直線與平面所成的角為，且.【解析】（1）通過(guò)延長(zhǎng)、以及全等三角形確定點(diǎn)的位置并求得線段的長(zhǎng).（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷符合題意的點(diǎn)是否存在.【小問(wèn)1詳解】延長(zhǎng)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于，由于，所以，所以.所以是的延長(zhǎng)線與延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且.【小問(wèn)2詳解】由于，所以平面，，由于平面，所以平面平面.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，由于直線與平面所成的角為，所以，整理得，解得或（舍去）存在，使得直線與平面所成的角為，且.