2025版新教材高考數(shù)學一輪復習第八章平面解析幾何8.2直線的交點坐標與距離公式學案新人教A版

8.2直線的交點坐標與距離公式必備學問預案自診學問梳理1.兩條直線的位置關(guān)系平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系包括三種狀況.

(1)兩直線平行①對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2.②當直線l1,l2不重合且斜率都不存在時,l1∥l2.(2)兩條直線垂直①對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1⊥l2?k1k2=-1.②當直線l1,l2中一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為0時,l1⊥l2.(3)由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12l2:A2x+B2y+C2=0(A22l1與l2平行的充要條件A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2+B1B2=0l1與l2相交的充要條件A1B2-A2B1≠0l1與l2重合的充要條件A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1=0(或A1C2-A2C1=0)2.兩條直線的交點直線l1和l2的交點坐標即為兩直線方程組成的方程組A1x相交?方程組有;

平行?方程組;

重合?方程組有.

3.三種距離點點距點P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離|P1P2|=

點線距點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=

線線距兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離d=

1.兩個充要條件(1)兩直線平行或重合的充要條件直線l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)與直線l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)(2)兩直線垂直的充要條件直線l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)與直線l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)2.六種常見的對稱點(1)點(x,y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(-x,-y).(2)點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(x,-y),關(guān)于y軸的對稱點為(-x,y).(3)點(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點為(y,x),關(guān)于直線y=-x的對稱點為(-y,-x).(4)點(x,y)關(guān)于直線x=a的對稱點為(2a-x,y),關(guān)于直線y=b的對稱點為(x,2b-y).(5)點(x,y)關(guān)于點(a,b)的對稱點為(2a-x,2b-y).(6)點(x,y)關(guān)于直線x+y=k的對稱點為(k-y,k-x),關(guān)于直線x-y=k的對稱點為(k+y,x-k).3.三種直線系方程(1)與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直線系方程為Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直線系方程為Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)過直線l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)與l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C考點自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)當直線l1和l2的斜率都存在時,肯定有k1=k2?l1∥l2.()(2)若兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積肯定等于-1.()(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解,則兩直線相交.()(4)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0),若直線l1⊥l2,則A1A(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()2.點P(2,3)到直線l:ax+y-2a=0的距離為d,則d的最大值為()A.3 B.4 C.5 D.73.若直線2ax+y-2=0與直線x-(a+1)y+2=0垂直,則這兩條直線的交點坐標為()A.-25,-C.25,-64.(多選)已知直線l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列說法正確的是()A.當a=-1時,直線l與直線x+y=0垂直B.若直線l與直線x-y=0平行,則a=0C.直線l過定點(0,1)D.當a=0時,直線l在兩坐標軸上的截距相等5.直線l:x=1的傾斜角為;點P(2,5)到直線l的距離為.

關(guān)鍵實力學案突破考點兩直線的位置關(guān)系(多考向探究)考向1推斷兩直線的位置關(guān)系【例1】(2024天津靜海區(qū)聯(lián)考)“a=1”是“直線ax+2y-8=0與直線x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件考向2由兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)【例2】(1)(2024安徽蕪湖四校聯(lián)考)若直線(2m-1)x+my+1=0和直線mx+3y+3=0垂直,則實數(shù)m的值為()A.1 B.0 C.2 D.-1或0(2)(2024陜西寶雞中學二模)若直線x+(1+m)y-2=0與直線mx+2y+4=0平行,則實數(shù)m的值為()A.1 B.-2 C.1或-2 D.-3考向3由兩直線的位置關(guān)系求直線方程【例3】經(jīng)過兩條直線2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交點,且垂直于直線3x+4y-7=0的直線的方程為.

