恩施市重點中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

恩施市重點中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則的最大值為（）A. B.C. D.2．在等比數(shù)列中，若，則公比（）A. B.C.2 D.33．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，4．若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，則l的方程為（）A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.x－4y＋3＝0 D.4x＋y＋4＝05．已知點B是A（3，4，5）在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（）A. B.C.5 D.56．已知對任意實數(shù)，有，且時，則時A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則（）A.3 B.5C.6 D.108．圓的圓心和半徑分別是（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的右焦點為，以為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若(為坐標(biāo)原點)，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.10．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點P滿足，則（）A. B.1C. D.211．已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B.C. D.12．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)極值點的個數(shù)是______14．如圖，拋物線上的點與軸上的點構(gòu)成等邊三角形，，，其中點在拋物線上，點的坐標(biāo)為，，猜測數(shù)列的通項公式為________15．拋物線的焦點坐標(biāo)為___________.16．若命題“”是假命題，則a的取值范圍是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l經(jīng)過點M（0，1），且與橢圓C交于A，B兩點，若，求直線l的方程18．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求k的值19．（12分）已知函數(shù)的圖象在點P(0，f(0))處的切線方程是（1）求a、b的值；（2）求函數(shù)的極值.20．（12分）已知橢圓過點，且離心率，為坐標(biāo)原點.（1）求橢圓的方程；（2）判斷是否存在直線，使得直線與橢圓相交于兩點，直線與軸相交于點，且滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知拋物線的焦點為F，其中P為E的準(zhǔn)線上一點，O是坐標(biāo)原點，且（1）求拋物線E的方程；（2）過的直線與E交于C，D兩點，在x軸上是否存在定點，使得x軸平分？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由22．（10分）已知橢圓的左焦點為F，右頂點為，M是橢圓上一點．軸且（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓C交于E，H兩點，點G在橢圓C上，且四邊形平行四邊形（其中O為坐標(biāo)原點），求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】不妨設(shè)點為第一象限的交點，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得到，進而結(jié)合余弦定理得到，即，令然后結(jié)合三角函數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)點為第一象限的交點，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當(dāng)時，有最大值，最大值為，故選：B.【點睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)2、C【解析】由題得，化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以，解得.故選：C3、C【解析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結(jié)論，即可寫出原命題p的否定.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴是“，”.故選：C.4、D【解析】設(shè)切點為，則切線的斜率為，然后根據(jù)條件可得的值，然后可得答案.【詳解】設(shè)切點為，因為，所以切線的斜率為因為曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，所以，即所以l的方程為，即故選：D5、C【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||【詳解】解：∵點B是點A（3，4，5）在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，∴B（3，4，0），則||＝＝5故選：C6、B【解析】，所以是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，時則都是增函數(shù)，由對稱性可知時遞增，遞減，所以考點：函數(shù)奇偶性單調(diào)性7、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前項和公式，由題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，由，可得，，則.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列前項和的基本量運算，屬于基礎(chǔ)題型.8、B【解析】將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】解：.故選：B.9、A【解析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由，可知為的三等分點，用兩種方式表示，可得關(guān)于的方程組，結(jié)合即可得到雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由到漸近線的距離為，所以，又，所以，因為，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.10、D【解析】設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合點P的唯一性有求參數(shù)a，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖空間直角坐標(biāo)系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點P滿足，所以，則，故，可得，此時，所以.故選：D11、C【解析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C12、A【解析】由三角形內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷、的真假，應(yīng)用換元法令，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)確定的值域即知、的真假，根據(jù)各選項復(fù)合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得極值點的情況.【詳解】因為，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極值點的個數(shù)是0，故答案為：0.14、【解析】求出，，，，，，可猜測，利用累加法，即可求解【詳解】的方程為，代入拋物線可得，同理可得，，，，可猜測，證明：記三角形的邊長為，由題意可知，當(dāng)時，在拋物線上，可得，當(dāng)時，，兩式相減得：化簡得：，則數(shù)列是等差數(shù)列，，，，，故答案為：15、【解析】化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由題意知，，則焦點坐標(biāo)為.故答案為：16、【解析】依題意可得是真命題，參變分離得到，再利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為命題“”是假命題，所以命題“”是真命題，即，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以，即故答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為2，離心率為，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，由得，利用韋達定理，化簡可得，求出，即可求直線的方程.試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，因為，所以，所求橢圓方程為.（2）由題得直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=kx+1，則由得，且．設(shè)，則由得，又，所以消去得，解得，，所以直線的方程為，即或.18、（1）（2）10【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用已知建立方程組，解之可求得數(shù)列的通項公式；(2)利用等差數(shù)列的前項和公式，化簡即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知，，得，解得，則；小問2詳解】解：由（1）得，則由，得或（舍去），所以的值為10.19、（1）；（2）答案見解析【解析】（1）求出曲線的斜率，切點坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值域斜率的關(guān)系，即可求出，（2）求出導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的極值【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象在點P(0，f(0))處的切線方程是，所以切線斜率是，且，求得，即點又函數(shù)，則所以依題意得解得（2）由（1）知所以令，解得或當(dāng)，或；當(dāng)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是所以當(dāng)變化時，和變化情況如下表：0極大值極小值所以，20、（1）；（2）存在，方程為和.【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點、離心率和關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理形式，根據(jù)共線向量可得，代入韋達定理中可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程可求得，進而得到直線方程.【小問1詳解】由題意得：，解得：，橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意知：直線斜率存在且不為零，可設(shè)，，，由得：，則；，，，，，解得：，，滿足條件的直線存在，方程為和.21、（1）（2）存在；【解析】（1）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運算求出p即可；（2）設(shè)直線MC，MD的斜率分別為，，利用坐標(biāo)計算恒成立，即可求解.【小問1詳解】拋物線的焦點為，設(shè)，則，因為，所以，得所以拋物線E的方程為【小問2詳解】假設(shè)在x軸上存在定點，使得x軸平分設(shè)直線的方程為，設(shè)點，，聯(lián)立，可得∵恒成立，∴，設(shè)直線MC，MD的斜率分別為，，則由定點，使得x軸平分，則，所以把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得，得故存在滿足題意．綜上所述