解題心得利用直線方程的一般式推斷兩直線的平行或垂直時可避開探討直線斜率不存在的狀況,但要留意由A1B2-A2B1=0不能推出兩直線平行.依據(jù)兩直線平行求參數(shù)時,要留意檢驗求得的參數(shù)值是否滿意題意.對點訓練1(1)求滿意下列條件的直線方程.①過點P(-1,3)且平行于直線x-2y+3=0;②已知A(1,2),B(3,1),線段AB的垂直平分線.(2)已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.①當l1∥l2時,求a的值;②當l1⊥l2時,求a的值.考點與距離有關(guān)的問題【例4】(1)(2024廣東廣州模擬)已知點P(4,a)到直線4x-3y-1=0的距離不大于3,則a的取值范圍為.

(2)(2024福建廈門模擬)若兩平行直線3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之間的距離為21313,則c的值是解題心得利用距離公式應留意(1)點P(x0,y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|,到直線y=b的距離d=|y0-b|;(2)兩平行線間的距離公式要求兩條直線方程中x,y的系數(shù)分別相等.對點訓練2(1)已知A(2,0),B(0,2),若點C在函數(shù)y=x2的圖象上,則使得△ABC的面積為2的點C的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.1(2)已知直線l過點P(-1,2),且點A(2,3),B(-4,5)到直線l的距離相等,則直線l的方程為.

考點對稱問題(多考向探究)考向1點關(guān)于點的對稱【例5】過點P(0,1)作直線l,使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點P平分,則直線l的方程為.

考向2點關(guān)于線的對稱【例6】如圖,已知兩點A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后射到直線OB上,再經(jīng)直線OB反射后又回到點P,則光線所經(jīng)過的路程是()A.210 B.6 C.33 D.25考向3線關(guān)于線的對稱【例7】直線2x-y+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對稱的直線方程是()A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0解題心得1.中心對稱問題的兩個類型及求解方法(1)點關(guān)于點對稱:若點M(x0,y0)及N(x,y)關(guān)于點P(a,b)對稱,則由中點坐標公式得x=2a(2)直線關(guān)于點對稱:①先在已知直線上取兩點,利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標,再由兩點式得到所求直線方程.②先在已知直線上取一點,求出它關(guān)于已知點的對稱點,再利用兩對稱直線平行,由點斜式得到所求直線方程.2.軸對稱問題的兩個類型及求解方法(1)點關(guān)于直線對稱:若兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)對稱,則由方程組A可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標.(2)直線關(guān)于直線對稱:一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決.對點訓練3(1)已知直線l1:2x+y+2=0與l2:4x+by+c=0關(guān)于點P(1,0)對稱,則b+c=.

(2)設(shè)光線l從點A(-4,3)動身,經(jīng)x軸反射后經(jīng)過點B0,33,則光線l與x軸交點的坐標為,若該光線l經(jīng)x軸發(fā)生折射,折射角為入射角的一半,則折射光線所在直線的縱截距為(3)已知直線l:2x-3y+1=0,點A(-1,-2).①求點A關(guān)于直線l的對稱點A'的坐標;②求直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l對稱的直線m'的方程;③求直線l關(guān)于點A(-1,-2)對稱的直線l'的方程.8.2直線的交點坐標與距離公式必備學問·預案自診學問梳理1.平行、相交、重合2.唯一解無解多數(shù)個解3.(|考點自診1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.A依題意,d=3a2+1.因為a2+1≥1,所以d≤3.3.B依題意,2a·1+1×[-(a+1)]=0,解得a=1.由2x+故這兩條直線的交點坐標為25,654.AC對于A,當a=-1時,直線l的方程為x-y+1=0,明顯與直線x+y=0垂直,故A正確;對于B,由直線l與直線x-y=0平行,可知a2+a+1=1,解得a=0或a=-1,故B不正確;對于C,當x=0時,y=1,所以直線l過定點(0,1),故C正確;對于D,當a=0時,直線l的方程為x-y+1=0,此時直線l在兩坐標軸上的截距分別為-1,1,故D不正確.故選AC.5.π21依題意,直線l與x軸垂直,故直線l的傾斜角為π2,點P(2,5)到直線l的距離d=2-1=關(guān)鍵實力·學案突破例1A設(shè)直線l1:ax+2y-8=0,直線l2:x+(a+1)y+4=0.若l1與l2平行,則a(a+1)-2=0,即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2.當a=-2時,直線l1的方程為-2x+2y-8=0,即x-y+4=0,直線l2的方程為x-y+4=0,此時兩直線重合,故a≠-2.當a=1時,直線l1的方程為x+2y-8=0,直線l2的方程為x+2y+4=0,此時兩直線平行.故“a=1”是“直線ax+2y-8=0與直線x+(a+1)y+4=0平行”的充要條件.故選A.例2(1)D(2)A(1)由題意可知m(2m-1)+3m=0,解得m=0或m=-1.故選D.(2)由題意可知2-m(1+m)=0,解得m=-2或m=1.經(jīng)檢驗,當m=-2時,兩直線重合,不符合題意,舍去;當m=1時,符合題意.故m的值為1.故選A.例34x-3y+9=0(方法1)由2x+3y+1=0,因為所求直線與直線3x+4y-7=0垂直,所以所求直線的斜率為43所以所求直線的方程為y-79=43x+53,即(方法2)由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x-3y+m=0.由2x+3y將點-53,79的坐標代入4x-3故所求直線的方程為4x-3y+9=0.(方法3)由題意可設(shè)所求直線的方程為(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.因為所求直線與直線3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,解得λ=2.所以所求直線的方程為4x-3y+9=0.對點訓練1解(1)①設(shè)所求直線方程為x-2y+c=0(c≠3),將P(-1,3)的坐標代入直線方程,得c=7.故所求直線方程為x-2y+7=0.②由已知得線段AB的中點的坐標為2,32,直線AB的斜率kAB=2-11-3所以線段AB的垂直平分線的方程為y-32=2(x-2),即4x-2y-5=0(2)①依題意,a即a2-a-2=0,a(a2②依題意,a+2(a-1)=0,解得a=23.故a的值為2例4(1)[0,10](2)2或-6(1)由題意得,點P到直線的距離為|4由|15-3a|5≤3,即|15-3a|≤15,得0≤a≤10(2)依題意,63=a-2≠c-1,解得a=-4,c≠-2,則直線方程6x+ay+c=0可化為3x-2y+c2=0.又兩平行線之間的距離為213對點訓練2(1)A(2)x+3y-5=0或x=-1(1)設(shè)點C(t,t2).由已知得直線AB的方程為x+y-2=0,|AB|=22,則點C到直線AB的距離d=|t因為△ABC的面積為2,所以12×22·即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2.解方程可知t的值有4個,故滿意題意的點C有4個.(2)(方法1)當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由題意知|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,即|3k-1|=|-3k-3|,解得k=-13.所以直線l的方程為x+3y-5=0.當直線(方法2)當AB∥l時,直線l的斜率k=kAB=-13,則直線l的方程為y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.當直線l過AB的中點(-1,4)時,又直線l過點P(-1,2),所以直線l的方程為x=-1.故直線l的方程為x+3y-5=0或x=-例5x+4y-4=0設(shè)l1與l的交點為A(a,8-2a),由題意知,點A關(guān)于點P的對稱點B(-a,2a-6)在l2上,把點B的坐標代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因為點A(4,0),P(0,1)在直線l上,所以直線l的方程為x+4y-4=0.例6A易得直線AB的方程為x+y=4,則點P關(guān)于直線AB的對稱點為P1(4,2),點P關(guān)于y軸的對稱點為P2(-2,0).依題意,光線所經(jīng)過的路程為P1(4,2)與P2(-2,0)之間的距離,即|P1P2|=(4+2)2+例7A設(shè)所求直線上隨意一點P(x,y),點P關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點為P'(x0,y0),由x因為點P'(x0,